2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(重庆卷)理

1、12重庆(理)1.(2012重庆,理1)在等差数列an中,a2=1,a4=5,则an的前5项和S5=().A.7B.15C.20D.25B设数列an的首项为a1,公差为d,则a2=a1+d=1,a4=a1+3d=5,解得a1=-1,d=2,所以Sn=n2-2n,S5=15,故选B.2.(2012重庆,理2)不等式0的解集为().A.B.C.1,+)D.1,+)A不等式可化为解不等式组得-x1,故选A.3.(2012重庆,理3)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是().A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心C直线y=kx+1过定点(0,1),而0

2、2+122,所以点(0,1)在圆x2+y2=2内部,直线y=kx+1与圆x2+y2=2相交且直线不经过圆心,故选C.4.(2012重庆,理4)的展开式中常数项为().A.B.C.D.105B二项式的通项为Tr+1=()8-r(2)-r=2-r,令=0得r=4,所以二项展开式的常数项为T5=2-4=,故选B.5.(2012重庆,理5)设tan ,tan 是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(+)的值为().A.-3B.-1C.1D.3A因为tan ,tan 是方程x2-3x+2=0的两根,所以tan +tan =3,tan tan =2,而tan(+)=-3,故选A.6.(2012重庆,理6

3、)设x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,则|a+b|=().A.B.C.2D.10B由ac,得ac=2x-4=0,解得x=2.由bc得=,解得y=-2,所以a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),|a+b|=,故选B.7.(2012重庆,理7)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的().A.既不充分也不必要的条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.充要条件D若f(x)为0,1上的增函数,则f(x)在-1,0上为减函数,根据f(x)的周期为2可推出f(

4、x)为3,4上的减函数;若f(x)为3,4上的减函数,则f(x)在-1,0上也为减函数,所以f(x)在0,1上为增函数,故选D.8.(2012重庆,理8)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是().A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)D由图可得函数y=(1-x)f(x)的零点为-2,1,2,则当x0,此时在(-,-2)上f(x)0,f(x)0,在(-2,1)上

5、f(x)0,f(x)1时,1-x0,f(x)0,在(2,+)上f(x)0.所以f(x)在(-,-2)为增函数,在(-2,2)为减函数,在(2,+)为增函数,因此f(x)有极大值f(-2),极小值f(2),故选D.9.(2012重庆,理9)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是().A.(0,)B.(0,)C.(1,)D.(1,)A四面体如图1所示,设AB=AC=BD=CD=1,AD=,BC=a,则a0.当A,B,C,D四点共面时,BC=(如图2所示).而此时A,B,C,D四点不能构成四面体,所以a,故选A.图1图210.(2012重庆,理1

6、0)设平面点集A=,B=(x,y)|(x-1)2+(y-1)21,则AB所表示的平面图形的面积为().A.B.C.D.D不等式(y-x)0可化为或集合B表示圆(x-1)2+(y-1)2=1上以及圆内部的点所构成的集合,AB所表示的平面区域如图所示.由线y=,圆(x-1)2+(y-1)2=1均关于直线y=x对称,所以阴影部分占圆面积的一半,故选D.11.(2012重庆,理11)若(1+i)(2+i)=a+bi,其中a,bR,i为虚数单位,则a+b=.4(1+i)(2+i)=1+3i=a+bi,所以a=1,b=3,a+b=4.12.(2012重庆,理12)=.=.13.(2012重庆,理13)设A

7、BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A=,cos B=,b=3,则c=.由已知条件可得sin A=,sin B=,而sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,根据正弦定理=得c=.14.(2012重庆,理14)过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=,|AF|BF|,则|AF|=.F点坐标为,设A,B两点的横坐标为x1,x2.因|AF|BF|,故直线AB不垂直于x轴.设直线AB为y=k,联立直线与抛物线的方程得k2x2-(k2+2)x+=0,则x1+x2=,又|AB|=x1+x2+1=,可解得k2=24,代入式得12

8、x2-13x+3=0,即(3x-1)(4x-3)=0.而|AF|0),f(x)=-+=.令f(x)=0,解得x1=1,x2=-.当x(0,1)时,f(x)0,故f(x)在(1,+)上为增函数.故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3.17.(2012重庆,理17)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率;(2)求投篮结束时甲的投球次数的分布列与期望.解:设Ak,Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中,则P(Ak)=,P(Bk)=(k=1,2,

9、3).(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=P(A1)+P()P()P(A2)+P()P()P()P()P(A3)=+=+=.(2)的所有可能值为1,2,3.由独立性知P(=1)=P(A1)+P(B1)=+=,P(=2)=P(A2)+P(B2)=+=,P(=3)=P()=.综上知,有分布列123P从而,E=1+2+3=(次).18.(2012重庆,理18)设f(x)=4cossin x-cos(2x+),其中0.(1)求函数y=f(x)的值域;(2)若f(x)在区间上为增函数,求的最大值.解:(

10、1)f(x)=4sin x+cos 2x=2sin xcos x+2sin2x+cos2x-sin2x=sin 2x+1.因-1sin 2x1,所以函数y=f(x)的值域为1-,1+.(2)因y=sin x在每个闭区间(kZ)上为增函数,故f(x)=sin 2x+1(0)在每个闭区间(kZ)上为增函数.依题意知对某个kZ成立,此时必有k=0,于是解得,故的最大值为.19.(2012重庆,理19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点.(1)求点C到平面A1ABB1的距离;(2)若AB1A1C,求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值.解:(1)由AC=

11、BC,D为AB的中点,得CDAB.又CDAA1.故CD面A1ABB1,所以点C到平面A1ABB1的距离为CD=.(2)解法一:如图,取D1为A1B1的中点,连接DD1,则DD1AA1CC1.又由(1)知CD面A1ABB1,故CDA1D,CDDD1,所以A1DD1为所求的二面角A1-CD-C1的平面角.因A1D为A1C在面A1ABB1上的射影,又已知AB1A1C,由三垂线定理的逆定理得AB1A1D,从而A1AB1、A1DA都与B1AB互余,因此A1AB1=A1DA,所以RtA1ADRtB1A1A.因此=,即A=ADA1B1=8,得AA1=2.从而A1D=2.所以,在RtA1DD1中,AB1A1D

12、,从而A1AB1、A1DA都与B1AB互余,因此A1AB1=A1DA,所以RtA1ADRtB1A1A.因此=,即A=ADA1B1=8,得AA1=2.从而A1D=2.所以,在RtA1DD1中,cosA1DD1=.解法二:如图,过D作DD1AA1交A1B1于D1,在直三棱柱中,易知DB,DC,DD1两两垂直.以D为原点,射线DB,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.设直三棱柱的高为h,则A(-2,0,0),A1(-2,0,h),B1(2,0,h),C(0,0),C1(0,h),从而=(4,0,h),=(2,-h).由,有8-h2=0,h=2.故=(-2,0,2)

13、,=(0,0,2),=(0,0).设平面A1CD的法向量为m=(x1,y1,z1),则m,m,即取z1=1,得m=(,0,1).设平面C1CD的法向量为n=(x2,y2,z2),则n,n,即取x2=1,得n=(1,0,0),所以cos=.所以二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值为.20.(2012重庆,理20)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且AB1B2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2QB2,求直线l的方程.解:(1)如图所示,

14、设所求椭圆的标准方程为+=1(ab0),右焦点为F2(c,0).因AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,得b=,结合c2=a2-b2得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e=.在RtAB1B2中,OAB1B2,故=|B1B2|OA|=|OB2|OA|=b=b2.由题设条件=4得b2=4,从而a2=5b2=20,因此所求椭圆的标准方程为+=1.(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2.代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0,设P(x1

15、,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=,y1y2=-,又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),所以=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=-=+16=-.由PB2QB2,得=0,即16m2-64=0,解得m=2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.21.(2012重庆,理21)设数列an的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1,其中a20,(1)求证:an是首项为1的等比数列;(2)若a2-1,求证:Sn(a1+an),并给出等

16、号成立的充要条件.(1)证法一:由S2=a2S1+a1得a1+a2=a2a1+a1,即a2=a2a1,因a20,故a1=1,得=a2,又由题设条件知Sn+2=a2Sn+1+a1,Sn+1=a2Sn+a1,两式相减得Sn+2-Sn+1=a2(Sn+1-Sn),即an+2=a2an+1,由a20,知an+10,因此=a2,综上,=a2对所有nN*成立.从而an是首项为1,公比为a2的等比数列.证法二:用数学归纳法证明an=,nN*.当n=1时,由S2=a2S1+a1,得a1+a2=a2a1+a1,即a2=a2a1,再由a20,得a1=1,所以结论成立.假设n=k时,结论成立,即ak=,那么ak+1

17、=Sk+1-Sk=(a2Sk+a1)-(a2Sk-1+a1)=a2(Sk-Sk-1)=a2ak=.这就是说,当n=k+1时,结论也成立.综上可得,对任意nN*,an=.因此an是首项为1,公比为a2的等比数列.(2)证法一:当n=1或2时,显然Sn=(a1+an),等号成立.设n3,a2-1且a20.由(1)知a1=1,an=,所以要证的不等式化为1+a2+(1+)(n3),即证:1+a2+(1+)(n2).当a2=1时,上面不等式的等号成立.当-1a21时,-1与-1(r=1,2,n-1)同为正.因此当a2-1且a21时,总有(-1)(-1)0,即+1+(r=1,2,n-1).上面不等式对r从1到n-1求和得2(a2+)(n-1)(1+),由此得1+a2+-1且a20时,有Sn(a1+an),当且仅当n=1,2或a2=1时等号成立.证法二:当n=1或2时,显然Sn=(a1+an),等号成立.当a2=1时,Sn=n=(a1+an),等号也成立.当a21时,由(1)知Sn=,an=.下证:-1且a21).当-1a21时,上面不等式化为(n-2)+