考研数学之线性代数讲义考点知识点概念定理归纳总结

1、文档编码 : CP7V10K4J10L4 HA8G6S5E8M1 ZV6T10H4R5S2线性代数讲义目录第一讲 基本概念线性方程组 矩阵与向量 初等变换和阶梯形矩阵 线性方程组的矩阵消元法其次讲 行列式完全开放式 化零降阶法 其它性质 克莱姆法就第三讲 矩阵乘法 乘积矩阵的列向量和行向量 矩阵分解 矩阵方程 逆矩阵 相伴矩阵第四讲 向量组线性表示 向量组的线性相关性 向量组的极大无关组和秩 矩阵的秩第五讲 方程组解的性质 解的情形的判别 基础解系和通解第六讲 特点向量与特点值 相像与对角化特点向量与特点值 概念,运算与应用 相像 对角化 判定与实现附录一 内积正交矩阵 施密特正交化 实对称矩

2、阵的对角化第七讲 二次型二次型及其矩阵 可逆线性变量替换 实对称矩阵的合同 标准化和规范化 惯性指数 正定二次型与正定矩阵附录二 向量空间及其子空间附录三 两个线性方程组的解集的关系附录四 06,07 年考题第 1 页,共 56 页第一讲 基本概念1线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: m 不必相 等. k 1,k 2, ,k n 称为解向量, 它中意: 当每个方程中的a11x 1+a12x 2+ +a1nx n=b1, a21x 1+a22x 2+ +a2nx n=b2, am1x 1+am2x 2+ +amnx n=bm, 其中未知数的个数n 和方程式的个数线性方程组的解是一个n

3、维向量未知数x i 都用ki 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情形有三种: 无解, 唯独解, 无穷多解. 对线性方程组争论的主要问题两个 :1 判定解的情形.2 求解, 特殊是在有无穷多接时求通解. b1=b2= =bm=0 的线性方程组称为 齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解 , 称为零解 . 因此齐次线性方程组解的情形只有两种: 唯独解 即只要零解 和无穷多解 即有非零解. 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成 原方程组的导出齐次线性方程组,简称导出组. 2. 矩阵和向量 1 基本概念矩阵和向量都是描写事物形状的数0,所得到的齐次线性方程组称为量形式的进展.

4、 , 就成为一个mn由m n 个数排列成的一个m 行n 列的表格, 两边界以圆括号或方括 号型矩阵. 例如2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 是一个33 3 -1 8 b1 4 5 矩阵. 对于上面的线性方程组, 称矩阵a11 a 12 a 1n a11 a 12 a 1n A= a 21 a 22 a 2n 和 A| = a 21 a 22 a 2n b2 am1 a m2 amn am1 a m2 amn bm 为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵表达了方程组的全部信息 就表达其全部信息 . , 而齐次方程组只用系数矩阵一个矩阵中的数称为它的元素, 位于第i 行第

5、j 列的数称为i,j 位元素. 元素全为0 的矩阵称为零矩阵, 通常就记作0. 两个矩阵A 和B 相等 记作A=B, 是指它的行数相等, 列数也相等 即它们的类型相同 , 并且对应的元素都相等 . 由n 个数构成的有序数组称为一个n 维向量, 称这些数为它的重量. 书写中可用矩阵的形式来表示向量, 例如重量依次是a1,a 2, ,a n 的向量可表示成第 2 页,共 56 页a 1,a 2, a,a n 或a12 , a n请留意, 作为向量它们并没有区分, 但是作为矩阵, 它们不一样 左边是1 n 矩阵, 右边是n 1 矩阵. 习惯上把它们分别称为行向量和列向量 . 请留意与下面规定的矩阵的

6、行向量和列向量概念的区分 . 一个m n 的矩阵的每一行是一个 n 维向量, 称为它的行向量; 每一列是一个 m 维向称为它的列向量 . 经常用矩阵的列向量组来写出矩阵 , 例如当矩阵 A 的列向量组为 量, 1, 2, , n 时 它们都是表示为列的形式 . 可记A= 1, 2, , n. 矩阵的很多概念也可对向量来规定 , 如元素全为 0 的向量称为零向量, 通常也记作0. 两个向量 和相等 记作= , 是指它的维数相等 , 并且对应的重量都相等 . 2 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的 , 下面以矩阵为例来说明 . 加 减 法: 两个m n 的矩阵A 和B 可以相加 减, 得到

7、的和 差 仍是m n 矩阵, 记作A+B A- B, 法就为对应元素相加 减. 数乘: 一个m n 的矩阵A 与一个数c 可以相乘, 乘积仍为m n 的矩阵, 记作cA, 法就为A 的每个元素乘c. 这两种运算统称为线性运算, 它们中意以下规律: T A 或A . 加法交换律: A+B=B+A. 加法结合律: A+B+ C=A+ B+C. 加乘支配律: c A+B=c A+c B.c+d A=cA+dA. 数乘结合律: cd A=cd A. c A=0 c=0 或A=0. 转置: 把一个m n 的矩阵A 行和列互换, 得到的n m 的矩阵称为A 的转置, 记作有以下规律: T T A = A.

8、 A+B =A +B. T c A =cA . 转置是矩阵所特有的运算 , 如把转置的符号用在向量上 , 就意味着把这个向量看作矩T T 阵了. 当是列向量时, 表示行向量, 当是行向量时, 表示列向量. 向量组的线性组合: 设 1, 2, , s 是一组n 维向量, c 1,c 2, ,c s 是一组数, 就称c1 1+c2 2+ +cs s 为 1, 2, , s 的 以c 1,c 2, ,c s 为系数的 线性组合. n 维向量组的线性组合也是 n 维向量. 3 n 阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵 , 行列数都为n 的矩阵也经常叫做 n 阶矩阵. 把n 阶矩阵的从左上到

9、右下的对角线称为它 对角线. 其上的元素行号与列号相等 . 第 3 页,共 56 页下面列出几类常用的 n 阶矩阵, 它们都是考试大纲中要求把握的 . 对角矩阵 : 对角线外的的元素都为 0 的n 阶矩阵. 单位矩阵 : 对角线上的的元素都为 1 的对角矩阵, 记作E 或I . 数量矩阵 : 对角线上的的元素都等于一个常数 c 的对角矩阵, 它就是cE. 上三角矩阵 : 对角线下的的元素都为 0 的 n 阶矩阵 . 下三角矩阵 : 对角线上的的元素都为 0 的 n 阶矩阵 . 对称矩阵: 中意A =A 矩阵. 也就是对任何 T i,j,i,j 位的元素和j,i 位的元素总是相等的n 阶矩阵.

10、反对称矩阵: 中意A =- A 矩阵. 也就是对任i,j,i,j 位的元素和j ,i 位的元素之和总等于0 的n 阶矩阵. 反对称矩阵对角线上的元素确定都是 何0. 3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换: 交换两行的位置. , 这里省略了. 初等行变用一个非0 的常数乘某一行的各元素. 把某一行的倍数加到另一行上. 称这类变换为倍加变换类似地, 矩阵仍有三种初等列变换, 大家可以仿照着写出它们换与初等列变换统称初等变换. 阶梯形矩阵: 一个矩阵称为阶梯形矩阵, 假如中意: 假如它有零行, 就都显现在下面. 增. 假如它有非零行, 就每个非零行的第一个非 0 元素所在的列号自

11、上而下严格单调递把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非 0 元素所在的位置称为 台角. 简洁阶梯形矩阵: 是特殊的阶梯形矩阵 , 特点为: 台角位置的元素为 1. 并且其正上方的元素都为 0. 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简洁阶梯形矩阵 . 这种运算是在线性代数的各类运算题中频繁运用的基本运算 , 必需特殊娴熟. 请留意: 1. 一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯独的 , 但是其非零行数和台角位置是确定的 . 2. 一个矩阵用初等行变换化得的简洁阶梯形矩阵是唯独的 . 4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法组 即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组:

12、. 线性方程组的同解变换有三种交换两个方程的上下位置. : 用同解变换把方程组化为阶梯形方程用一个非0 的常数乘某个方程. . , 称为矩阵消元法. 把某个方程的倍数加到另一个方程上以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换. 线性方程组求解的基本方法是消元法, 用增广矩阵或系数矩阵来进行第 4 页,共 56 页对非齐次线性方程组步骤如下 : 1 写出方程组的增广矩阵 A| , 用初等行变换把它化为阶梯形矩阵 B| . 2 用 B| 判别解的情形: 假如最下面的非零行为 0,0, ,0|d, 就无解, 否就有解. 有解时看非零行数 rr 不会大于未知数个数 n,r=n 时唯独解；rn 时无穷多

13、解. 推论: 当方程的个数 mn 时, 不行能唯独 . 3 有唯独解时求解的 解初等变换法: 去掉 B| 的零行, 得到一个n n+1矩阵 B0| 矩阵 E| , 就就是解. 对齐次线性方程组: 0, 并用初等行变换把它化为简洁阶梯形1 写出方程组的系数矩阵A, 用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B. 2 用B 判别解的情形: 非零行数r=n 时只有零解；rn 时有非零解 求解方法在第五章讲. 推论: 当方程的个数m2 时, A* * =| A| A；n=2 时, A* *=A. 二 典型例题1. 运算题T T T 6例1 =1,-2,3 , =1,-1/2,1/3 , A= , 求A. 争论:1

14、 一般地, 假如 n 阶矩阵A= T , 就A= k T k-1 A=tr A k-1 A. T 2 乘法结合律的应用: 遇到形如 的地方可把它当作数处理 . 1 -1 1T = -1 1-1 ,求 T . （2022 一）第 15 页,共 56 页设=1,0,-1 T , A= T n , 求|a E- A |. 三, 四 四 n 维向量=a,0, T ,0,a , a1 例31 0 0 例4 设A 为设A = 1 012, ,1 证明当n1 时n n-2 2A=A +A - E. 2 n 求A . 3 阶矩阵, 1, 3 是线性无关的3 维列向量组, 中意1+ 2+ 3, A 2=2 2+

15、 3, A 3=2 2+3 3. 求作矩阵A 1= B, 使得A 1, 2, 3= 1, 2, 3 B. 2022 年数学四例5 设3 阶矩阵A= 1, 2, 3,| A|=1, B= 1+ 2+ 3, 1+2 2+3 3, 1+4 2+9 3, 求| B|.05 . 例6 3 维向量1, 2, 3, 1, 2, 3 中意1 + 3+2 1- 2=0, 3 1- 2+ 1- 3=0, 2+ 3- 2+ 3=0, 已知1, 2, 3|=a, 求| 1, 2, 3|. 又例7 设A 是3 阶矩阵, 2 是3 维列向量, 使得P= , A , A 可逆, 并且3 2A =3A -2 A 3 阶矩阵B

16、 中意A=PBP . 1 求B.2 求| A+E|.01 一 210例83阶矩阵A, B 中意ABA*=2BA* +E, 其中 A= 001120, 求| B|.04 一 例9 3 -5 1 设3 阶矩阵A= 1 -1 0 , -1 A XA=XA+2A, 求X. -1 0 2 例10 1 1 -1 -1 A* X=A +2X, 求X. 设3 阶矩阵A= -1 1 1 , 1 -1 1 例11 4 阶矩阵-1 -1 A, B 中意ABA=BA +3E, 已知1 0 0 0 A* = 0 1 0 0 , 求B. 00 一 1 0 1 0 0 -3 0 8 第 16 页,共 56 页例12 3 0

17、 0 1 0 011 XA+2B=AB+2X, 求X . 已知A= 2 10 , B= 0 0 0 , 2 1 3 0 0 -1 T , 3=1,-2,1 T , 矩阵A 中意例13 设1=5,1,-5 T , 2=1,-3,2 A 1=4,3 T , A 2=7,-8 T , A 3=5,-5 T , 求A. 2. 概念和证明题例14 设A 是n 阶非零实矩阵, 中意 A* =A . 证明: T 1| A|0. 2 假如n2, 就| A|=1. T 例15 设矩阵A=a ij 3 3 中意A* =A ,a 11,a 12,a 13 为3 个相等的正数, 就它们为A 3 / 3.B 3. C1

18、/3. D 3 . 2022 年数学三 例16 设 A 和B 都是 n 阶矩阵 , C= A 0 , 就C*= 0 B A | A| A* 0 . B | B| B * 0 . 0 | B| B * 0 |A| A* C | A| B* 0 . D |B| A* 0 . 0 | B| A* 0 | A| B* 例 17 设A 是3 阶矩阵, 交换A 的1,2 列得B, 再把B 的第2 列加到第3 列上, 得C. 求Q, 使得 C=AQ. 例 18 设A 是3 阶可逆矩阵, 交换A 的1,2 行得B, 就A 交换 A* 的 1,2 行得到 B* . B 交换 A* 的 1,2 列得到 B* .

19、C 交换 A* 的 1,2 行得到- B* . D 交换 A* 的 1,2 列得到- B* .2022 年 例19 设A 是n 阶可逆矩阵, 交换A 的 行得到B. 1 证明B 可逆. i,j 2 求AB . 2例20 设n 阶矩阵A 中意A +3A-2 E=0. 1 证明A 可逆, 并且求A .2 证明对任何整数 c, A-c E 可逆. 争论: 假如f A=0, 就1 当fx 的常数项不等于0 时, A 可 逆. T . 证明2 fc 0 时, A-c E 可逆. 3 上述两条的逆命题不成立. 例21 设是n 维非零列向量, 记A=E- 第 17 页,共 56 页2 T 1 A =A =1

20、. T 2 =1 A 不行逆. 96 一 争论: 2 的逆命题也成立. 例 22 设A, B 都是n 阶矩阵, 证明E- AB 可 E- BA 可逆 逆. 例 23 设3 阶矩阵A, B 满 AB=A+B. 1 意2 设1 -3 0 证明A- E 可逆. B= 2 1 0 , 求A. 0 0 2 91 -1 例24 设A, B 是3 阶矩阵, A 可逆, 它们中意2A B=B-4 E. 1 证明A-2 E 可逆. 2 设1 -2 0 B= 1 2 0 , 求A. 0 0 2 2022 例25 设n 阶矩阵A, B 中意AB=aA+bB. 其中ab 0, 证明1 A-b E 和B-a E 都可逆

21、. 2 A 可逆 B 可逆. 3 AB=BA. -1 例26 设A, B 都是n 阶对称矩阵, E +AB 可逆, 证明 E+AB A 也是对称矩阵. 例27 设A, B 都是n 阶矩阵使得A+B 可逆, 证明-1 -1 1 假如 AB=BA, 就B A+B A=A A+B B. 2 假如 A.B 都可逆, 就B A+B A=A A+B B. -1 -1 3 等式 B A+B A=A A+B B 总成立. 例28 设A, B, C 都是n 阶矩阵, 中意B=E+AB, C=A+CA, 就B- CA 为E.B - E. C A. D - A. 2022 年数学四 参考答案1 -1/2 1/3 5

22、 5 例1 3 A=3 -2 1 2/3 . 3 -3/2 1 2 n3. a a-2 . -1. E. 4. 2 2A A - E= A - E. 例2O. 例31 提示n n-2 2: A =A +A - E n-2 2 2A A - E= A - E 2n=2k 时, 1 0 0 nA = k 1 0 . k 0 1第 18 页,共 56 页n=2k+1 时, 1 0 0 . n A = k+1 0 1 k 1 0 例4 1 0 0 B= 1 2 2 . 1 1 3 例52. E+A|=-4 例 4a. 6例70 0 0 B= 1 0 3 . | 0 1 -2 例81/9. 例9-6 1

23、0 4 X= -2 4 2 . -4 10 0 例10 1 1 01/4 0 1 1 . 1 0 1例11 6 0 0 0 B= 0 6 0 0 . 6 0 6 0 0 3 0 -1 例12 1 0 0 2 0 0 . 6 -1 -1 例13 2 -1 1. -4 -2 -5 . 例15 A. 例16 D. 例17 0 1 1 Q= 1 0 0 0 0 1 例18 D. . 例如证明, 即在E- AB 可逆时证明齐次方程 E- BA X=0 只例19 Ei,j. 例22 提示: 用克莱姆法就有零解. 组例23 1 1/2 0 A= -1/3 1 0 . 例00 2 . 24 0 2 0 A=

24、-1 -1 0 0 0 -2 例25 提示: 运算 A-b E B-a E. 例28 A. 第 19 页,共 56 页第四讲 向量组的线性关系与秩一. 概念复习1. 线性表示关系设 1, 2, , s 是一个n 维向量组. 假如 n 维向量 等于 1, 2, , s 的一个线性组合,就说 可以用 1, 2, , s 线性表示. 假如 n 维向量组 1, 2, , t 中的每一个都可以可以用 1, 2, , s 线性表示, 就说向量1, 2, , t 可以用 1, 2, , s 线性表示. 判别“ 是否可以用 1, 2, , s 线性表示. 表示方式是否唯独？”就是问：向量方程x 1 1+ x2

25、 2+ +xs s= 是否有解？解是否唯独？用重量写出这个向量方程 , 就是以 1, 2, , s 为增广矩阵的线性方程组. 反之, 判别“以A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯独？” 的问题又可转化为“ 是否可以用A 的列向量组线性表示 . 表示方式是否唯独？”的问题 . 向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有亲热关系 : 乘积矩阵AB 的每个列向量都可表示为A 的列向量组的线性组合 , 从而AB 的列向量组可以 以 A 的列向量组线性表示 ; 反之, 假如向量组 1, 2, , t 可以用 用1, 2, , s 线性表示, 就矩阵 1, 2, , t 等于矩阵 1, 2 , , s

26、和一个 s t 矩阵C 的乘积. C 可以这样构造: 它的第 i 个列向量就是 i 对1, 2, , s 的分解系数 C 不是唯独的. 向量组的线性表示关系有传递性 , 即假如向量组 1, 2, , t 可以用 1, 2, , s 线性表示, 而 1, 2, , s 可以用 1, 2, , r 线性表示, 就 1, 2, , t 可以用 1, 2, , r 线性表示. 当向量组 1, 2, , s 和 1, 2, , t 相互都可以表示时就说它们等价并记作1, 2, , s 1, 2, , t . 等价关系也有传递性 . 2. 向量组的线性相关性1 定义 从三个方面看线性相关性 线性相关性是描

27、述向量组内在关系的概念 , 它是争论向量组 1, 2, , s 中有没有向量可以用其它的s-1 个向量线性表示的问题 . 定义 设 1, 2, , s 是n 维向量组, 假如存在不全为 0 的一组数 c1,c 2, ,c s 使得c 1 1+c2 2+ +cs s =0, 就说 1, 2, , s 线性相关否就 即要使得 c 1 1+c2 2+ +cs s =0, 必需 c 1,c 2, ,c s 全为0 就说它们线性无关. 于是, 1 , 2, , s “线性相关仍是无关”也就是向量方程x 1 1+ x 22+ +xs s=0“有没有非零解” , 也就是以1, 2, , s 为系数矩阵的齐次

28、线性方程组有无非零解. 当向量组中只有一个向量s=1 时, 它相关 无关 就是它是 不是 零向量. 两个向量的相关就是它们的对应重量成比例. 2 性质当向量的个数s 大于维数n 时, 1, 2, , s 确定线性相关. 第 20 页,共 56 页假如向量的个数s 等于维数n, 就1, 2, , n 线性相关| 1, 2, , n|=0. s 线性表线性无关向量组的每个部分组都无关 从而每个向量都不是零向量. 2, , 假如1, 2, , s 线性无关而1, 2, , s , 线性相关, 就可用1, 示. 假如 可用 1, 2, , s 线性表示, 就表示方式唯独 1, 2, , s 线性无关.

29、 假如 1, 2, , t 可以用 1, 2, , s 线性表示,并且 ts, 就 1, 2, , t 线性相关. 推论 假如两个线性无关的向量组相互等价 , 就它们包含的向量个数相等 . 3. 向量组的极大无关组和秩1 定义向量组的秩是刻画, 向量组相关“程度”的一个数量概念. 它说明向量组可以有多大 指包含向量的个数 的线性无关的部分组. 定义设1, 2, , s 是n 维向量组,I 是它的一个部分组. 假如I 线性无关. I 再扩大就线性相关. 就称I 为1, 2, , s 的一个极大无关组. 条件可换为: 任何I 都可用I 线性表示, 也就是I 与1, 2, , s 等价. 当1, 2

30、, , s 不全为零向量时, 它就存在极大无关组, 并且任意两个极大无关组都等价从而包含的向量个数相等. 定义假如1, 2, , s 不全为零向量, 就把它的极大无关组中所包含向量的个数是一个正整数称为1, 2, , s 的秩, 记作r 1, 2, , s. 假如1, 2, , s 全是零向量, 就规定r 1, 2, , s=0. 由定义得出: 假如r 1, 2, , s =k, 就i 1, 2, , s 的一个部分组假如含有多于k 个向量, 就它确定的相关. ii 1, 2, , s 的每个含有k 个向量的线性无关部分组确定是极大无关组. 2 应用1, 2, 1, , s 线性无关r 1,

31、2, , s=s. 1, 2, , s. 可用2, , s 线性表示r 1, 2, , s, =r 事实上如不行用1, 2, , s 线性表示, 就r 1, 2, , s, =r 1, 2, , s+1. 推论1: 可用1, 2, , s 唯独线性表示r 1, 2, , s, =r 1, 2, , s =s. 推论2: 假如r 1, 2, , s =维数n, 就任何n 维向量都可以用1, 2, , s 线性表示. 1, 2, , t 可以用1, 2, , s 线性表示r 1, 2, , s, 1, 2, , t =r 1, 2, , s . 推论: 假如1, 2, , t 可以用1, 2, ,

32、 s 线性表示, 就r 1, 2, , t r 1, 2, , s . 1, 2, , s和1, 2, , t 等价r 1, 2, , s= r 1, 2, , s, 1, 2, , t = r 1, 2, , t . 极大无关组和秩的概念可以推广到向量集合上 即包含的向量的个数不必有限, 全部性质仍旧成立. 第 21 页,共 56 页4. 秩的运算, 有相同线性关系的向量组两个向量个数相同的向量组1, 2, , s, 和1, 2, , s 称为有相同线性关系, 假如向量方程x1 1+x2 2+ +xss =0 和x 1 1+x2 2+ +xs s=0 . 同解, 即齐次线性方程组1, 2,

33、, s X=0 和 1, 2, , s X=0 同解. 当1, 2, , s 和1, 2, , s 有相同线性关系时, 1 它们的对应部分组有一样的线性相关性. 2 它们的极大无关组相对应, 从而它们的秩相等. 3 它们有相同的内在线性表示关系. 例如, 当A 经过初等行变换化为 B 时, AX=0 和BX=0 同解, 从而A 的列向量组和B 的列量组有相同线性关系 . 于是它们的极大无关组相对应 , 秩相等. 向这样, 就产生了运算一个向量组1, 2, , s 的秩和极大无关组的方法: 把此向量组作为列向量组构造矩阵1, 2, , s, 用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B, 就B 的非零行数就

34、是1, 2, 是, s 的秩, B 的各台角所在列号对应的部分组1, 2, , s 的的一个极大无关组假如A 经过初等列变换化为B,就A 的列向量组和B 的列向量组是等价关系,虽然秩相等, 但是极大无关组并没有对应关系 . 5. 矩阵的秩1 定义一个矩阵A 的行向量组的秩和列向量组的秩相等 于是r A=0 A=0. 假如 A 是m n 矩阵, 就r A Minm,n. , 称此数为矩阵A 的秩, 记作r A. 当r A=m 时, 称A 为行满秩的; 当r A=n 时, 称A 为列满秩的. 对于 n 阶矩阵A, 就行满秩和列满秩是一样的 , 此时就称A 满秩. 于是: n 阶矩阵A 满秩 r A

35、=n 即A 的行 列 向量组无关 | A| 0 A 可逆. 矩阵的秩仍可以用它的非 0 子式来看. A 的r 阶子式: 任取A r 行和r 列, 在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式 , 假如它的值不为 的 0, 就称为非0 子式. 命题 r A 就是A 的非0 子式的阶数的最大值 . 即A 的每个阶数大于 r A 的子式的值都为0, 但是A 有阶数等 r A 的非0 子式. 于2 运算命题 初等变换保持矩阵的秩 . 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数 . 矩阵秩的运算 : 用初等变换将其化为阶梯形矩阵 , 就此阶梯形矩阵的非零行数就是原矩阵的秩. 3 在矩阵运算中, 矩阵的秩有性质 r A

36、 =r A. T 假如c 不为0, 就rc A=r A. r A B r A+r B. 第 22 页,共 56 页r AB Minr A,r B. r A. n. 当A 或B 可逆时,r AB=r B 或假如AB=0,n 为A 的列数 B 的行数, 就r A+r B 假如A 列满秩r A 等于列数, 就r AB=r B. 一般公式: r A+r B n+r AB. 下面给出和在判别向量组的线性相关性和秩的运算问题上的应用 . 设向量组 1, 2, , s 线性无关, 向量组 1, 2, , t 可用 1, 2, , m线性表示, 表矩阵为C, 就 示i r 1, 2, , t =r C. ii

37、 假如 t=s 此时 C 是t 阶矩 , 就 1, 2 , , s 线性无关 C 可逆. 令 A= 1, 2, , 阵 s , B = 1, 2, , t , 就 B=AC, 并且 r A= 列数 s, 用得到r 1, 2, , s=r C. t=s 时, C 可 r 1, 2, , s =r C=s 1, 2, , s 线性无关. 或直接用证明 ii: C 可逆时r B=r A=s, 从而 逆1, 2, , s 线性无关. 假如C 不行逆, r 1, 2, , s r C s, 从而 1, 2, , s 线性相关 . 就6. 矩阵的等价 两个矩阵假如可以用初等变换相互转化 , 就称它们等价.

38、 矩阵的等价的充分必要条件为它们类型相同 , 秩相等. 二. 典型例题1. 向量组秩的运算和应用例1a,b,c 中意什么条件时向量组1=a,0,c, 2=b,c,0, 3=0,a,b 线性无关？02 例2 已知2,1,1,1,2,1,a,a,3,2,1,a,4,3,2,1 线性相关, 并且a 1, 求a. 05 例 3 设 1=1+a,1,1 ,2=1,1+b,1 ,3=1,1,1-b ,问 a,b 中意什么条件时r 1, 2, 3=2. 2例 4 设 1=1+ ,1,1 ,2=1 ,1+ ,1 ,3=1 ,1,1+ ,=0 , , 为何值时,可用 1,2,3 线性表示,并且表示方式唯独？ 为

39、何值时,可用 1,2,3 线性表示,并且表示方式不唯独？ 为何值时,不行用 1,2,3 线性表示？例5 设 1=1,0,1,1, 2=2,-1,0,1, 3=-1,2,2,0, 1=0,1,0,1, 2=1,1,1,1. 问: c1,c 2 中意什么条件时 c 1 1+c2 2 可以用 1, 2, 3 线性表示 .例6 设 1=1,2,0,1 , 2 =1,1,-1,0, 3=0,1,a,1, 1=1,0,1,0, 2=0,1,0,2.a 和k 取什么值时 , 1+k 2 可用 1, 2, 3 线性表示 .写出表示式. 例7 设 1=1,2,-3 ,2=3,0,1 ,3=9,6,-7 ,1=0

40、,1,-1 ,2=a,2,1 ,3=b ,1,0 已知r 1, 2, 3=r 1, 2, 3, 并且 3 可用 1, 2, 3 线性表示,求 a,b.00 二 例8 求常数a, 使得向量组 1=1,1,a, 2=1,a,1, 3=a,1,1 可由向量组 1=1,1,a, 2=-2,a,4, 3=-2,a,a 线性表示, 但是 1, 2, 3 不行用 1 , 2, 3 线性表示. 2022 年数学二 第 23 页,共 56 页例9 给定向量组 1=1,0,2 ,2=1,1,3 ,3=1,-1,a+2 和 1=1,2, a+3 ,2= 2,1 ,a+6 ,3=2,1,a+4 当a 为何值时 和 等

41、价. a 为何值时 和 不等价.03 四 例10 设1=1,-1,2,4, 2=0,3,1,2, 3=3,0,7,14, 3, 4=1,-2,2,0, 5=2,1,5,10. 它们的以下部分组中, 是极大无关组的有哪几个.4. 1 1, 2, 3. 2 1, 2, 4. 3 1, 2, 5. 4 1, 2. 向量组秩的性质的应用例11 已知1, 2, 3 线性相关, 而2, 3, 4 线性无关, 就1, 2, 3, 4 中, 1, 能用另外3 个向量线性表示, 而不能用另外3 个向量线性表示. 4, 5=4,求r 2, 3, 4- 5 例12 已知r 1, 2, 3=r 1, 2, 3, 4=

42、3,r 1, 2, 3, 95 三 例13 已知可用1, 2, , s 线性表示,但不行用1, 2, , s-1 线性表示证明s 不行用1, 2, , s-1 线性表示；s 可用1 , 2, , s-1 , 线性表示1, 2, , s 也线性无关例14 1, 2, 3, 线性无关, 而1, 2, 3, 线性相关, 就A 1, 2, 3,c + 线性相关. B 1, 2, 3,c + 线性无关. C 1, 2, 3, +c 线性相关. D 1, 2, 3, +c 线性无关. 例15 已知n 维向量组1, 2, , s 线性无关, 就n 维向量组的充分必要条件为A 1, 2, , s 可用1, 2

43、, , , s 线性表示. B 1, 2, , s 可用1, 2, , s 线性表示. s 等价. C1, 2, , s 与1, 2, D 矩阵1, 2, , s 和 1, 2, , s 等价. 3. 矩阵的秩例16 n 阶矩阵1 a aaa 1 a aA= a a 1 a a a aa.98 1的秩为n-1, 求三 例17 设ab b 第 24 页,共 56 页A= b a b , 已知r A+r A* =3, 求a,b 应当中意的关系.03 三 b b a 例18 设1 2 3 4 1234r A 和r B, 求a,b 和A= 2 3 4 5 , B= 0 123 , 求r BA+2A.

44、3 4 5600124 5 670001例19 ab -3 b-1 a 1 3 阶矩阵A= 2 0 2 ,B= 0,已知r AB 小于3 2 -1 0 2 1 r AB. 例20 设1 ,2,3线性无关,就线性无关：1+ 2,2+ 3 ,3- 1 ；1+ 2,2+ 3 ,1+2 2+ 3；1+2 2,2 2+3 3,3 3+ 1；1+ 2+ 3,2 1-3 2+22 3,3 1+5 2-5 397 三 例21 设1 ,2,3线性无关,就线性相关：1+ 2,2+2 3,3+4 1；1- 2,2-2 3,3-4 1；1+1/2 2,2+ 3,3 3+2 1；1-1/2 2,2- 3,3-2 1例2

45、2 设A 是m n 矩阵, B 是n m 矩 就 阵, 当m n 时, AB . A 当m n 时, AB 0. B C 当n mAB| 0. D 当n m 时, AB . 99 时, 例23 AB=0, A, B 是两个非零矩阵, 就A A 的列向量组线性相关. B 的行向量组线性相关. B A 的列向量组线性相关. B 的列向量组线性相关. C A 的行向量组线性相关. B 的行向量组线性相关. D A 的行向量组线性相关. B 的列向量组线性相关. 04 4. 证明题例24 设 1, 2 , , s 是n 维向量组. 证明r 1, 2 , , s =n 的充分必要条件为: 任何n 维向量

46、都可用 1, 2, , s 线性表示. T 例25 设A 是m n 矩阵,证明r A=1 存在m 维非零列向 =a 1,a 2, ,a m 和n 维非零列向量 =b 1,b 2, ,b n T ,使得A= 量 T . 2例26 设n 阶矩阵A 的秩为1,证明A =tr A A. 第 25 页,共 56 页例27 设A*为n 阶矩阵A 的相伴矩阵, 就A , n, 如r A=n, k 使得k k-1 A =0, 但是A 0, 证明, r A* = 1, 如r A=n-1, 0, 如r An-1. 例28 设A 为n 阶矩阵, 为n 维列向量. 正整数, k-1 A 线性无关. 2, , s +

47、r 1, 2, , t . 例29 证明r 1, 2, , s , 1, 2, , t r 1, 例30 证明r A+B r A+r B. 例31 证明矩阵方程AX=B 有解r A| B=r A. 参考答案例1 abc 0. =-3. 例2 1/2. 例3 a=-1 或b=0 并且a 0. 例4 1 0 和-3.2 =0.3 例52c 1+c2=0. . 例6k=-1,a 1. 例7a=15,b=5.例81. 例9a-1 时等价, a=-1 时不等价例10 2 和4. 例11 1 能, 4 不能. 例12 4. 例14 D. 例15 D. 例16 a=1/1-n. 例17 a=-2b 0. 例

48、18 2. 例19 a=1,b=2,rAB=1. 例20 C. 例21 D. 例22 B. 例23 A. 第 26 页,共 56 页第五讲 线性方程组一. 概念复习1. 线性方程组的形式线性方程组除了通常的写法外 , 仍常用两种简化形式：矩阵式 AX= , 齐次方程组 AX=0. 向量式 x 1 1+x2 2+ +xs s= , 齐次方程组 x1 1+x2 2+ +xs s=0. 2. 线性方程组解的性质1 齐次方程组AX=0 假如 1, 2, , s 是齐次方程组 AX=0 的一组解, 就它们的任何线性组合 c 1 1+ c 2 2+ + cs s 也都是解. 2 非齐次方程组AX= 假如

49、1, 2, , s 是 AX= 的一组解, 就它们的线性组合 c1 1+ c 2 2+ +cs s 也是 AX= 解的 c1+ c 2+ +cs=1. 它们的线性组合 c1 1+ c 2 2+ +cs s 是AX= 的解 c 1+ c2+ +cs=0. 假如 0 是AX= 的一个解, 就n 维向量n 是未知数的个数 也是解-0 是导出齐次方程组AX= 的解. 也就是说, 是0 与导出组AX= 的一个解的和 . 3. 线性方程组解的情形的判别对于方程组AX= , 判别其解的情形用三个数 : 未知数的个数 n,r A,r A| . 无解 r A r A| . 有唯独解 r A =r A| =n.

50、当A 是方阵时, 就推出克莱姆法就. 有无穷多解 r A =r A| n. 方程的个数m 虽然在判别公式中没有显 , 但它是r A 和 r A| 的上界, 因此当 r A=m 时, 现AX= 确定有解. 当 mn 时, 确定不是唯独 . 解对于齐次方程组 AX=0, 判别解的情形用两个数 : n,r A. 有非零解 r A =n 即: 只有零解 r A=n. 推论1 当A 列满秩时, A 在矩阵乘法中有左消去律 : AB=0 B=0；AB=AC B=C. 证明 设B= 1, 2, , t , 就AB= A i =0,i=1,2, ,s. 1, 2, , t 都是AX=0 的解. 而A 列满秩

51、, AX=0 只有零解 , i =0,i=1,2, ,s, 即B=0. 推论2 假如A 列满秩, 就 r AB=r B. 证明 只用证明齐次方程组 ABX=0和BX=0同解. 此时矩阵 AB 和B 的列向量组有相的线性关系 , 从而秩相等. 同是 ABX= 的解 AB = B =0 用推论 是 BX= 的解. 于是ABX=0和BX=0 的确同解. 第 27 页,共 56 页4. 齐次方程组的基础解系 线性方程组的通解1 齐次方程组的基础解系假如齐次方程组 AX= 有非零解, 就它的解集 全部解的集合 是无穷集, 称解集的每个极大无关组为AX= 的基础解系. 于是, 当 1, 2, , s 是A

52、X= 的基础解系时: 向量是 AX= 的解 可用 1, 2, , s 线性表示. 定理设 AX= 有n 个未知数, 就它的基础解系中包含解的个数 即解集的秩 =n-r A . 于是, 判别一组向量 1, 2, , s 是AX= 的基础解系的条件为 1, 2, , s 是 AX= 的一组解. 1, 2, , s 线性无关. s=n-r A . 推论 假如 AB=0,n 为A 的列数 B 的行数 , 就r A+r B n. 证 记 B= 1, 2, , s , 就 A i =0,i=1,2, ,s, 即每个 i 都是齐次方程组 AX= 的解, 从而r B= r 1, 2, , s n-r A, 即

53、r A+r B n. 2 线性方程组的通解假如 1, 2, , s 是齐次方程组AX= 的基础解系, 就AX= 的通解 一般解 为c 1 1 + c 2 2+ + c s s, 其中 c1 c 2 ,c s 可取任何常数. 假如 0 是非齐次方程组AX= 的解, 1, 2, , s 是导出组AX= 的基础解系, 就AX= 的通解 一般解 为0+c 1 1+c2 2+ +cs s, 其中 c 1 c2, ,c s 可取任何常数. 二. 典型例题例1 3x1+2x 2-2x 3+ x 4 =0 ,6x1+4x 2 +5x 3+2x4+3x 5=0,求此齐次方程组的基础解系和通解 . 9x 1+6x

54、 2 +3x 4+2x 5=0,例2 争论p,t 的取值对下面方程组解的影响 , 并在有无穷多解时求通解 .96 四 x 1+x2 -2x 3+3x4=0,2x1+x2 -6x 3+4x4=-1 ,3x1+2x2+px 3+7x 4=-1 ,x1-x 2-6x 3- x 4= t 例3 齐次方程组 AX=0 的系数矩阵为1+a 1 1 12 2+a 2 2A = 3 3 3+a 3 , n n n n+a a 为什么数时AX=0 有非零解.求通解.04 一 第 28 页,共 56 页例4 线性方程组的增广矩阵为1 a b 1 0 A| = 2 1 1 2 0 , 3 2+a 4+b 4 1T

55、又已知1,-1,1,-1 是它的一个解. 1 用导出组的基础解系表示通解 . 2 写出中意x2=x3 的全部解.04 四 例5 设线性方程组为2 3x 1+a1x2+a1 x3 =a1 , 2 3x1 +a2x2+a2 x3 =a2 , 2 3x1 +a3x2+a3 x3 =a3 , 2 3x1 +a4x2+a4 x3 =a4 . 1 证明当a1,a 2,a 3,a 4 两两不相等时, 方程组无解. 2 设a1=a3=-a 2=-a 4=k, 并且-1,1,1 T 和1,1,-1 T 都是解, 求此方程组的通解.94 三 例6 已知10,1,0 T 和2=-3,2,2 T 都是方程组x 1-x

56、 2+2x 3=-1, 3x 1+x2+4x 3=1, ax1+bx 2+cx3=d 的解, 求通解. 例7 已知1 1,1,-1,-1 T 和2 1,0,-1,0 T 是线性方程组x 1+ x 2 -x 3+x4=2,x 2 +px3+qx 4 =s, 2x 1+tx 2-x 3+tx 4 =r = 1+ 2+ 3+ , 的解, =2,-2,1,1 T 是它的导出组的解, 求方程组的通解. 例8 设矩阵= , , 3, 4, 其中, 3, 4 线性无关, =2 -3. 又设求AX=的通解.02 一,二r =3. 求通例91, 2, 3 都是X = 的解, 其中=1,2,3,4, 0,1,2,

57、3 解.00 三 例10 1 2 3 并且AB=0, 已知3 阶矩阵A 的第一行为a,b,c,a,b,c 不全为0, 矩阵B= 2 4 6 , 3 6 k 求齐次线性方程组A X=0 的通解. 2022 年数学一, 二 例11 设A 是mn 矩阵,r A=r 就方程组AX =A 在r=m 时有解. B 在m=n 时有唯独解 C 在r0. 假照实对称矩阵 A 所预备的二次型正定 , 就称A 为正定矩阵, 于是A 为正定矩阵也就是T 中意性质: 当X 0 时, 确定有X AX0. 二次型的正定性是在可逆线性变量替换中保持不变的 变换时保持不变. 2 性质与判定 实对称矩阵A 正定 合同于单位矩阵.

58、 . 即实对称矩阵的正定性在合同角的存在可逆矩C, 使得T A=C C. A 的正惯性指数等于其阶 数 A 的特点值都是正数 . n. A 的次序主子式全大于0. 次序主子式: 一个n 阶矩阵有n 个次序主子式 r 阶矩阵Ar 的行列式| Ar |. , 第r 个 或称r 阶 次序主子式即A 的左 上判定正定性的方法: 次序主子式法, 特点值法, 定义法. 二. 典型例题1. 概念考核题例1 设A 是一个可逆实对称矩阵,记 Aij 是它的代数余子式 . 二次型n A ij fx 1,x 2, ,x n = xi x j . i , j 1 | A | 1 用矩阵乘积的形式写出此二次型 . T

59、2 fx 1,x 2, ,x n 的规范形和X AX 的规范形是否相 .为什么.01 三 同例2 挑选题 设11111 , 4000就A= 111B= 0 0 0 0 , 1 111000011110000A A 与B 既合同又相像. 第 44 页,共 56 页B A 与B 合同但不相像. . C A 与B 不合同但相像. D A 与B 既不合同又不相 像2. 化二次型为标准型例3 用配方法化二次型为标准型2 21 fx 1,x 2,x 3= x 1 +2x2 +2x1x 2-2x 1x3+2x 2x3. 2 fx 1,x 2,x 3= x 1x 2+x1x3+x2x 3. 2 2 2 2 2

60、 2例4 已知二次型2x1 +3x 2 +3x3 +2ax2 x3a0 可用正交变换化为 y1 +2y2 +5y3 , 求a 和所作正交变换 .93 一 例5 设二次型T 2 2 2fx 1,x 2,x 3= X AX=ax1+2x 2-2x+2bx1x 3,b0其中A 的特点值之和为 1, 特点值之积为-12. 1 求a,b. 2 用正交变换化 fx 1,x 2,x 3 为标准型.03 三 例6 已知二次型2 2 2fx 1,x 2,x 3=ax 1 +x2 +x3 +4x 1x 2+4x 1x 3+4x 2x 3可用正交变换化为 6y1 . 求a, 并且作实现此转化的正交变换 2.02 一