2023届高三数学小题专练-正弦定理和余弦定理3（含解析）

1、试卷第 =page 5 5页，共 =sectionpages 6 6页试卷第 =page 6 6页，共 =sectionpages 6 6页一、单选题1如图，中，角的平分线交边于点，则（）ABCD2在中，已知，点在线段上，且满足，则的长度为（）ABCD3设，分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线上的一点.若，则点到轴的距离为（）ABCD4如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，过点B作截面分别交侧棱AC，AD于E，F两点，且四面体ABEF的体积为四面体ABCD体积的，则EF的最小值为（）ABCD5在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，BCBD，ABBCBD2，E，F分别是BC，AD的中点，则直线AE

2、与CF所成角的余弦值为（）ABCD6双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（）ABC32D427已知在三角形中，则的取值范围是（）ABCD8在中，点满足，则的长为（）ABCD69已知双曲线：的左右焦点分别为，曲线上一点到轴的距离为，且，则双曲线的离心率为（）ABCD10在中，则的形状是（）A等腰直角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形11已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心.已知，则角A的最大值为（）ABCD12在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcosAca，点D在AC上，2ADDC，BD2，则ABC的面积的最

3、大值为（）ABC4D613七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（）ABCD14在等腰中，ABAC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（）A6B12C18D2415已知在锐角三角形中，角，所对的边分别为，若，则的取值范围是（）ABCD16在直三棱柱中，.，分别是、的中点，则与所成角的余

4、弦值为（）ABCD17若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则（）A24B32C64D8618星等分为两种：目视星等与绝对星等但它们之间可用公式转换，其中为绝对星等，为目视星等，为距离（单位：光年）现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5，且牛郎星和织女星与地球连线的夹角大约为34，则牛郎星与织女星之间的距离约为（）（参考数据：，）A26光年B16光年C12光年D5光年19在中，D在线段上，且，若，则下列说法错误的是（）A的面积为8B的周长为C为钝角三角形D20在中，,BC=1,AC=5，则AB=ABCD二、填空

5、题21如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC=1，ABAC，ABAD，CAE=30，则cosFCB=_.22已知中，若，则周长的最大值为_.23在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且，则B的取值范围是_.24三棱锥中，底面，在底面中，则三棱锥的外接球的体积等于_25双曲线的左右焦点分别为，以为圆心，以为半径的圆与双曲线的右支交于点A，与y轴交于点B，平分，则双曲线的离心率为_.26在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的周长的最大值是_.27三条直线、两两平行，到的距离为，到的距离为，等边三角形三个顶点分别在这三条直线上，则该三角形的面积为_.28一次机器人足球比赛中，甲队

6、1号机器人由点A开始做匀速直线及运动，到达点B，此时足球从点D处出发以自己速度的2倍向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点_的C处截住足球.29，为椭圆上的两点，为其左右焦点，且满足，当时，椭圆的离心率为_30阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有，则当的面积最大时，它的内切圆的半径为_.答案第 = page 25 25页，共 = s

7、ectionpages 25 25页答案第 = page 24 24页，共 = sectionpages 25 25页参考答案：1D【分析】中由正弦定理求得后可得，从而得，角，得，用余弦定理可得【详解】在中，根据正弦定理得，由，所以，所以，所以，则，所以，在中，由余弦定理得，所以故选：D【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算如先在中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边本题也可以不用余弦定理求边2B【分析】在中，利用余弦定理先求得，再在中利用余弦定理

8、求得，再在中利用余弦定理求得的长【详解】在中，由余弦定理有，所以，在中，由余弦定理有，又，所以，在中，由余弦定理有，所以故选：B3C【解析】如图，设，由双曲线定义知，平方得：，在中利用余弦定理可得：，即可得到，再利用等面积法即可求得【详解】由题意，双曲线中，如图，设，由双曲线定义知两边平方得：在中，由余弦定理可得：，即两式相减得：，即利用等面积法可知：，即解得故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟悉焦点三角形的面积公式推导，也可以直接记住结论：（1）设，分别为椭圆的左，右焦点，点为椭圆上的一点，且，则椭圆焦点三角形面积（2）设，分别为双曲线的左，

9、右焦点，点为双曲线上的一点，且，则双曲线焦点三角形面积4D【分析】根据已知可得的面积，由三角形面积公式和余弦定理，使用基本不等式可得.【详解】由题知，所以，记，则，即.则，当且仅当，即时，取等号.所以a的最小值为故选：D5B【分析】取CE，AF，AC的中点分别为M，N，G，作NOBD于O，连接MG，GN，MN，MO，由直线AE与CF所成角即为GM与GN所成角，利用余弦定理求解cosMGN即可【详解】取CE，AF，AC的中点分别为M，N，G，作NOBD于O，连接MG，GN，MN，MO，如图，由中位线性质可得GMAE，GNCF，得直线AE与CF所成角即为GM与GN所成角，根据题意得：GMAE，GN

10、，MN，cosMGN，直线AE与CF所成角的余弦值为.故选：B6A【分析】根据已知条件求出焦距及，根据双曲线定义及余弦定理求出乘积，代入三角形面积公式即可求解.【详解】根据、为双曲线的两焦点可得，又直线、倾斜角之差为，所以，根据余弦定理可得，整理得，根据点P在双曲线上可得，则，-得，则面积为.故选：A.7A【分析】根据三角形三边关系得到的取值范围，再利用余弦定理表示出，最后根据平面向量数量积的定义计算可得；【详解】解：因为，所以，即，解得，由余弦定理，所以，因为，所以，所以，即；故选：A8A【分析】把用表示后，利用模的平方转化为数量积计算可求得，然后再由余弦定理得【详解】因为，所以，设，则得，

11、即，因为，故解得，即，所以故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查向量在几何中的应用，解题关键是利用向量的线性运算表示出向量，然后平方抒发向量的模转化为数量积的运算，即利用数量积求线段长9D【分析】根据给定条件结合双曲线定义求出，再借助余弦定理即可计算作答.【详解】作轴于M，如图，依题意，令，则，由双曲线定义知，而，在中，由余弦定理得：，即，又离心率，于是有，又e0，解得，所以双曲线的离心率为.故选：D10D【分析】在中，由余弦定理知，两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该的形状【详解】在中，又由余弦定理知，两式相加得：，（当且仅当时取“” ，又，（当且仅当时成立），为的内角，又，

12、的形状为等边故选：11A【分析】取的中点D，则可得，由余弦定理和基本不等式可得答案.【详解】取的中点D，则，所以，又由，当且仅当时等号成立，所以，故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12A【分析】由正弦定理,三角函数恒等变换可得sinAcosBsin

13、A，可求cosB，设ADx，则CD2x，AC3x，根据cosADBcosCDB利用余弦定理可得4c2+a2+2ac36，根据基本不等式可得ac6，进而可求解【详解】在ABC中，bcosAca，由正弦定理可得sinBcosAsinCsinA，可得sinBcosAsin（A+B）sinAsinAcosB+cosAsinBsinA，即sinAcosBsinA，由于sinA0，所以，由B（0，），可得B，设ADx，则CD2x，AC3x，在ADB，BDC，ABC中分别利用余弦定理，可得cosADB，cosCDB，cosABC，由于cosADBcosCDB，可得6x2a2+2c212，再根据cosABC，

14、可得a2+c29x2ac，所以4c2+a2+2ac36，根据基本不等式可得4c2+a24ac，所以ac6，当且仅当a2，c时等号成立，所以ABC的面积SacsinABCac故选：A【点睛】本题考查解三角形，关键点是熟练掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查了运算求解能力和逻辑思维能力.13D【分析】先逐个求解所有5个三角形的面积，再根据要求计算概率.【详解】如图所示，的面积分别为，将，分别记为，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间，共有10个样本点记事件表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件包含的样本点为，共3个，所以故选：D14

15、A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值【详解】设，由于，在和中应用余弦定理可得：，整理可得：，结合勾股定理可得的面积：，当且仅当时等号成立则面积的最大值为6故选：A.15C【分析】由利用余弦定理，可得，正弦定理边化角，在消去，可得，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围【详解】由及余弦定理，可得正弦定理边化角，得是锐角三角形，即，那么：则，故选：【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基

16、本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16D【分析】取CC1的中点F，过F作FN交于N，作FG交AC于G，则（或其补角）即为与所成角.过N作MN交于M，连结MN，在FGN中，利用余弦定理即可求得与所成角的余弦值.【详解】如图所示，取CC1的中点F，过F作FN交于N，作FG交AC于G，因为，分别是、的中点，所以N为的中点，G为AC上靠近点C的点. 所以（或其补角）即为与所成角.过N作MN交于M，则M为BC上靠近点C的点,连结MN.在直三棱柱中，.，分别是、的中点，不妨设，则,所以,.在FGN中，由余弦定理可得：,所以与所成角的余弦值为.故选：D17C【分析

17、】根据导数的几何意义可求切线斜率即可求出切线方程，由直线求出截距可得三角形面积.【详解】，曲线在点处的切线斜率，切线方程为.令，得；令，得.该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，.故选：C18B【分析】依题意可得，设地球与牛郎星距离为，地球与织女星距离为，织女星与牛郎星距离为，求出，再利用余弦定理计算可得；【详解】解：由，所以，由题意知：、，设地球与牛郎星距离为，地球与织女星距离为，织女星与牛郎星距离为，则，如图由余弦定理，所以，即牛郎星与织女星之间的距离约为16光年；故选：B19D【分析】在中用余弦定理求出BC长及，再在中用余弦定理求出AC长，然后对各选项逐一分析计算并判断作答.【详解】如图

18、，在中，因，由余弦定理得，则有，即，而，解得，又由余弦定理得，在中，由余弦定理得：，显然，的面积，A正确；的周长为，B正确；显然AB是最大边，角为钝角，C正确；，D不正确.故选：D20A【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.21【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理计算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.【详解】，由勾股定理得，同理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得.故答案为：.【点

19、睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.22#【分析】先对已知式子利用正弦定理统一成边的形式，然后利用余弦定理可求出角，再利用余弦定理可得，再利用基本不等式可求出的最大值，从而可求出三角形周长的最大值【详解】由正弦定理可得：，.由余弦定理得：，即.（当且仅当时取等号），解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.故答案为：23【分析】根据余弦定理结合基本不等式求解出的取值范围，由此可求的取值范围.【详解】因为，取等号时，所以，所以，故答案为：.24【分析】设为外接圆圆心，为球心，由球的性质知平面；利用正弦定理可求得外接圆半径；根据四边形为矩形，得到，利用勾股定理构造方

20、程组即可求得外接球半径，代入球的体积公式求得结果.【详解】设为外接圆圆心，为三棱锥外接球球心，则平面，作，垂足为由正弦定理可知外接圆直径：，平面，平面，又，四边形为矩形，设，在和中，勾股定理可得：，解得：三棱锥外接球体积：故答案为：25.【分析】设，结合余弦定理列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】由题意知，A在圆上，则有，A在双曲线上，则有.设，则由对称性知，则，在和中，化简得，即，解得.故答案为：【点睛】要求双曲线的离心率，可通过已知条件建立的等量关系式，由此求得离心率.269【分析】利用正弦定理将角化边，即可得到，再利用基本不等式求出的最大值，即可求出的最大值，从而得解.【详解】由，根

21、据正弦定理，得，即因为，所以，即因为a0，c0，所以，所以即，当且仅当时，所以，即的周长的最大值为9故答案为：9.27或【分析】分两种情况讨论：（1）、在的异侧；（2）、在的异侧.在两种情况下，设等边三角形的顶点、，设等边三角形的边长为，设与直线的夹角为，根据已知条件建立关于、的等式组，求出的值，由此可求得等边三角形的面积.【详解】分以下两种情况讨论：（1）若、在的异侧，设等边三角形的顶点、，如下图所示： 过点作直线的垂线分别交直线、于点、，则，设等边三角形的边长为，设与直线的夹角为，则也为锐角，由，解得，由题意可得，解得，此时，该三角形的面积为；（2）若、在的异侧，设等边三角形的顶点、，如下图所示：过点作直线的垂线分别交直线、于点、，则，设等边三角形的边长为，设与直线的夹角为，则也为锐角，由，解得，由题意可得，解得，此时