自主招生竞赛柯西不等式

1、文档编码 : CS4Q1F10Q5G6 HD4O6I7K5X2 ZQ9F9R6G6K4自招竞赛 数学讲义 柯西不等式学问定位 不等式问题在高考考察的范畴内相对比较简洁基础,然而自招竞赛中占了很大的比例,而且对于没有系统学问储备与训练的人来说,较难的不等式问题是让人束手无策的；因而 , 把握一些基本不等式及其推论是特别必要的；本节我们将学习柯西不等式,在各校自招中, 柯西不等式作为经典不等式经常需要协作 使用来帮忙求证（求解）,而竞赛中虽然没有直接使用柯西不等式即可证毕的不等式问题,柯西不等式也经常作为一个关键环节在解答中显现；学问梳理 柯西不等式1.柯西不等式 （此处介绍柯西不等式的证明及记忆

2、方法：二维三维最终推广至n 维的向量方法,数量积 =9 即b+c+a*1/b+c+1/a+c+1/a+b=9/2 于是得到 a/b+c+b/a+c+c/a+b3/2【学问点】柯西不等式应用【适用场合】当堂例题【难度系数】 2 【试题来源】 2022 西安交大【题目】设实数a,b,c 中意a22 b23 c23. 求证 : 3a9b27c12【答案】（证明题）【解析】a b c022 3c 123a2b3c29a22b所以 a2b3c32b3c1 且等号不能同时取到a即原式左边333所以得证；【学问点】柯西不等式基础【适用场合】当堂练习题【难度系数】 2 【试题来源】 2022 浙大【题目】有1

3、小于113的正1数x x 2,.,xn且x 1x 2.xn1,求证: x 1x 13x 2x 2.x nx3 n4【答案】（证明题）【解析】由柯西不等式 , x 1x 13 x 1x 2x 2x 233.x nx nx n33x 11x 13x 21x 23.x n13 x n2 n考察3 x 1x 2x n, 有x 13 x 1x 2x 23.x 1xnx3x 13x 2.x n3 x 1x32.x 23 x n.13 x 1x3 2.x n3n2x x 1 2,.,x n0,1就3x 23.x nx 1x2.xn1x131x n32 n.x n1故x 13 x 1x 23 x 2x n30

4、,1, 即x 13 x 1x n由条件n2, 所以得证【学问点】柯西不等式【适用场合】当堂练习题【难度系数】 2 【试题来源】 2022 南开【题目】设 a,b,c 为正实数,且a+b+c=1,求a12b12c1 c2的最小值；ab【答案】100 3【解析】a12b12c12 1 1 1ab c1112abcabca12b12c11 c 211c111219abcabb31由均值不等式,13a1 1 ,3 a1 c3bcabc1002 所以a12b12 abc3【学问点】柯西不等式基础【适用场合】当堂练习题【难度系数】 2 【试题来源】 2022 浙大【题目】已知a0 b0,求证：a1ba1a

5、1a1bnn21b2 bnba2【答案】（证明题）【解析】n2 a iina i2 .12 b .an1anb 由柯西不等式1b inb ii1所以,左边平方i1n a12a12b 2 b anb 2如a12ai1aib,就有n11ib1 bn a12a12.a12b 2 b nb a abab a1 bn1a1nban2nb,即左nb ,放太大了 . baaa a应为a1212 i1ibaib21b 2a1ba2i21b22就有：na12ba11.a1nna13ba3b1a5b .b2 b2nb2baa2n11a2 nbab 2222221 2b；na22原不等式成立 . 注 ： 待 证 的

6、 不 等 式 是 小 于 号 , 故 有 可 能 要 放 缩 , 放 缩 的 幅 度 值 得 注 意 ； 在a1ba1ba1中,分母成等差数列,因此用柯西不等式平方后放大裂项求和 n b2恰到好处；【学问点】柯西不等式应用【适用场合】当堂例题【难度系数】 4 【试题来源】【题目】对正数a b c d ,证明：3 a2a2c21 1 6 a111 d2a23 d2d2b22 bbc注：a表示对a b c d 循环求和,即3 a22 b2c2caba3 a22 b2c23 a22b2c23 b22c2d23 c22d2a【答案】（证明题）【解析】利用均值不等式a2b22ab a2c22acaac2

7、9c18a18a183 a22 b22 c2a2b2a2c24ab2b运用柯西不等式常用变形212bcd2222b,1c2,所以9c,221db2219bcbc2bbc1故3 a218a2 b22 c213c218ca2213 d18bc同理3 b218b2c2cd2d2da2a2ab相加得证；注：左边每项是平方和分之一次,右边是一次分之一,想方法分子分母约去一次；在9c21中,分母中的b c 分开是解题关键2bbc【学问点】柯西不等式应用【适用场合】当堂练习题【难度系数】 3 【试题来源】【题目】设正整数n2,正整数a a2,a 中意ina i in1n12,求证：a i2maxa a 1

8、2,a n4mina a 1 2,1a n1,【答案】 证明题 【解析】证明：不妨设a 1a 2a ,a1114a 1n2an2n12a 1a2a n1a n112a na2na 1ana 1a 1an5,得1an2,故a n4 a 1ana 122a 1a ；a2a ,就注：不等式是完全对称不等式,可不妨设a 1maxa a 2,a na n,mina a 2,ana ,只需证明an用 n 元柯西不等式,保留a a 是解题关键；【学问点】柯西不等式应用【适用场合】当堂练习题【难度系数】 3 【试题来源】 2022 罗马尼亚奥林匹克【题目】对正数a b c 中意a11b11c111,求证： a

9、bcabbccabca【答案】（证明题）【解析】由柯西不等式abc2ab1abc2,就abc22a11, abc b同理a2bcb11,ab2ccc111b11c111 abc2 c abc2a相加得a2bccab2cab21ab2babc2abc2abca开放后化简即为acabbcca【学问点】柯西不等式应用【适用场合】当堂练习题【难度系数】 3 习题演练【试题来源】 2022 复旦【题目】给定正整数 n 和正常数 a ,对于中意不等式a 12an2a 的全部等差数列a a a3,.,和式12n15a n1 D. 5 a n2a的最大值 = . in1【选项】 A. 10a n1 B. 10

10、a n C. 222【答案】 A 【解析】所求=2n1aian1a2n1n13 an1a 1n1in122【学问点】柯西不等式基础【适用场合】随堂课后练习【难度系数】 2 【试题来源】【题目】已知 a、 、 、d是不全相等的正数,证明：a2+b2+c2+d2abbccdda【答案】（证明题）【解析】证明： a2b 2c2d2b 2c 2d2a2bc2d不abbccdda2 aa b c d 是不全相等的正数,abbcda成立 . a22 b2 cd22bccdda即a2b22 cd2abbccdda【学问点】柯西不等式基础【适用场合】随堂课后练习【难度系数】 2 【试题来源】【题目】求函数f

11、x 2sin3x18x2xR 的最小值；22 3cos【答案】49 13【解析】f x 2sin3x13cos8x26sin9164,42；222x36cos2x由6sin9x3164 6sin2x36cos2x4326cos2x得6sin9x31646sin2x342449,取最小值49 1326cos2x36cos2x13当6sin2x36cos2x4,即tanx3 2时取等号34所以当tanx3时,函数f x 2sin38x2xR22x13cos2【学问点】柯西不等式【适用场合】随堂课后练习【难度系数】 3 【试题来源】【题目】设a b cR ,abbcca1,求证：a3ccb3aac3

12、b1b2【答案】（证明题）【解析】ba3ccb3aac3ba bcb cacc aba2b2c22,1ba3ccb3aac3ba ba2b2a22babbcca2cb cc a2abbcca 2【学问点】柯西不等式【适用场合】随堂课后练习【难度系数】 3 【试题来源】【题目】设ix0（i =1,2, , n）,且inx i 22kjnkx xj1,求in1ix的最大值与最小值；jn11 211 12,最小值为【答案】最大值为kkk1【解析】先求最小值,由于nx i2n2 x i2x x kjn2 x i2kx x kj1inix1,j1i1i11kjni11kjn等号成立当且仅当存在i 使得

13、xi =1,xj =0,j i nix的最小值为1i1再求最大值,令x kkyk,nky22ky kyj1 kk11kjnnn设 M =kx=kkyk1k1y 1y 2y na 1,令y 2y na2,y nan.就2 a 12 a 22 a n1n令 an+1=0,就 M=k aka k1k1=kn1kakn1ka k1kn1kakn1k1 akn1kk1akkkk由柯西不等式得n121n2 a k1nkk2 1122Mkk2k1k1k12等号成立2 a 112 a k2 a nkk1 2nn1a 1 2a 2 2a2a2nk121 2nn1 2kk1 2aknkk11 2（k=1,2, ,

14、 n）0k12kk1an,从而由于a 1a22kkk11k10,即kxykakak11nk22所求最大值为k11nkk1 22k1注：条件与结论跨度太大,需换元变形后再用柯西不等式；换元的作用是消去各式不同的k j；求最值时,确定要求出取得最值时的相应变量的值；【学问点】柯西不等式应用【适用场合】随堂课后练习【难度系数】 4 【试题来源】【题目】 ABC的三边长为a、b、 c,其外接圆半径为R,求证：a2b2c21A1B1C36R2sin2sin2sin2【答案】（证明题）【解析】证明：由三角形中的正弦定理得sinAa,2R所以1A24R2,同理1B4R214R22Ra2R236R2；,sin

15、2a2sin2b2sin2Cc2于是左边 =ab2c24R24R24R2a2Raa2b2c2abc【学问点】柯西不等式基础【适用场合】课后两周练习【难度系数】 2 【试题来源】【题目】已知正数 x,y,z中意 x+y+z=xyz, 且不等式1xy1z1x 恒成立 , 求 的范畴 . xyzz【答案】3 ,+ 2z, 得【解析】由二元均值不等式及柯西不等式xy111xyyzzx2121z211xzxyyzx2yzy3xy12 12 12 1xzzxxy z故的 取 值 范 围 是2yyzxy23 ,+ . 2【学问点】柯西不等式应用【适用场合】课后两周练习【难度系数】 3 【试题来源】【题目】设

16、a a2,2,a 为正实数,求证：a3a2a4a 1ana22a 1a 2an2a 12 a 1aa2a2a 32n【答案】（证明题）【解析】固定一个a 1 2,a 2 2,a 的位置,再让另一个 n 2a 1 2,a 2 2,1,a 进行轮换 n 2a 1 2a 2 2a21a2 na na nn2 a n2 a 1a2 2a212a a 2a a 3na 1 2a2a2a21a n 2a a 3an1an23na 3 2a2a2a 1 2a22a a 2452所以有2 a 1a22 a na a2a a 3a a ,a 2a 3a a 1a 2,a 222 a 12 a 2a2 na a 3a a4a a ,相加得22 a 1a2a2a a 2a3a 2a 3a 42na n2 a na 2a 1a 3a 3a 2a n所以22 a 12 a 2a 4a 1a 2a2a 2a 1a 3a a2a 3a2a3a4ana 1a 4a 1a 1a2an2；所以得证；【学问点】柯西不等式应用【适用场合】课后一个月练习【难度系数】 4 【