2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷)1

1、绝密 启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(2017全国1,理1)已知集合A=x|x1,B=x|3x1,则()A.AB=x|x1D.AB=解析3x1=30,x0,B=x|x0,AB=x|x0,

2、AB=x|x1 000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入()A.A1 000和n=n+1B.A1 000和n=n+2C.A1 000和n=n+1D.A1 000和n=n+2解析因为要求A大于1 000时输出,且程序框图中在“否”时输出,所以“”中不能填入A1 000,排除A,B.又要求n为偶数,且n初始值为0,所以“”中n依次加2可保证其为偶数,故选D.答案D9.(2017全国1,理9)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin(2x+23),则下面结论正确的是(A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线CB.把C1上各

3、点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线CC.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线解析曲线C1的方程可化为y=cos x=sinx+2,把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得曲线y=sin2x+2=sin 2x+4,为得到曲线C2答案D10.(2017全国1,理10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线

4、l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10解析方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得y消去y,得k12x2-2k12x-4所以x1+x2=2k同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=2k由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=2k12+4k12+2k22+4当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为不妨令0,2.作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,所以|AF|cos +2=|AF|,即

5、|AF|=21同理可得|BF|=21+cos,所以|AB|=又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为2+,则|DE|=4所以|AB|+|DE|=4sin2+4cos2=4sin2答案A11.(2017全国1,理11)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2x1,可得2x3y;再由所以3y2x100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.110解析设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为n(1+n)2.第n组的和为1

6、-2n1-2=2n-1,前由题意,N100,令n(1+n)2100,得n14且nN*,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N满足:N100且前N项和为2的整数幂,则SN-Sn(1+n)2应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(kN*,n14),所以k=所以N=29(1+29)2+5答案A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(2017全国1,理13)已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.解析因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|a|b|cos 60+4|b|2=22+42112+41=所以|a+2b|=12=23.答案2314.

7、(2017全国1,理14)设x,y满足约束条件x+2y1,2x+y-解析不等式组x+2y由z=3x-2y,得y=32x-z2.求z的最小值,即求直线y=32x-数形结合知当直线y=32x-z2过图中点A时,由2x+y=-1,x+2y=1,解得A点坐标为(-1,1),此时z取得最小值为答案-515.(2017全国1,理15)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=解析如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,MAN=60,|AP|=32b,|OP|=|设双曲线C的一条渐近线y=

8、bax的倾斜角为,则tan =|AP|OP|=32ba2-34b2.又e=1+b答案216.(2017全国1,理16)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.解析如图所示,连接OD,交BC于点G.由题意知ODBC,OG=36BC设OG=x,则BC=23x,DG=5-x,三棱锥的高h=DG因为SABC=1

9、223x3x=33x2所以三棱锥的体积V=13SABCh=3x225令f(x)=25x4-10 x5,x0,52,则f(x)=100 x3-50 x4.令f(x)=0,则f(x)在(0,2)单调递增,在2,5所以f(x)max=f(2)=80.所以V380=415,所以三棱锥体积的最大值为4答案415三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(2017全国1,理17)(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为a2(1)求sin

10、 Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.解(1)由题设得12acsin B=a23sinA,即12c由正弦定理得12sin Csin B=sin故sin Bsin C=23(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即cos(B+C)=-1所以B+C=23,故A=由题设得12bcsin A=a23sinA,由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故ABC的周长为3+33.18.(2017全国1,理18)(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面

11、PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角A-PB-C的余弦值.解(1)由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD内作PFAD,垂足为F.由(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,可得PF平面ABCD.以F为坐标原点,FA的方向为x轴正方向,|AB|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.由(1)及已知可得A22,0,0,P0,0所以PC=-22,1,-2设n=(x,y,z)是平面PCB的法向量,则n可取n=(0,-1,-2).设m=(x,

12、y,z)是平面PAB的法向量,则m可取m=(1,0,1).则cos=nm|所以二面角A-PB-C的余弦值为-3319.(2017全国1,理19)(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的

13、生产过程进行检查.()试说明上述监控生产过程方法的合理性;()下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x=116i=116xi=9.97,s=116i=116(xi-x用样本平均数x作为的估计值,用样本标准差s作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(-3,+3)之外的数据,用剩下的数据估计附:若随机变量Z服从正态分布N(,2),则P(-3Zb0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,32),(1)求C的

14、方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.解(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.又由1a2+1b21a2+34b因此1b2故C的方程为x24+y2=(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t0,且|t|0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8km4k2+1,x1而k1+k2=y=k=2k由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)4m2-44k2+1+解得k=-m+1当

15、且仅当m-1时,0,于是l:y=-m+12即y+1=-m+12(所以l过定点(2,-1).21.(2017全国1,理21)(12分)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).()若a0,则f(x)0,则由f(x)=0得x=-ln a.当x(-,-ln a)时,f(x)0,所以f(x)在(-,-ln a)单调递减,在(-ln a,+)单调递增.(2)()若a0,由(1)知,f(x)至多有一个零点.()若a0,由

16、(1)知,当x=-ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(-ln a)=1-1a+ln a当a=1时,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一个零点;当a(1,+)时,由于1-1a+ln a即f(-ln a)0,故f(x)没有零点;当a(0,1)时,1-1a+ln a0,即f(-ln a)-2e-2+20,故f(x)在(-,-ln a)有一个零点.设正整数n0满足n0ln3a-1,则f(n0)=en0(aen0+a-2)-n0en0由于ln3a-1-ln a,因此f(x)在(-ln a,+综上,a的取值范围为(0,1).(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多

17、做,则按所做的第一题计分。22.(2017全国1,理22)选修44:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=3cos,y=sin,(为参数),直线l(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为17,求a.解(1)曲线C的普通方程为x29+y2=当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由x+4y从而C与l的交点坐标为(3,0),-21(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos ,sin )到l的距离为d=|3cos当a-4时,d的最大值为a+917.由题设得a+917当a-4时,d的最大值为-a+117.由题设得-a+1综上,a=8或a=-16.23.(2017全国1,理23)选修45:不等式选讲(10分)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)