力学第5章刚体的转动课件

1、第五章 刚体的转动站在钢丝上的陀螺1第五章 刚体的转动站在钢丝上的陀螺15.1 刚体的运动5.2 刚体的定轴转动定律5.3 转动惯量的计算 5.4 转动定律应用举例5.5 定轴转动中的功能关系5.6 刚体定轴转动的角动量定理5.7 进动5.8 刚体平面运动简介第五章 刚体的转动25.1 刚体的运动5.2 刚体的定轴转动定律5.3 5.1 刚体的运动一. 刚体的概念理想化模型：有自己独特的运动学和动力学规律。特殊质点系：质点相对位置不变，质点系的规律都适用；二. 刚体运动形式1. 平动 基本的运动形式之一无限刚性，受力不变形，可瞬时传力；常用质心运动代表整体平动。体内任两点连线在任意时刻保持平行

2、。35.1 刚体的运动一. 刚体的概念理想化模型：有自己独特的定点转动： 3. 平面运动：刚体各点运动都平行于某固定平面，各点轨道面平行或重合。4. 一般运动：不受任何限制的自由运动，是下面两种运动的组合： 随基点 O（可任选）的平动 绕通过基点 O 的瞬时轴的定点转动刚体只有一点固定不动，整体绕通过该点的瞬时轴转动。 2. 转动 基本的运动形式之二定轴转动：定点转动的瞬时轴成固定轴。4定点转动： 3. 平面运动：刚体各点运动都平行于某固定4. 转动与基点选取无关。基点不同，平动可不同，转动却相同。例如：三. 定点转动及其运动学量反映瞬时轴方向及刚体转动的快慢。或1. 角速度 具有唯一性：与基

3、点选择无关。OOOO5转动与基点选取无关。基点不同，平动可不例如：三. 定2. 角加速度 ：反映 的变化情况 的方向沿瞬时轴。 方向不一定与 一致，不一定沿瞬时轴。 基点OP瞬时轴刚体62. 角加速度 ：反映 的变化情况 的方3. 角量和线量的关系旋转加速度向轴加速度 四. 定轴转动对定轴转动， 和 都沿定轴，但两者方向不一定相同，都退化为代数量。 基点OP瞬时轴刚体73. 角量和线量的关系旋转加速度向轴加速度 四. 定轴转动对匀加速转动（ 恒定）PO定轴刚体参考方向z8匀加速转动PO定轴刚体参考方向z85.2 刚体的定轴转动定律观点：把刚体看作无限多质元构成的质点系。定义对 z 轴的转动惯量

4、O定轴刚体z95.2 刚体的定轴转动定律观点：把刚体看作无限多质元构成的 刚体定轴转动定律对定轴，略去下标 z： 与牛顿第二定律相比：M F，J m， aO定轴刚体z10 刚体定轴转动定律对定轴，略去下标 z： 与牛顿第二定律相5.3 转动惯量的计算 J 由质量对轴的分布决定。质量分布对转动惯量的影响一. 常用的几种转动惯量表示式 【演示】dmrm转轴细圆环：RmO115.3 转动惯量的计算 J 由质量对轴的分布决定。质量分二. 计算转动惯量的几条规律1. 对同一轴 J 具有可叠加性均匀圆盘：RmC均匀细杆：CAm12二. 计算转动惯量的几条规律1. 对同一轴 J 具有可叠加性3. 对薄平板的

5、正交轴定理 ri mix z yi y xiO 2. 平行轴定理（证明见书）JCdmJC平行133. 对薄平板的正交轴定理 ri mix z yi y 【例】求对薄圆盘的一条直径的转动惯量。已知圆盘 yx z 圆盘 R C m 解：下图中的 Jz 如何求？Caazm【思考】 zlDm14【例】求对薄圆盘的一条直径的转动惯量。已知圆盘 yx z 圆5.4 转动定律应用举例已知：R, m, h, v0 = 0, 下落时间 t ，绳轮之间无相对滑动， 绳不可伸长。求：轮对 O 轴的 J 解：动力学关系：对轮：对 m：运动学关系：(3)(4)(1)(2)mgma定轴 ORthmv0绳RGTN155.4

6、 转动定律应用举例已知：R, m, h, v0 (1)(4) 联立解得：分析结果： 量纲对； h、m 一定，J t ， 若 J = 0，得 正确。合理；这是一种用实验测定转动惯量的方法。16(1)(4) 联立解得：分析结果： 量纲对； h、m5.5 定轴转动中的功能关系一. 力矩的功力矩的空间积累效应： 力矩的功d定轴xrF175.5 定轴转动中的功能关系一. 力矩的功力矩的空间积累效二. 定轴转动动能定理定义转动动能 刚体定轴转动动能定理18二. 定轴转动动能定理定义转动动能 刚体定轴转动动能定理1三. 刚体重力势能四. 应用举例对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。ChChi

7、Ep= 0mi19三. 刚体重力势能四. 应用举例对于包括刚体的系统，功能原理解：（杆+地球）系统，只重力作功， E守恒：【例】均匀直杆质量为 m，长为 l ，初始水平 静止。轴光滑， 。求：杆下摆到 角时的 角速度 和轴对杆 的作用力 。轴OCABl, ml/420解：（杆+地球）系统，只重力作功， E守恒：【例】均匀直杆质B COAl, maCnaCt应用质心运动定理求轴力： (3) (4) (5) (6)NnNt21B COAl, maCnaCt应用质心运动定理 (3B COAl, m 由(3)(4)(5)(6)解得：NnNt22B COAl, m 由(3)(4)(5)(6)解得：NnN

8、5.6 刚体定轴转动的角动量定理质点系对点对轴刚体 刚体定轴转动的角动量定理或所以235.6 刚体定轴转动的角动量定理质点系对点对轴刚体 刚体 刚体定轴转动的角动量守恒定律对刚体系，M外z = 0 时， 角动量可在系统内各刚体间传递，而刚体系对转轴总角动量不变（必须是同一轴）。两轮磨合问题两匀速转动的轮子接触后，讨论摩擦力、运动状态变化，能否用对轴的角动量守恒？r2r12010J2J1【思考】 24 刚体定轴转动的角动量守恒定律对刚体系，M外z = 0 时克服直升飞机机身反转的措施尾浆推动大气，产生的力矩阻止机身反转。双翼反向转动，产生反向力矩，相互抵消。25克服直升飞机机身反转的措施尾浆推动

9、大气，产生的力矩阻止机身反猫从树枝和手的下落【TV】 刚体定轴角动量守恒茹科夫斯基转椅转台车轮角动量守恒：【演示】26猫从树枝和手的下落【TV】茹科夫斯基转椅转台车轮角动量守恒：【例1】如图两轮磨合问题， 已知：初始参量（J1, 10, r1） 和（J2, 20, r2）， 求：接触达稳定后的 1和2r2r12010J2J1O1O2解：此系统角动量并不守恒，因为O1和O2处的轴力产生的力矩和不为零。应对每个轮作隔离分析，用角动量定理求解。r2r121J2J1O1O2f1f2设摩擦力方向如图示，有：对轮1：对轮2：27【例1】如图两轮磨合问题，r2r12010J2J1O1Or2r121J2J1O

10、1O2f1f2利用 f1 = f2 得：对初末态积分得：稳定条件：接触点线速度相同：（注意负号，两轮反着转）解得：28r2r121J2J1O1O2f1f2利用 f1 = f2解：【例2】粘土块斜射到匀质圆盘顶点 P 后与圆 盘粘合，已知：v0，R，M = 2m， = 60。（水平）v0m(粘土块) yxPOM光滑轴均质圆盘R求：当 P 转到 x 轴时盘的 , ， 轴对盘的作用力 。对 m +M 系统，碰撞瞬间，外力（重力和轴力）对 O 轴的力矩 = 0， 守恒，（1）求、，碰撞过程：过程分 2 步：29解：【例2】粘土块斜射到匀质圆盘顶点 P 后与圆（水平）v0 (2)对 m +M+地球系统，

11、 E 守恒，令m、x 重合时 EP = 0，有：m + M 形成刚体，转动惯量为：v0mOMR设碰后瞬间盘角速度为0，有：定轴转动过程： (3)(1)(2)(3)解得 (1)mOMRx, 30 (2)对 m +M+地球系统， E 守恒，令m、x 重合时m、x重合时 m +M 系统所受力矩：（2）求轴力 用质心运动定理求m +M 的质心 C 在距 O 的 R/3 处，质心加速度：y 方向x 方向mgmOMRx, yOx, C31m、x重合时 m +M 系统所受力矩：（2）求轴力 用质由质心运动定理有：设轴力 的方向如图， 代入 的值得：Nx F2)C1C2F1F2自转角动量40【讨论】地球进动与

12、岁差随着地球自转轴的北极星3000年前 地轴进动分点每年在黄道上西移50.2太阳年（回归年）：太阳由春分 秋分 春分恒星年：地球绕太阳一周的时间岁差 = 恒星年 太阳年 = 20分23秒北半球南半球黄道面赤道面西太阳东秋分点春分点41地轴进动分点每年在黄道上西移50.2太阳年（回归年）：太我国古代已发现岁差：每50年差1度（约72/年，精确值50.2/年）。 前汉刘歆（公元前53 后23）发现岁差。 晋朝虞喜（公元265 316）最先确定岁差：先将岁差引入历法：391年有144个闰月。 祖冲之（公元429 500）编大明历最42我国古代已发现岁差：每50年差1度（约72/年，精确值5三. 自由

13、度自由度是确定力学体系空间几何位形所需的独立坐标数，与几何约束条件直接相关。1. 质点的自由度 不受约束（自由）的质点， 约束在曲面上运动的质点， 约束在曲线上运动的质点， x, y, z 相互独立；自由度为 3，x, y, z 中有1个不独立，如 z = z(x, y)；自由度为 2，x, y, z 有2个不独立，如 z = z(x)，y = y(x)自由度为 1，43三. 自由度自由度是确定力学体系空间几何位形所需的1. 质点2. 刚体的自由度自由刚体的自由度最大，等于6 。解释：3 点可固定（完全约束）刚体：C 点固定，则刚体固定。.A.B.C所以刚体最大自由度是 6 。A 点固定， 仍

14、可绕 A 转动，B 点固定，C 点仍可绕 转动，3 个点总坐标数是 9，但 距离不变，这 3 个条件使独立坐标数减少 3 个。442. 刚体的自由度自由刚体的自由度最大，等于6 。解释：3 转动用 3 个欧勒角描述：6 = 3（基点平动）+ 3（绕基点转动）刚体最大自由度： 进动角 章动角 自转角45转动用 3 个欧勒角描述：6 = 3（基点平动）+ 3（绕基5.8 刚体平面运动简介一. 基本概念和运动学关系1. 基面、基点、基轴 可任选一轨道平面 作为基面，如 1 面。与基面垂直的任意直线上的各点运动相同。 在基面上可任选一点为参考基点，如 O1 点。 过基点垂直基面的直线为基轴，如 O1O

15、3 轴。 基面各点运动可代表刚体运动。465.8 刚体平面运动简介一. 基本概念和运动学关系1. 基刚体平面运动为下列组合： 基轴平动 绕基轴的转动选质心为基点，有利于动力学问题分析。2. 基面上各点速度关系 是基点 O 的速度，注意： 是唯一的，与基点选择无关。基面各点运动为下列组合： 基点平动 (自由度2) 绕基点转动 (自由度1) OA47刚体平面运动为下列组合： 选质心为基点，有利于动力学问题分析3. 瞬心（瞬时转动中心）、瞬轴（瞬时转轴） 基面上必存在一个瞬时速度为零的点 P 瞬心 过瞬心垂直基面的直线为瞬轴。 瞬心位置一般随时间变化。 瞬心速度为零，但加速度不一定为零。 选瞬心为基

16、点，有利于运动学问题分析。PA483. 瞬心（瞬时转动中心）、瞬轴（瞬时转轴） 基面上必存在求瞬心位置的 2 个简便方法： 瞬心位置可能在刚体内，也可能在刚体外。2. 已知 2 点速度方向1. 已知 1 点速度和 方向沿 的方向PABPA49求瞬心位置的 2 个简便方法： 瞬心位置可能在刚体内，也可4. 均匀圆柱（盘、环、球）等在曲面上作 纯滚动的运动学条件纯滚动：接触点 P 是瞬心，无相对滑动 。质心 C 的切向加速度：质心 C 的速度：（为何？）PCr（在平面上就是质心 C 的加速度）504. 均匀圆柱（盘、环、球）等在曲面上作纯滚动：接触点 P 二. 动力学关系1. 质心运动定理2. 对

17、通过质心的基轴的转动定律若瞬心加速度方向与瞬心质心连线平行，则惯性力对瞬心的力矩为零，对瞬轴也有：PC如均匀圆柱体的纯滚动51二. 动力学关系1. 质心运动定理2. 对通过质心的基轴的转3. 对通过质心的基轴的角动量定理角动量关系O轴 ：刚体所在空间中平行于C 轴的固定轴 ：质心 C 相对 O 轴的垂直位矢 ：质心速度如图，均匀圆球对 O 轴角动量是多少？守恒否？O523. 对通过质心的基轴的角动量定理角动量关系O轴 ：刚体所在4. 能量关系 质心平动能（刚体平动能）绕过质心的基轴的转动能（刚体转动能） 动能关系 科尼希定理 功能原理534. 能量关系 质心平动能绕过质心的基轴的转动能 动刚体

18、动能改变 外力对质心作的功 外力矩对过质心的基轴作的功质心平动能改变 外力对质心作的功：绕过质心的基轴的转动能改变 外力矩对过质心的基轴作的功：54刚体动能改变 外力对质心作的功 质心平动能改变 外力解：设摩擦力向右，由质心运动定理得： (1)【例1】质量 m、半径 R 的圆球 在水平力 F 作用下在水平面上 作纯滚动，作用点 A 在接触点 P 与质心 C 的连线上，AC = d。 CdAPR求：接触点 P 处的静摩擦力 f 。设顺时针方向为正，对质心轴的转动定律： (2)纯滚动条件： (3)55解：设摩擦力向右，由质心运动定理得： (1)【例1】质量 m (1)(2)(3) 解出： 当 时，

19、 f 与 F 同向； 当 时， f = 0 ； 当 时， f 与 F 反向。 球沿顺时针方向加速转动、加速前进。56 (1)(2)(3) 解出： 当 【例2】质量均匀、半径 R 的 圆球在斜面上作纯滚动，P 是 瞬心，C 是质心。 证明：P 点相对水平面的加速度 沿 PC 连线方向。用相对运动关系证明。如图建立坐标系 ，设圆球向下运动。CPR证：设顺时针方向为正，不妨设角加速度 0， 即圆球沿顺时针方向加速转动。57【例2】质量均匀、半径 R 的证明：P 点相对水平面的加速度设 是 P 点相对质心 C 的加速度， (2) (1)CPR根据相对运动关系有：在质心系，P 点瞬间随球作沿顺时针方向的

20、加速转动，所以：方向为方向为 (3)58设 是 P 点相对质心 C 的加速度， (2) (由 (1)(2)(3) 解出： 沿 PC 连线方向。CPR本题所证明的结论也适用于其它质量分布均匀的圆形物体。 59由 (1)(2)(3) 解出： 沿 PC 连线【例3】 刚体撞击问题，如打击中心。棒球手要做到轻松击球，必须使球击打合适位置，此位置称为打击中心。CrCr手已知：棒质量 m，对手的转动 惯量 J ，棒的质心 C 距 离手 rC 。求：打击中心到手的距离 r 。 60【例3】 刚体撞击问题，如打击中心。棒球手要做到轻松击球，必棒受力CrCr手轻松击球分析：击球瞬间手的作用力 0棒绕手作定轴转动

21、球的冲击力手的作用力解法一对质心的动量定理、设：打击时间 ，此时间内：棒质心的动量改变为棒的角速度改变为对手的角动量定理61棒受力CrCr手轻松击球分析：击球瞬间手的作用力 0棒绕对质心：CrCr手正向对手：(1) (3) (2) 动量定理角动量定理(1)(2)(3) 消去 量得：令得打击中心位置：角量与线量关系：62对质心：CrCr手正向对手：(1) (3) (2) 动量定理对质心：CrCr手正向由 (14) 并令 得：解法二对质心的动量、角动量定理(3) (1) (4) (2) 角量与线量关系：63对质心：CrCr手正向由 (14) 并令 此法简单实用！对质心：CrCr手正向对手：(1)

22、(3) (2) 解法三质心运动定理、对手的转动定律角量与线量关系：由 (13) 并令 得：64此法简单实用！对质心：CrCr手正向对手：(1) (3) (对质心和过质心的轴：CrCr手正向(1) (4) 解法四质心运动定理、对质心轴转动定律角量与线量关系：(2) (3) 此法也不错。由 (14) 并令 得：65对质心和过质心的轴：CrCr手正向(1) (4) 解法四质心【例4】在固定斜面上的圆 柱体从静止开始作纯滚动， 圆柱体质量 m ，半径 R ， 转动惯量 J ，斜面倾角 。求（1）接触点 O 是否存在摩擦力？若有， 其作用是什么？做功否？ （2）圆柱体下落高度 h 时，质心 C 的速 度 ，转动角速度 ，摩擦力 f 分 别是多少？RCO66【例4】在固定斜面上的圆求（1）接