复变函数解析函数

1、复变函数解析函数第1页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四1. 复变函数的导数定义2.1 解析函数的概念GO2. 解析函数的概念第2页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四 一. 复变函数的导数(1)导数定义定义 设函数w=f (z) zD, 且z0、 z0 +zD，如果极限 存在，则称函数f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数，记作 如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f (z)在区域D内可导。第3页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四 (1) z0是在平面区域上以任意方式趋于零。 (2) z=x+iy,z=x+i

2、y, f=f(z+z)-f(z) 例1第4页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四(2)求导公式与法则 常数的导数 c=(a+ib)=0. (zn)=nzn-1 (n是自然数).证明 对于复平面上任意一点z0，有-实函数中求导法则的推广第5页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四 设函数f (z),g (z) 均可导，则 f (z)g (z) =f (z)g(z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g(z)第6页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四复合函数的导数 ( f g(z) =f (w)g(z)， 其中w=g(z

3、)。 反函数的导数 ，其中: w=f (z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。思考题第7页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？例2解解第8页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。证明第9页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四 (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为z0是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故。 (2) 在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变

4、函数中，却轻而易举。第10页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四(3)可导与连续若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续.?第11页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四二. 解析函数的概念定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z)在z0解析； 如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。 (1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。 (2) 函数f

5、(z)在 z0 点可导，未必在z0解析。第12页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四例如(1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数；(2) w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析 函数； (3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4)。定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则 f (z)g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)0时)均是D内的解析函数。第13页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=

6、g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值集合 G，则复合函数w=f g(z)在D内处处解析。第14页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四2.2 解析函数的充要条件 1. 解析函数的充要条件 2.举例第15页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四 如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。问题 如何判断函数的解析性呢？第16页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四一. 解析函数的充要条件第17页，共59页，2022年，5月2

7、0日，6点20分，星期四第18页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四第19页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四 记忆定义 方程称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).第20页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 Cauchy-Riemann方程上述条件满足时,有第21页，共59页，2022年，5月20日，6点20分

8、，星期四证明（由f (z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证 f (z)的可导 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。函数 w =f (z)点 z可导，即则 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1), 且第22页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四u+iv = (a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy)=(ax-by+1x-2y)+i(bx+ay+2x+1y)令：f (z+z) - f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)=1+i2 故（1）式可写为因此 u=ax-by+1x-2y , v=bx+ay+2x+1y所以u(x,

9、y)，v(x, y)在点(x, y)处可微.第23页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四 （由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足 C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导）u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：第24页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四第25页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切

10、的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来. 利用该定理可以判断哪些函数是不可导的.第26页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ii) 验证C-R条件.iii) 求导数： 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.第27页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四二. 举例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则第28页，共5

11、9页，2022年，5月20日，6点20分，星期四解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny第29页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四仅在点z = 0处满足C-R条件，故解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则第30页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四例2 求证函数证明 由于在z0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，且满足C-R条件：故函数w=f (z)在z0处解析，其导数为第31页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四例3 证明第32页，共5

12、9页，2022年，5月20日，6点20分，星期四例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数， 且 确定第33页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四练习: a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2第34页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四2.3初等函数3. 对数函数1. 指数函数2. 三角函数和双曲函数4. 幂函数5. 反三角函数第35页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四一. 指数函数它与实变指数函数有类似的性质：定义第36页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四第37页，共59页，2022

13、年，5月20日，6点20分，星期四 这个性质是实变指数函数所没有的。第38页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四 例1例2例3第39页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四二. 三角函数和双曲函数推广到复变数情形定义第40页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四正弦与余弦函数的性质第41页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四思考题第42页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四第43页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义(详见P51)第44页，共59页，

14、2022年，5月20日，6点20分，星期四第45页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四定义称为双曲正弦和双曲余弦函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质第46页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四第47页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四三. 对数函数定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，(1) 对数的定义第48页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四故第49页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四 第50页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四(2) 对数函数的性质见1-6例1第51页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四例4第52页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四四. 乘幂 与幂函数 乘幂ab定义 多值一般为多值第53页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四q支第54页，共59页，2022年，5月20日，6点20分，星期四 (2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a 的 n次根意义一致。 (1)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a 的n次幂 意义一致。第55页，共59页，2022