2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)理

1、浙江理科选择题部分(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013浙江,理1)已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=(). A.-3+iB.-1+3iC.-3+3iD.-1+i答案:B解析:(-1+i)(2-i)=-2+i+2i-i2=-1+3i,故选B.2.(2013浙江,理2)设集合S=x|x-2,T=x|x2+3x-40,则(RS)T=().A.(-2,1B.(-,-4C.(-,1D.1,+)答案:C解析:由题意得T=x|x2+3x-40=x|-4x1.又S=x|x-2,(RS)T=x|x-2x|-4

2、x1=x|x1,故选C.3.(2013浙江,理3)已知x,y为正实数,则().A.2lg x+lg y=2lg x+2lg yB.2lg(x+y)=2lg x2lg yC.2lg xlg y=2lg x+2lg yD.2lg(xy)=2lg x2lg y答案:D解析:根据指数与对数的运算法则可知,2lg x+lg y=2lg x2lg y,故A错,B错,C错;D中,2lg(xy)=2lg x+lg y=2lg x2lg y,故选D.4.(2013浙江,理4)已知函数f(x)=Acos(x+)(A0,0,R),则“f(x)是奇函数”是“=2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要

3、条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:若f(x)是奇函数,则=k+2,kZ若=2,则f(x)=Acos(x+)=-Asin x,显然是奇函数所以“f(x)是奇函数”是“=2”的必要不充分条件5.(2013浙江,理5)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是95,则()A.a=4B.a=5C.a=6D.a=7答案:A解析:该程序框图的功能为计算1+112+123+1a(a+1)=2-1a+1的值,由已知输出的值为956.(2013浙江,理6)已知R,sin +2cos =102,则tan 2=()A.43B.34C.-34答案:C解析:由sin +2cos =102得,sin =102-

4、2cos 把式代入sin2+cos2=1中可解出cos =1010当cos =1010时,sin =3当cos =31010时,sin =-tan =3或tan =-13,tan 2=-37.(2013浙江,理7)设ABC,P0是边AB上一定点,满足P0B=14AB,且对于边AB上任一点P,恒有PBPCP0A.ABC=90B.BAC=90C.AB=ACD.AC=BC答案:D解析:设PB=tAB(0t1),PC=PB+PBPC=(tAB)(tAB+BC)=t2AB2+tAB由题意PBPCP0即t2AB2+tAB=142AB即当t=14时PB由二次函数的性质可知:-AB即:-ABBC=AB12AB

5、+取AB中点M,则12ABMC=0,即ABMC.AC=BC.故选D.8.(2013浙江,理8)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则().A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值答案:C解析:当k=1时,f(x)=(ex-1)(x-1),f(x)=xex-1,f(1)=e-10,f(x)在x=1处不能取到极值;当k=2时,f(x)=(ex-1)(x-1)2,f(x)=(x-1)(xex+ex-2),令H(x)=xex

6、+ex-2,则H(x)=xex+2ex0,x(0,+).说明H(x)在(0,+)上为增函数,且H(1)=2e-20,H(0)=-10,因此当x0 x1(x0为H(x)的零点)时,f(x)1时,f(x)0,f(x)在(1,+)上是增函数.x=1是f(x)的极小值点,故选C.9.(2013浙江,理9)如图,F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是(A.2B.3C.32D.答案:D解析:椭圆C1中,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=23.又因为四边形AF1BF2为矩形,所以F1AF

7、2=90.所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,所以|AF1|=2-2,|AF2|=2+2.所以在双曲线C2中,2c=23,2a=|AF2|-|AF1|=22,故e=ca=3210.(2013浙江,理10)在空间中,过点A作平面的垂线,垂足为B,记B=f(A).设,是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=ff(P),Q2=ff(P),恒有PQ1=PQ2,则().A.平面与平面垂直B.平面与平面所成的(锐)二面角为45C.平面与平面平行D.平面与平面所成的(锐)二面角为60答案:A非选择题部分(共100分)二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.(2013浙江,理11

8、)设二项式x-13x5的展开式中常数项为A答案:-10解析:Tr+1=C5r(x)5-r-13xr=C5rx5-r2(-1)rx-r3=(-1)r所以A=(-1)3C53=-C512.(2013浙江,理12)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于cm3.答案:24解析:由三视图可知该几何体为如图所示的三棱柱割掉了一个三棱锥.VA1EC1-ABC=VA1B1C1-ABC-VE-13.(2013浙江,理13)设z=kx+y,其中实数x,y满足x+y-20,x-答案:2解析:画出可行域如图所示.由可行域知,最优解可能在A(0,2)或C(4,4)处取得.若在A(0,2)处取得不

9、符合题意;若在C(4,4)处取得,则4k+4=12,解得k=2,此时符合题意.14.(2013浙江,理14)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).答案:480解析:如图六个位置123456.若C放在第一个位置,则满足条件的排法共有A55种情况;若C放在第2个位置,则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A,B,再在余下的3个位置排D,E,F,共A42A33种排法;若C放在第3个位置,则可在1,2两个位置排A,B,其余位置排D,E,F,则共有A22A33种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A,B,再在其余3个位置排D,E,F,

10、共有A32A33种排法;若C在第4个位置,则有A22A33+A3综上,共有2(A55+A42A315.(2013浙江,理15)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于.答案:1解析:设直线l的方程为y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2).由y2=4x,y=k(x+1)联立,得k2x2+2(k2-2)x+k2=x1+x22=-k即Q-1+又|FQ|=2,F(1,0),-1+2k2-1216.(2013浙江,理16)在ABC中,C=90,M是BC的中点.若sinBAM=13,则sinB

11、AC=答案:6解析:如图以C为原点建立平面直角坐标系,设A(0,b),B(a,0),则Ma2,0,AB=(acosMAB=AB=a2又sinMAB=13cosMAB=1-a2整理得a4-4a2b2+4b4=0,即a2-2b2=0,a2=2b2,sinCAB=aa17.(2013浙江,理17)设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,yR.若e1,e2的夹角为6,则|x|答案:2解析:|b|2=(xe1+ye2)2=x2+y2+2xye1e2=x2+y2+3xy.|x|b|=|x当x0时,|x|三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(2

12、013浙江,理18)(本题满分14分)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.解:(1)由题意得5a3a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0,故d=-1或d=4.所以an=-n+11,nN*或an=4n+6,nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0,由(1)得d=-1,an=-n+11.则当n11时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn=-12n2+21当n12时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-Sn+2S11=12n2-212n+综上所述,|a

13、1|+|a2|+|a3|+|an|=-19.(2013浙江,理19)(本题满分14分)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量为取出此2球所得分数之和,求的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量为取出此球所得分数.若E=53,D=59,求ab解:(1)由题意得=2,3,4,5,6.故P(=2)=3366P(=3)=23266P(=4)=231+2266P(=5)=22166P(=6)=1166所以的

14、分布列为23456P11511(2)由题意知的分布列为123Pabc所以E()=aaD()=1-532aa化简得2解得a=3c,b=2c,故abc=321.20.(2013浙江,理20)(本题满分15分)如图,在四面体A-BCD中,AD平面BCD,BCCD,AD=2,BD=22.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.(1)证明:PQ平面BCD;(2)若二面角C-BM-D的大小为60,求BDC的大小.方法一:(1)证明:取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF=3FC,连结OP,OF,FQ,因为AQ=3QC,所以QFAD,且QF=14因为O,P分别为BD,BM的中

15、点,所以OP是BDM的中位线,所以OPDM,且OP=12又点M为AD的中点,所以OPAD,且OP=14从而OPFQ,且OP=FQ,所以四边形OPQF为平行四边形,故PQOF.又PQ平面BCD,OF平面BCD,所以PQ平面BCD.(2)解:作CGBD于点G,作CHBM于点H,连结CH.因为AD平面BCD,CG平面BCD,所以ADCG,又CGBD,ADBD=D,故CG平面ABD,又BM平面ABD,所以CGBM.又GHBM,CGGH=G,故BM平面CGH,所以GHBM,CHBM.所以CHG为二面角C-BM-D的平面角,即CHG=60.设BDC=.在RtBCD中,CD=BDcos =22cos ,CG

16、=CDsin =22cos sin ,BG=BCsin =22sin2.在RtBDM中,HG=BG在RtCHG中,tanCHG=CGHG所以tan =3.从而=60.即BDC=60.方法二:(1)证明:如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A(0,2,2),B(0,-2,0),D(0,2,0).设点C的坐标为(x0,y0,0).因为AQ=3QC,所以Q34因为M为AD的中点,故M(0,2,1).又P为BM的中点,故P0,所以PQ=又平面BCD的一个法向量为u=(0,0,1),故PQu=0.又PQ平面BCD,所以PQ平面BCD

17、.(2)解:设m=(x,y,z)为平面BMC的一个法向量.由CM=(-x0,2-y0,1),BM=(0,22,1),知-取y=-1,得m=y0又平面BDM的一个法向量为n=(1,0,0),于是|cos|=|mn|m|又BCCD,所以CBCD=0,故(-x0,-2-y0,0)(-x0,2-y0,0)=0,即x02+y联立,解得x0=0,y0所以tanBDC=x0又BDC是锐角,所以BDC=60.21.(2013浙江,理21)(本题满分15分)如图,点P(0,-1)是椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径,l1,l2是过点P且互相垂直的两条直

18、线,其中l1交圆C2于A,B两点(1)求椭圆C1的方程;(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程.解:(1)由题意得b所以椭圆C的方程为x24+y2=(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为y=kx-1.又圆C2:x2+y2=4,故点O到直线l1的距离d=1k所以|AB|=24-d2=又l2l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0.由x消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,故x0=-8k所以|PD|=8k设ABD的面积为S,则S=12|AB|PD|=8所以S=32322当且仅当k=102时取等号所以所求直线l1的方程为y=102x-122.(2013浙江,理22)(本题满分14分)已知aR,函