3.1.3 椭圆方程及性质的应用 教案

1、第三章 圆锥曲线的3.1 椭圆3.1.3 椭圆方程及性质的应用一、教学目标1、熟悉椭圆的方程和简单的几何性质.2、正确理解和掌握直线与椭圆的位置关系3、初步认知与熟悉直线与椭圆的相关问题.二、教学重点、难点重点：对椭圆方程和简单的几何性质的掌握、重点方法的学习.难点：数形结合思想的正确形成，正确熟练地的运算、正确解题通道的准确建立.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【思考】椭圆在平面直角坐标系内的三种关系：（1）点与椭圆 （2）直线与椭圆 （3）

2、曲线与椭圆这些位置关系构成了怎样的数学问题？（二）阅读精要，研讨新知一、点与椭圆的位置关系问题1. 若直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是 【解析】由已知，直线化为，所以直线恒过定点 依题意，只须点在椭圆上或椭圆内即可，所以，即 又，所以的取值范围是【答案】二、直线与椭圆的位置关系问题2.若直线与圆没有交点,则过点的直线与椭圆的交点个数为() A.2个 B.至多一个C.1个 D.0个【解析】由题意得所以点在椭圆内,故过点的直线与椭圆有2个交点，故选A.3.已知椭圆,直线与椭圆有两个公共点,则实数的取值范围是_.【解析】由消去得因为直线与椭圆有两个公共点,所以解得，所以实数的取值范围是【答案】三

3、、直线与椭圆的弦长问题4.已知椭圆设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值【解析】设 （1）当轴时，（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知由，整理得当时，上式当且仅当，即时等号成立当时，综上所述，此时，四、直线与椭圆的点的对称问题5.已知椭圆：在椭圆上是否存在两点关于直线对称，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由.【解析】方法一：(方程组法) 设椭圆上存在两点关于直线对称，由题意，设，设，的中点为，由， 则 ， ，又点在直线上，代入解得 ，为所求方法二：(点差法) 设椭圆上存在两点关于直线对称，的中点为，则，两式相减得又 又点在直线上， 解得，又在椭圆内，为所

4、求五、直线与椭圆的定点问题6.已知椭圆若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标【解析】设，由 得 ， （1） 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，, 即 ，即，解得，且满足.当时，有，直线过定点与已知矛盾；当时，有，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为六、直线与椭圆的定值问题7.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线.（）求椭圆的离心率；（）设为椭圆上任意一点，且，证明为定值.【解析】（）设椭圆方程为则右焦点为，直线的方程为，由 整理得 ，设，则 由共线，得（）由（）可知，故椭圆可化为，设 由 在椭圆上， 即 由（）知，又，代入得 七、直线与椭圆的最值问题、范围问题8.设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.【解析】（）方法一：由已知得，所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值方法二：由已知得，所以，设，则（以下同方法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线，由，消去，整理