2023届高三数学小题专练-平面向量数量积3（含解析）

1、试卷第 =page 5 5页，共 =sectionpages 6 6页试卷第 =page 6 6页，共 =sectionpages 6 6页一、单选题1已知是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值是（）ABCD2已知向量，若，则实数（）A0BC1D33已知向量，则下列说法不正确的是（）A若，则的值为B若，则的值为2C的最小值为1D若与的夹角为钝角，则的取值范围是4已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心.已知，则角A的最大值为（）ABCD5如图，在正方形中，E为的中点，点P是以为直径的圆弧上任一点则的最大值为（）A4B5CD6在中，P为所在平面内的动点，且，

2、则的取值范围是（）ABCD7如图，点在的内部，是边，的中点(，三点不共线)，则向量与的夹角大小为（）A105B120C135D1508在边长为1的菱形中，是的中点，则（）ABCD9如图，在等边中，向量在向量上的 投影向量为（）ABCD10已知直线与圆相交于，两点，则的值为（）AB16CD811若非零向量满足，则与的夹角为（）ABCD12如图，正六边形的边长为2，动点从顶点出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点，若的最大值和最小值分别是，则（）A9B10C11D1213在中，角所对的边分别为，且点满足，若，则的最大值为（）ABCD14已知圆O：，直线l：，P为直线l上一动点，过点P作圆O的两条切线

3、PA，PB，A，B为切点，则（）A点P到圆O上的点的最小距离为B线段PA长度的最小值为C的最小值为3D存在点P，使得的面积为15设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（）ABCD16平行四边形中，为中点，点在对角线上，且，若，则（）ABCD17如果平面向量，那么下列结论中不正确的是（）ABC，的夹角为180D向量在方向上的投影为18已知菱形的对角线相交于点，点为的中点，若，则（）ABCD19窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等已知圆O是某窗的

4、平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若，且，则的最小值是（）A3B4C9D1620中，、分别是内角、的对边，若且，则的形状是（）A有一个角是的等腰三角形B等边三角形C三边均不相等的直角三角形D等腰直角三角形二、填空题21已知、表示共面的三个单位向量，那么的取值范围是_22在矩形中，已知，（为正常数），为边的中点，是对角线上的动点（含端点），若的取值范围为，则_.23在中，动点自点出发沿运动，到达点时停止，动点自点出发沿运动，到达点时停止，且动点的速度是动点的倍若二者同时出发，且当其中一个点停止运动时另一个点也停止运动，则该过程中的最大值是_24已知向量，满足，则的最大值是

5、_.25已知向量 ，则向量在向量上的投影向量为_（用坐标表示）26已知，存在实数，使，则的取值范围为_27已知，是空间单位向量， ，若空间向量满足，（，），则的最大值是_28已知向量，其中，且，则向量与的夹角等于_；29如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是_.30已知，则_答案第 = page 21 21页，共 = sectionpages 22 22页答案第 = page 22 22页，共 = sectionpages 22 22页参考答案：1B【分析】根据给定条件建立平面直角坐标系，利用向量运算的坐标表示即可计算作答.【详解】是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD

6、分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：则，设点，于是得：，当时，取得最小值，所以的最小值是.故选：B2B【分析】根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于零，求得的值.【详解】因为向量，且，所以，即，所以有，解得，故选：B.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题方法如下：（1）根据向量垂直向量数量积等于零，建立等式；（2）根据向量数量积运算法则进行化简；（3）利用向量数量积坐标公式求得结果.3D【分析】根据向量平行、模、夹角等知识确定说法不正确的选项.【详解】A选项，若，则，A选项说法正确.B选项，若，两边平方并化简得，即，B选项说法正确.C选项，当时，有最小值为，C选

7、项说法正确.D选项，若与的夹角为钝角，则，D选项说法不正确.故选：D4A【分析】取的中点D，则可得，由余弦定理和基本不等式可得答案.【详解】取的中点D，则，所以，又由，当且仅当时等号成立，所以，故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5D【解析】建立如图

8、所示的平面直角坐标系，将向量的数量积转化为向量的坐标运算，即，即可得到答案；【详解】则，设，其中，故选：D.6D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，所以，所以，其中，因为，所以，即；故选：D7B【解析】由，是边，的中点，得，由可得答案.【详解】连接，如下图所示.因为，是边，的中点，所以，且，所以，所以，解得.又因为，所以.则向量与的夹角大小为120，故选：B.【点睛】本题考查向量的线性运算，数量积.8D【分析】用为基底表示出，然后计算数量

9、积【详解】如图所示，边长为1的菱形中，；又为中点，且，故选：D9D【分析】将向量用表示，求得模长及，从而利用投影公式求得向量在向量上的投影向量即可.【详解】由题知D点是BC的四等分点，设三角形边长为a，则，则向量在向量上的投影向量为：，故选：D【点睛】关键点点睛：表示出，计算得到，利用投影公式求解.10C【分析】分别求出A，B坐标，利用向量的坐标运算直接求出.【详解】因为直线与圆相交于A，B两点，所以，解得：.所以.故选：C.11C【分析】设与的夹角为，进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为0得，进而得答案.【详解】解：根据题意，设与的夹角为，则，若，则，即，又由，则，故选：C12D【

10、分析】连接，根据正六边形的特征可得，从而可得，再根据当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，即可求得，从而得出答案.【详解】解：连接，在正六边形中，正六边形的边长为2，因为当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，所以当在上运动时，取得最大值，为，当移动到点时，取得最小值，为0 ，故选：D.【点睛】13A【分析】利用向量知识可得，两边平方可得，再利用不等式知识可求得结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，整理得，所以，因为，所以，所以，解得.所以的最大值为故选：A【点睛】关键点点睛：将向量条件化为，利用向量数量积的运算律运算得到是解题关键.14C【分析】根据给

11、定条件结合圆的性质、圆的切线长定理逐项分析各个选项，计算判断作答.【详解】圆O：的圆心，半径，如图， 对于A，点O到直线l的距离，则点P到圆O上的点的最小距离为，A不正确；对于B，由选项A知，由切线长定理得，B不正确；对于C，依题意，在中，则，由选项B知，而函数在上单调递增，则当时，C正确；对于D，由选项B知，显然对单调递增，因此，当时，D不正确.故选：C15C【分析】根据为单位向量，设，且，得到的坐标，再根据，得到x的范围，然后利用求解.【详解】因为为单位向量，不妨设，且，所以，又因为，所以，化简得，所以，当时，故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键是在为单位向量的条件下，设，由确定x的范围.

12、16A【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出、的坐标，由题意可得出，由此可求得实数的值.【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、，所以，则，因此，.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用平面向量垂直求参数，解题的关键就是选择合适的位置建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题来求解.17D【分析】直接利用向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角运算，向量在另一个向量上的投影的应用判定选项的结论【详解】解：因为，所以，对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，故，故B正确；对于C，因为，所以与的夹角为180，故C正确；对于D，在方向上的投

13、影为：，故D错误.故选：D.18B【分析】根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.【详解】解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，由，所以，所以，所以.故选：B【点睛】本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.19A【分析】利用向量的线性运算，结合数量积，可求得，确定其取值范围，再根据平方后的式子，即可求得答案.【详解】因为，所以，所以，即，则因为点P是圆O内部一点，所以，所以，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值是3,故选：A.20D【分析】由推导可得的平分线垂

14、直于边BC，进而可得，再由给定面积导出得解.【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、，以、为邻边作平行四边形，则，显然，因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即，于是得是等腰三角形，即，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，而，因此有，从而得，所以是等腰直角三角形.故选：D21【分析】计算出的值，利用平面向量的数量积的运算性质结合余弦函数的有界性可求得的取值范围.【详解】已知、表示共面的三个单位向量，则，所以，而，因此，.故答案为：.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，

15、同时要注意数量积运算律的应用221【分析】以为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，借助平面向量运算即可计算作答.【详解】以为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，则，有，由得：，而的取值范围为，于是得，而 m为正数，解得：，所以.故答案为：123【分析】先求出且建立平面直角坐标系，如图所示设点，求出，即得解.【详解】因为，所以且建立平面直角坐标系，如图所示设点，则，从而可得，所以因为在上单调递增，所以当时，取得最大值，且最大值为故答案为：7224【分析】设，根据已知条件可得，整理可得，求得的范围即可求解.【详解】设，则，整理得：，所以，则，解得：，所以，故答案为：.25【分析】先计算两个向量的夹角的余弦值，再计算向量 在向量 上的投影向量.【详解】因为，则 ，所以向量 在向量 上的投影向量为.故答案为：26【分析】先由，得，再代入向量垂直关系式得的关系，由重要不等式整理得的不等关系，最后化简求解不等式.【详解】，.又，则.则有，又，当且仅当时，等号成立.则有，两边同除以n得，解得(舍)，或.(由，得).故答案为：.【点睛】利用；，可解决垂直、平行问题.27【分析】由，及模长公式，求得，从而求得，将问题化为求得结果