2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷)3

1、绝密 启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(2017全国3,理1)已知集合A=(x,y)|x2+y2=1,B=(x,y)|y=x,则AB中元素的个数为()A.3B.2C.1D.0解析A表示圆x

2、2+y2=1上所有点的集合,B表示直线y=x上所有点的集合,易知圆x2+y2=1与直线y=x相交于两点22,22,-22,-答案B2.(2017全国3,理2)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.12B.22C.2D解析由题意,得z=2i1+i=1+i,故|z|=1答案C3.(2017全国3,理3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月

3、至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳解析由题图可知2014年8月到9月的月接待游客量在减少,故A错误.答案A4.(2017全国3,理4)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为()A.-80B.-40C.40D.80解析(2x-y)5的展开式的通项公式Tr+1=C5r(2x)5-r(-y)当r=3时,x(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C5322(-1)3当r=2时,y(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C5223(-1)2=故展开式中x3y3的系数为80-40=40.答案C5.(2017全国3,理5)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,

4、b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x2A.x28-y210=1B.x24-y25解析由题意得ba=52又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为x24-答案B6.(2017全国3,理6)设函数f(x)=cos(x+3),则下列结论错误的是(A.f(x)的一个周期为-2B.y=f(x)的图像关于直线x=8C.f(x+)的一个零点为x=6D.f(x)在(2,解析由f(x)=cosx+3的解析式知-2是它的一个周期,故将x=83代入f(x)=cosx+3,得f83=-1,故y=f(x)的图像关于直线x=f(x+)=cosx+43,当x=6时,f(x+)=cos6当x2,时,x

5、+356,43答案D7.(2017全国3,理7)执行右面的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为()A.5B.4C.3D.2解析程序运行过程如下表所示:SMt初始状态01001第1次循环结束100-102第2次循环结束9013此时S=90b0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0A.63B.33C.23解析以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,所以圆心到该直线的距离d=2abb整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),所以c2a2=23,从而答案A11

6、.(2017全国3,理11)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-12B.13C.12解析f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+e-(2-x)+1)=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),f(2-x)=f(x),即x=1为f(x)图像的对称轴.f(x)有唯一零点,f(x)的零点只能为1,即f(1)=12-21+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=12答案C12.(2017全国3,理12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=

7、2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=AB+AD,则+的最大值为()A.3B.22C.5D.2解析建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设P(x,y),由|BC|CD|=|BD|r,得r=|BC即圆的方程是(x-2)2+y2=45易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).由AP=AB+AD,得x=2,y-1=-,所以所以+=12x-y+1设z=12x-y+1,即12x-y+1-z=因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上所以圆心C到直线12x-y+1-z=0的距离dr即|2-z|14+1所以z的最大值是3,即+的最

8、大值是3,故选A.答案A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(2017全国3,理13)若x,y满足约束条件x-y0,x+y-20,解析画出不等式组表示的可行域,如图,结合目标函数的几何意义,得目标函数在点A(1,1)处取得最小值z=31-41=-1.答案-114.(2017全国3,理14)设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.解析设an的公比为q,则由题意,得a1(1+q)=-1,a1(答案-815.(2017全国3,理15)设函数f(x)=x+1,x0,2x,x0,则满足f(x)解析f(x)=x+1,x0,2x,即fx-121-f(x),利用图像变

9、换,在同一平面直角坐标系中画出y=fx-12与y=1-f(由数形结合可知,满足fx-121-f(x)答案-16.(2017全国3,理16)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:当直线AB与a成60角时,AB与b成30角;当直线AB与a成60角时,AB与b成60角;直线AB与a所成角的最小值为45;直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由ACa,ACb,得AC圆锥底面,在底面内可以过点B,作BDa,交底面圆C

10、于点D,如图所示,连接DE,则DEBD,DEb.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=2,当直线AB与a成60角时,ABD=60,故BD=2.又在RtBDE中,BE=2,DE=2,过点B作BFDE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=2,ABF为等边三角形,ABF=60,即AB与b成60角,正确,错误.由最小角定理可知正确;很明显,可以满足直线a平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90,错误.故正确的说法为.答案三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必

11、考题:共60分。17.(2017全国3,理17)(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解(1)由已知可得tan A=-3,所以A=2在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos2即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得CAD=2所以BAD=BAC-CAD=6.故ABD面积与ACD面积的比值为12AB又ABC的面积为1242sinBAC=23,所以ABD的面积为318.(12分)(2017全国3,理18)某超市计划按月订购一种

12、酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;

13、(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?解(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)=2+1690=0.2,P(X=300)=3690=0.4,P(X=500)=25+7+490=0因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200n500.当300n500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(n-300)-4n=

14、1 200-2n;若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.当200n300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n.所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.19.(12分)(2017全国3,理19)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)证

15、明:平面ACD平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.解(1)由题设可得,ABDCBD,从而AD=DC.又ACD是直角三角形,所以ADC=90.取AC的中点O,连接DO,BO,则DOAC,DO=AO.又由于ABC是正三角形,故BOAC.所以DOB为二面角D-AC-B的平面角.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2,又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.所以平面ACD平面ABC.(2)由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直,以O为坐标原点,OA的方向为x轴正方向,|

16、OA|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12,即E为DB的中点,得E故AD=(-1,0,1),AC=(-2,0,0),AE=设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,则n可取n=1,设m是平面AEC的法向量,则m同理可取m=(0,-1,3).则cos=n所以二面角D-AE-C的余弦值为7720.(12分)(2017全国3,理20)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆

17、M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由x=my+2,y2=2x可得y2-2my-4=0,又x1=y122,x2=y222,故x1x因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x所以OAOB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=(m由于圆M过点P(4,-2),因此APBP故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x

18、2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-12时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为94,-12,圆M的半径为85421.(12分)(2017全国3,理21)已知函数f(x)=x-1-aln x.(1)若f(x)0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+12)(1+122)(1+12n)m解(1)f(x)的定义域为(0,+).若a0,因为f12=-12+aln 20,由f(x)=1-ax=x-ax知,当x(0,a)时,f(x)0.令x=1+12n得ln从而ln1+12+ln1+122+ln1+12n12故1+121+而1+121+1221+(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.(10分)(2017全国3,理22)选修4