2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)理

1、浙江理科1.(2012浙江,理1)设集合A=x|1x4,集合B=x|x2-2x-30,则A(RB)=(). A.(1,4)B.(3,4)C.(1,3)D.(1,2)(3,4)B由已知得,B=x|x2-2x-30=x|-1x3,所以RB=x|x3.所以A(RB)=x|3x4.2.(2012浙江,理2)已知i是虚数单位,则=().A.1-2iB.2-iC.2+iD.1+2iD=1+2i,选D.3.(2012浙江,理3)设aR,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件Al

2、1与l2平行的充要条件为a(a+1)=21且a41(-1),可解得a=1或a=-2,故a=1是l1l2的充分不必要条件.4.(2012浙江,理4)把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是().Ay=cos 2x+1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y1=cos x+1,再向左平移1个单位长度得y2=cos(x+1)+1,再向下平移1个单位长度得y3=cos(x+1),故相应的图象为A.5.(2012浙江,理5)设a,b是两个非零向量,().A.若|a+b|=|a|-|b|,则abB.若ab

3、,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数,使得b=aD.若存在实数,使得b=a,则|a+b|=|a|-|b|C由|a+b|=|a|-|b|两边平方可得,|a|2+2ab+|b|2=|a|2-2|a|b|+|b|2,即ab=-|a|b|,所以cos=-1,即a与b反向,根据向量共线定理,则存在实数,使得b=a.6.(2012浙江,理6)若从1,2,3,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有().A.60种B.63种C.65种D.66种D和为偶数共有3种情况,取4个数均为偶数的取法有=1(种),取2奇数2偶数的取法有=60(种),取4个数均

4、为奇数的取法有=5(种),故不同的取法共有1+60+5=66(种).7.(2012浙江,理7)设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和,则下列命题错误的是().A.若d0,则数列Sn有最大项B.若数列Sn有最大项,则d0D.若对任意nN*,均有Sn0,则数列Sn是递增数列CSn为递增数列,当n2时,Sn-Sn-1=an0,即n2时,an均为正数,而a1是正数、负数或是零均有可能,故对任意nN*,不一定Sn始终大于0.8.(2012浙江,理8)如图,F1,F2分别是双曲线C:-=1(a,b0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平

5、分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是().A.B.C.D.B设双曲线的半焦距为c,则|OB|=b,|OF1|=c.kPQ=,kMN=-.直线PQ为:y=(x+c),两条渐近线为:y=x.由得:Q;由得:P.直线MN为:y-=-,令y=0得:xM=.又|MF2|=|F1F2|=2c,3c=xM=,解之得:e2=,即e=.9.(2012浙江,理9)设a0,b0,().A.若2a+2a=2b+3b,则abB.若2a+2a=2b+3b,则abD.若2a-2a=2b-3b,则ab.10.(2012浙江,理10)已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将ABD沿矩形的对角线BD所在的

6、直线进行翻折,在翻折过程中,().A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直B当AC=1时,由DC=1,AD=,得ACD为直角,DCAC,又因为DCBC,所以DC面ABC.所以DCAB.11.(2012浙江,理11)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于 cm3.1由图可知三棱锥底面积S=13=(cm2),三棱锥的高h=2 cm,根据三棱锥体积公式,V=Sh=2=1(cm3).12.(2012浙江,理1

7、2)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是.当i=1时,T=1,当i=2时,T=,当i=3时,T=,当i=4时,T=,当i=5时,T=,当i=6时,结束循环,输出T=.13.(2012浙江,理13)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=.由已知S4-S2=3a4-3a2,即a4+a3=3a4-3a2,即2a4-a3-3a2=0,两边同除以a2得,2q2-q-3=0,即q=或q=-1(舍).14.(2012浙江,理14)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a5(1+x)5,其中a0,a1,a

8、2,a5为实数,则a3=.10由x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a5(1+x)5可得,可解得15.(2012浙江,理15)在ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=.-16=(+)(+)=+=|2+(+)+|cos =9-25=-16.16.(2012浙江,理16)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=.x2+(y+4)2=2到直线y=x的距离为-=,所以y=x2+a到y=x的距离为,而与y=x平行且距离为的直线有两条,分别

9、是y=x+2与y=x-2,而抛物线y=x2+a开口向上,所以y=x2+a与y=x+2相切,可求得a=.17.(2012浙江,理17)设aR,若x0时均有(a-1)x-1(x2-ax-1)0,则a=.当a1时,(a-1)x-11.所以(a-1)x-1在x上小于0,在x上大于0,要满足题意,x2-ax-1在x上也小于0,在x上大于0,故x=使x2-ax-1=0,解得a=.18.(2012浙江,理18)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cos A=,sin B=cos C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求ABC的面积.解:(1)因为0A,cos A=,得sin A=,又c

10、os C=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=cos C+sin C.所以tan C=.(2)由tan C=,得sin C=,cos C=.于是sin B=cos C=.由a=及正弦定理=,得c=.设ABC的面积为S,则S=acsin B=.19.(2012浙江,理19)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望E(X).解:(1)由题意得X取3,4,5,6,且P(X=3)=,P(X=4)

11、=,P(X=5)=,P(X=6)=.所以X的分布列为X3456P(2)由(1)知E(X)=3P(X=3)+4P(X=4)+5P(X=5)+6P(X=6)=.20.(2012浙江,理20)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,BAD=120,且PA平面ABCD,PA=2,M,N分别为PB,PD的中点.(1)证明:MN平面ABCD;(2)过点A作AQPC,垂足为点Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.(1)证明:因为M,N分别是PB,PD的中点,所以MN是PBD的中位线.所以MNBD.又因为MN平面ABCD,所以MN平面ABCD.(2)解法一:连结AC交BD于O,以O为原点,OC

12、,OD所在直线为x,y轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示.在菱形ABCD中,BAD=120,得AC=AB=2,BD=AB=6.又因为PA平面ABCD,所以PAAC.在直角PAC中,AC=2,PA=2,AQPC,得QC=2,PQ=4,由此知各点坐标如下,A(-,0,0),B(0,-3,0),C(,0,0),D(0,3,0),P(-,0,2),M,N,Q.设m=(x,y,z)为平面AMN的法向量.由=,=,知取z=-1,得m=(2,0,-1).设n=(x,y,z)为平面QMN的法向量.由=,=知取z=5,得n=(2,0,5).于是cos=.所以二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为.解法二:

13、在菱形ABCD中,BAD=120,得AC=AB=BC=CD=DA,BD=AB.又因为PA平面ABCD,所以PAAB,PAAC,PAAD.所以PB=PC=PD.所以PBCPDC.而M,N分别是PB,PD的中点,所以MQ=NQ,且AM=PB=PD=AN.取线段MN的中点E,连结AE,EQ,则AEMN,QEMN,所以AEQ为二面角A-MN-Q的平面角.由AB=2,PA=2,故在AMN中,AM=AN=3,MN=BD=3,得AE=.在直角PAC中,AQPC,得AQ=2,QC=2,PQ=4,在PBC中,cosBPC=,得MQ=.在等腰MQN中,MQ=NQ=,MN=3,得QE=.在AEQ中,AE=,QE=,

14、AQ=2,得cosAEQ=.所以二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为.21.(2012浙江,理21)如图,椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为,不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.(1)求椭圆C的方程;(2)求ABP面积取最大值时直线l的方程.解:(1)设椭圆左焦点为F(-c,0),则由题意得得所以椭圆方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时,直线AB的方程为x=0,与不过原点的条件不符,舍去.故可设直线AB的方程为y=kx+m(m0),由消去y,整理得(3+4k2)x2+

15、8kmx+4m2-12=0,则=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)0,所以线段AB的中点M,因为M在直线OP上,所以=,得m=0(舍去)或k=-.此时方程为3x2-3mx+m2-3=0,则=3(12-m2)0,所以|AB|=|x1-x2|=.设点P到直线AB距离为d,则d=.设ABP的面积为S,则S=|AB|d=,其中m(-2,0)(0,2).令u(m)=(12-m2)(m-4)2,m-2,2,u(m)=-4(m-4)(m2-2m-6)=-4(m-4)(m-1-)(m-1+).所以当且仅当m=1-,u(m)取到最大值.故当且仅当m=1-,S取到最大值.综上,所求直线l方程为3x+2

16、y+2-2=0.22.(2012浙江,理22)已知a0,bR,函数f(x)=4ax3-2bx-a+b.(1)证明:当0 x1时,函数f(x)的最大值为|2a-b|+a;f(x)+|2a-b|+a0;(2)若-1f(x)1对x0,1恒成立,求a+b的取值范围.(1)证明:f(x)=12ax2-2b=12a.当b0时,有f(x)0,此时f(x)在0,+)上单调递增.当b0时,f(x)=12a,此时f(x)在上单调递减,在上单调递增.所以当0 x1时,f(x)max=maxf(0),f(1)=max-a+b,3a-b=|2a-b|+a.由于0 x1,故当b2a时,f(x)+|2a-b|+a=f(x)+3a-b=4ax3-2bx+2a4ax3-4ax+2a=2a(2x3-2x+1).当b2a时,f(x)+|2a-b|+a=f(x)-a+b=4ax3+2b(1-x)-2a4ax3+4a(1-x)-2a=2a(2x3-2x+1).设g(x)=2x3-2x+1,0 x1,则g(x)=6x2-2=6,于是x01g(x)-0+g(x