第7组 足球队排名次

1、PAGE PAGE 13B题 足球队排名次07组B题 足球队排名次摘 要本文主要讨论了给12支球队排名，以及如何推广到N支球队。对于问题一，首先建立了哈密尔顿圈，通过lingo软件得到结果，分析发现有些偏差，然后对任意两支球队之间的净胜球数进行分析得到服从正态分布，并同时建立了规划模型： S.T.通过lingo软件得到结果的顺序。然后推广到N支球队的模型为max S.T.最后检验通过熵值法求出分数，净胜球数和12支球队直接的熵权，然后用topsis法对12支球队的相对贴近度求值，得到与模型二基本一致，可以验证模型合理。关键词：哈密尔顿图 整数规划 熵值法 归一化 拉格朗日函数 topsis法问

2、题分析通过分析题目发现，本题给了12支球队的部分比赛成绩，通过残缺的数据对这12支球队进行排名，并推广到任意N个球队排名，并讨论出你的模型在什么条件下更为合理T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12T1X0:11:00:02:21:00:22:03:11:03:11:00:11:30:22:11:04:01:11:1XXT2X2:00:11:30:02:00:01:12:11:11:10:00:02:01:10:20:0XXT3X4:21:10:02:13:01:01:40:13:11:02:30:12:0XXT4X2:30:10:52:32:11:30:10:00:11:1XX

3、T5X0:1XXXX1:01:20:01:1T6XXXXXXXT7X1:02:00:02:13:01:03:13:02:23:12:0T8X0:11:22:01:11:00:13:10:0T9X3:01:00:01:01:0T10X1:02:0T11X1:11:21:2T12X说明：(1) 12支球队依次记作T1，T2，T12 。(2) 符号X表示球队未曾比赛。 (3) 数字表示两队比赛结果。如：T3与T8比两场，比分为0:1和3:1。二、符号说明符号 意义 第队的排名（12为最强的队） 第队比第队净胜场数 胜平均净胜球数 判定关系的指标 和排名的概率 12个球队排名的可信度 三、模型假设1每

4、场比赛都是相互独立的；2比赛中没有出现吹黑哨的现象；3外界环境和场地对两队球员的发挥都不造成影响；4各个球队水平发挥正常；四、模型建立与求解问题1模型一：分析题意可以发现成绩与净胜场数和净胜球有关。如果净胜场，则 无比赛成绩按根据和的关系和哈密尔顿圈1得到邻接矩阵使得关系总和的值最大，通过lingo软件2求解可以得到模型结果有些偏差，对其矫正，建立模型二。模型二：分析每个球队每场比赛的净胜球率可以得到表一表一球队123456789101112净胜球率0.420.150.44-1.05-0.33-0.61.470-0.26-0.21-0.78-0.44可以得到12个队伍和之间净胜球的关系矩阵 通

5、过统计3可以发现每个球队得的净胜球数服从正态分布假设队和一个与他自身水平一样的球队相比较，净胜球数服从标准正态分布，队和平均每场净胜球数率相差，这两个球队相比较，净胜球数服从正态分布。即。当比的净胜球大于0的时候，胜为胜的概率, 则为胜的概率。即其中所以得到的矩阵目标函数 S.T.通过lingo求得解为排名的概率为62.93%，可以认为符合要求。问题2：推广到N个球队，球队净胜球数为，球队总场数,平均每场净胜球率为。球队净胜球数为，球队总场数,平均每场净胜球率为，max S.T.求出最大值时，可以判断出N个球队的情况。问题3：数据要具备随机性，每组的比赛尽量的多这样更能体现出正态分布，均值才更

6、加准确。五、模型检验排名的指标有积分和净胜球两个指标决定的分别列出各队的平均总积分和平均净球数。如表二表二平均总积分平均净球数T11.78950.4211T21.26320.1579T32.06250.4375T40.4737-1.0526T51-0.3333T61.2-0.6T72.4211.4737T81.20050T91.4211-0.2632T101.3158-0.2105T110.5556-0.7778T120.8886-0.4444根据熵值法来确定总积分和净球数的权重。总积分和净球数都是大着为优的指标，对数据归一化处理在距离意义下，越小越好，由此建立如下的多目标规划模型，多目标规划

7、可以化为单目标规划 ，构造拉格朗日函数 令 解得：x1xx1x2(x1-, x2-) 图1(x1*, x2*)(x1, x2)S*S-计算各目标值与理想值之间的欧氏距离：计算各个目标的相对贴近度：则，当=时，=1；当=时，=0。越接近1，所得到的方案就越优，反之就越劣。排名为模型二中排名比较发现两次结果、从题中数据可以发现水平基本相当，排名会有略微不同。和相比较，积分略高于，但是净胜球比要低一些。即和的水平基本相当。和相比较，没有直接比赛可以通过作为中间变量进行比较，略胜，与相比一胜一负。如果给和在加一场比赛获胜概率为。概率比较小所以和基本相当。可以发现检验与模型一致。六、模型改进在计算时候数

8、据不够多，统计出来的正态分布不够精确，应该在通过其他大量数据进行统计。比较和的强弱时，可以先只考虑和这两个队的净胜球个数，可以统计大量和的比赛，使得净胜球更符合实际情况。通过本题所给数据，可以先分析出一些关系，得到和可以把按着一定的方法放入这条链里面形成完整的排序。七、参考文献1 孙慧泉编，图论及其应用，北京：科学出版社，2004.2 谢金星，薛毅编，优化建模与LINGO/LINGO软件，北京：清华大学出版社，2007 3 盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计，北京：高等教育出版社，200864 杨启帆编，数学建模，北京：高等教育出版社，2006.5. 附录模型一：哈密尔顿图代码MODEL

9、:SETS:C / 1. 12/: U; ! U( I) = sequence no. of c;LINK( C, C):DIST, ! The distance matrix;X; ! X( I, J) = 1 if we use link I, J;ENDSETSDATA: !Distance matrix, it need not be symmetric;DIST =0 1 1 6 2 2 0.25 1 5 1 0 01 0 1 2 1 2 1 1 2 0.5 0 01 1 0 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0.17 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0.2 1 0.5 0.5

10、 0 00.5 1 0.5 2 0 0.5 0 0 0 0 1 10.5 0.5 0.5 2 2 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 4 6 4 2 2 1 1 1 1 0 0 0.25 0 2 1 2 10.2 0.5 1 2 0 0 0.17 0.5 0 4 2 2 1 2 1 2 0 0 0.25 1 0.25 0 2 2 0 0 0 0 1 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0.50 0 0 0 1 0 0.5 1 0.5 0.5 2 0;ENDDATA!The model:Ref. Desrochers & Laporte, OR Letters,Feb.

11、91;N = SIZE( C);MIN =-SUM( LINK: DIST * X);FOR( C ( K):! It must be entered;SUM( C ( I)| I #NE# K: X( I, K) = 1;! It must be departed;SUM( C ( J)| J #NE# K: X( K, J) = 1;! Weak form of the subtour breaking constraints;! These are not very powerful for large problems;FOR( C ( J)| J #GT# 1 #AND# J #NE

12、# K:U( J) = U( K) + X ( K, J) -( N - 2) * ( 1 - X( K, J) +( N - 3) * X( J, K);! Make the Xs 0/1;FOR( LINK: BIN( X);! For the first and last stop we know.;FOR( C ( K)| K #GT# 1:U( K) = 1 + ( N - 2) * X( K, 1);模型二：规划代码max=0.5772*(x1-x2)/abs(x1-x2)+1)-0.2384*(x1-x3)/abs(x1-x3)+1)+1.2848*(x1-x5)/abs(x1-

13、x5)+1)+1.592*(x1-x6)/abs(x1-x6)+1)+0.8076*(x1-x8)/abs(x1-x8)+1)+0.2544*(x2-x8)/abs(x2-x8)+1)+0.5772*(x2-x9)/abs(x2-x9)+1)+0.502*(x2-x10)/abs(x2-x10)+1)+1.2424*(x2-x11)/abs(x2-x11)+1)+2.9164*(x2-x12)/abs(x2-x12)+1)+0.9944*(x3-x8)/abs(x3-x8)+1)+1.2424*(x3-x9)/abs(x3-x9)+1)+1.1868*(x3-x10)/abs(x3-x10)+

14、1)+1.6708*(x3-x11)/abs(x3-x11)+1)-1.3892*(x4-x8)/abs(x4-x8)+1)-1.1408*(x4-x9)/abs(x4-x9)+1)-1.198*(x4-x10)/abs(x4-x10)+1)-0.4412*(x4-x11)/abs(x4-x11)+1)-1.1512*(x4-x12)/abs(x4-x12)+1)-0.5668*(x5-x8)/abs(x5-x8)+1)-0.2856*(x5-x9)/abs(x5-x9)+1)-0.364*(x5-x10)/abs(x5-x10)+1)+0.5172*(x5-x11)/abs(x5-x11)+

15、1)+0.0796*(x5-x12)/abs(x5-x12)+1)-1.0936*(x6-x8)/abs(x6-x8)+1)-0.8216*(x6-x9)/abs(x6-x9)+1)-0.08896*(x6-x10)/abs(x6-x10)+1)-0.032*(x6-x11)/abs(x6-x11)+1)-0.5284*(x6-x12)/abs(x6-x12)+1);x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12=66;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);gin(x6);gin(x7);gin(x8);gin(x9);g

16、in(x10);gin(x11);gin(x12);x111;x211;x311;x411;x511;x611;x711;x811;x911;x1011;x1111;1110(-1);sqrt(x1-x2)2)10(-1);sqrt(x1-x3)2)10(-1);sqrt(x1-x4)2)10(-1);sqrt(x1-x5)2)10(-1);sqrt(x1-x6)2)10(-1);sqrt(x1-x7)2)10(-1);sqrt(x2-x8)2)10(-1);sqrt(x2-x9)2)10(-1);sqrt(x2-x10)2)10(-1);sqrt(x2-x11)2)10(-1);sqrt(x

17、2-x12)2)10(-1);sqrt(x3-x8)2)10(-1);sqrt(x3-x9)2)10(-1);sqrt(x3-x10)2)10(-1);sqrt(x3-x11)2)10(-1);sqrt(x3-x12)2)10(-1);sqrt(x4-x8)2)10(-1);sqrt(x4-x9)2)10(-1);sqrt(x4-x10)2)10(-1);sqrt(x4-x11)2)10(-1);sqrt(x4-x12)2)10(-1);sqrt(x5-x8)2)10(-1);sqrt(x5-x9)2)10(-1);sqrt(x5-x10)2)10(-1);sqrt(x5-x11)2)10(-1);sqrt(x5-x12)2)10(