高等数学下曲线曲面积分

1、高等数学下曲线曲面积分第1页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十章 第2页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB , 其线密度为“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得为计算此构件的质量,1.引例: 曲线形构件的质量采用第3页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数, 都存在,上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部

2、的任意取点, 2.定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量和对第4页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,如果 L 是闭曲线 , 则记为则定义对弧长的曲线积分为思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.第5页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四3. 性质（k 为常数)( 由 组成) ( l 为曲线弧 的长度)第6页，共92页，

3、2022年，5月20日，21点22分，星期四(5)对称性与二重积分类似L关于y轴对称轮换对称性(6)可将重心，转动惯量推广到曲线弧上第7页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转 化定理:且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分说明:(1)因此积分限必须满足第8页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四(2) 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 第9页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四如果曲线 L 的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广: 设空间曲线弧的参数方程为则第

4、10页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例1. 计算其中 L 是抛物线与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解:上点 O (0,0)第11页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例2. 计算其中L为双纽线解: 在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性 , 得第12页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例3. 计算曲线积分 其中为螺旋的一段弧.解: 线第13页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例4. 计算其中为球面 被平面 所截的圆周. 解: 由对称性可知第14页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，

5、星期四 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧内容小结第15页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四思考与练习1. 已知椭圆周长为a , 求提示:原式 =利用对称性第16页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1) 求它关于 z 轴的转动惯量(2) 求它的质心 .解: 设其密度为 (常数).(2) L的质量而(1)第17页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四故重心坐标为第18页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四第二节一、对坐标的曲线积分的概念 与性质二、 对坐标的曲线积分的计算法

6、三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 第十章 第19页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四一、 对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移“大化小” “常代变”“近似和” “取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.第20页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四2. 定义.设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分,则称此

7、极限为函数或第二类曲线积分.其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线 .称为被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数极限记作第21页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四3. 性质(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明: 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !第22页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,存在, 且有如果曲线 L 的方程为则有第23页，共92页，2022年，5月20日

8、，21点22分，星期四例1. 计算其中L 为沿抛物线解法1 取 x 为参数, 则解法2 取 y 为参数, 则从点的一段. 第24页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例2. 计算其中 L 为(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为(2) 取 L 的方程为则则第25页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例3. 计算其中L为(1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解: (1) 原式(2) 原式(3) 原式第26页，共9

9、2页，2022年，5月20日，21点22分，星期四三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系第27页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例4.将积分化为对弧长的积分,解：其中L 沿上半圆周第28页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四1. 定义2. 性质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2) L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结第29页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四3. 计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧第30页，共9

10、2页，2022年，5月20日，21点22分，星期四4. 两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧 :第31页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四第三节一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件格林公式及其应用 第十章 第32页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )复连通区域 ( 有“洞”区域 )域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左定理1. 设区域 D 是由分段光滑曲线 L 围成,则有( 格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,一、 格林公式 其中L是的取正向的边界曲线第33页，共92页，2022

11、年，5月20日，21点22分，星期四说明：（1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立；（2）在一定条件下可以用二重积分计算曲线积分，也 可以用曲线积分计算二重积分。（4）几何应用： 正向闭曲线L 所围区域 D 的面积（在格林公式中，取则有)（3）对于复连通区域D，公式右端应包括D的全部边 界的曲线积分，且边界的方向对D来说都是正方向。第34页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积格林公式例如, 椭圆所围面积第35页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例1.设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明证: 令则利用格林公

12、式 , 得？第36页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例2. 计算其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令, 则利用格林公式 , 有第37页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例3.计算其中L是曲线上从点(0,0)到点的一段。解：添加为围成的封闭区间第38页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例4. 计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解: 令设 L 所围区域为D,由格林公式知第39页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四在D 内作圆周取逆时针

13、方向, 对区域应用格记 L 和 l 所围的区域为林公式 , 得第40页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 第41页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四说明:根据定理2 , 若在某区域内则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求

14、d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;第42页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例5. 计算其中L 为上半从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段它与L 所围原式圆周区域为D , 则第43页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例5. 验证是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证: 设则由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使。第44页，共92页，2022年，5月20日，21点

15、22分，星期四积分与路径无关例6.计算其中为自点A(-1,0)沿至B(2,3)的弧段（如图）解：由题知构造一个单连通域G，积分在G内与路径则G无关，第45页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四内容小结1. 格林公式2. 等价条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有第46页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分 第十章 第47页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四一、对

16、面积的曲面积分的概念与性质引例: 设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想, 采用可得求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 第48页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四定义:设 为光滑曲面,“乘积和式极限” 都存在,的曲面积分其中 f (x, y, z) 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z

17、) 在曲面 上对面积函数, 叫做积分曲面.第49页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性.则有 线性性质.在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面第50页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四定理: 设有光滑曲面f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分第51页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四说明:可有类似的公式.1) 如果曲面方程为2) 若曲面为参数方程, 只要求出

18、在参数意义下dS 的表达式 ,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分. 第52页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例1. 计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:第53页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例2. 计算其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设上的部分, 则与 原式 = 分别表示 在平面 第54页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例3. 设计算解: 锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的投影域为则 第55页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四第

19、56页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四内容小结1. 定义:2. 计算: 设则(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧. 第57页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四第五节一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系对坐标的曲面积分 第十章 第58页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 第

20、59页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四其方向用法向量指向方向余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xoy 面上的投影记为的面积为则规定类似可规定第60页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积二. 定义.第61页，共92页，2022年，5月

21、20日，21点22分，星期四引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;若记 正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式第62页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四3. 性质(1) 若之间无公共内点, 则(2) 用 表示 的反向曲面, 则第63页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四三、对坐标的曲面积分的计算法定理: 设光滑曲面取上侧,是 上的连续函数, 则 若则有 若则有(前正后负)(右正左负)说明:如果积分

22、曲面 取下侧, 则第64页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例1. 计算其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解: 利用对称性.原式 的顶部 取上侧 的底部 取下侧第65页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四解: 把 分为上下两部分根据对称性 思考: 下述解法是否正确:例2. 计算曲面积分其中 为球面外侧在第一和第八卦限部分. 第66页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四第67页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四四、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画第68页，共92页，

23、2022年，5月20日，21点22分，星期四令向量形式( A 在 n 上的投影)第69页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例4. 设是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算解: 第70页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例5. 计算曲面积分其中解: 利用两类曲面积分的联系, 有 原式 =旋转抛物面介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. 第71页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四原式 =第72页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四面积分第一类 (对面积)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分

24、变量代入曲面方程 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化内容小结第73页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四当时，（上侧取“+”, 下侧取“”)类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .第74页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四第六节Green 公式Gauss 公式推广一、高斯公式二、通量与散度 高斯公式 通量与散度 第十章 第75页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四一、高斯 (

25、Gauss ) 公式定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 ,函数 P, Q, R 在面 所围成, 的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式)第76页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例1. 用Gauss 公式计算其中 为柱面闭域 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里利用Gauss 公式, 得原式 =(用柱坐标)及平面 z = 0 , z = 3 所围空间思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 第77页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例2. 利用Gauss 公式计算积分其中 为锥面解: 作辅助面取上侧介于 z = 0 及 z

26、= h 之间部分的下侧. 所围区域为,则 第78页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四利用重心公式, 注意第79页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例3.设 为曲面取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标第80页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四定义:设有向量场其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向 则称曲面, 其单位法向量 n, 为向量场 A 通过有向曲面 的通量(流量) .在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 A 在点 M 的散度.记作divergence三、通量与散度第81页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四内容小结1. 高斯公式及其应用公式:应用:(1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件: 第82页，共92页，2022年，5月20日，21点22分，星期四2. 通量与散度 设向量场P, Q, R, 在域G内有一阶 连续 偏导数, 则