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文档简介
1、有约束条件的排列问题张用例1:某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加,每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次,共进行多少场比赛?解:14个队中任意两队进行1次主场比赛与 1次客场比赛,对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列,因此,比赛的总场次是有约束条件的排列问题课本例题2以人为标准进行分步,第一名同学有5种选择,第二名同学有5种选择,第三名同学也有5种选择,因此有例2:(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同 学,每人各1本,共有多少种不同的送法? (2)有5种不同的书,买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?有约束条件的排列问题课本例题3例3、用0到9这10个数字,可
2、以组成多少个没有重复数字的三位数?解法一:对排列方法分步思考。从位置出发百位十位个位或有约束条件的排列问题课本例题4解法二:对排列方法分类思考。符合条件的三位数可分为两类:百位十位个位0百位十位个位0百位十位个位根据加法原理从元素出发分析例3、用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?有约束条件的排列问题课本例题4解法三:间接法.从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为 , 所求的三位数的个数是其中以0为排头的排列数为 . 逆向思维法例3、用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?有约束条件的排列问题课本例题4百位十位个位千位万位例4、由数字1、2、3、4、5
3、组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有多少个?有约束条件的排列问题2或41,3或2、4之一百位十位个位千位万位例4、由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有多少个?有约束条件的排列问题1或3或5百位十位个位千位万位2或45百位十位个位千位万位例4、由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有多少个?有约束条件的排列问题例5、6个人站成前后两排照相,要求前排2人,后排4人,那么不同的排法共有( )A.30种 B. 360种 C. 720种 D. 1440种 C分排问题直排处理有约束条件的排列问题例6、有4个男
4、生和3个女生排成一排,按下列要求各有多少种不同排法:(1)男甲排在正中间; 特殊元素(位置)优先法有约束条件的排列问题例6、有4个男生和3个女生排成一排,按下列要求各有多少种不同排法:(2)男甲不在排头,女乙不在排尾;女乙在排头时:女乙不在排头时:所以共有:720+3000=3720种。有约束条件的排列问题女乙不甲乙55例6、有4个男生和3个女生排成一排,按下列要求各有多少种不同排法:(2)男甲不在排头,女乙不在排尾;有约束条件的排列问题间接法:例6、有4个男生和3个女生排成一排,按下列要求各有多少种不同排法:(3)三个女生排在一起;相邻问题“捆绑法”有约束条件的排列问题例6、有4个男生和3个
5、女生排成一排,按下列要求各有多少种不同排法:(4)三个女生两两都不相邻;不相邻问题 “插空法”有约束条件的排列问题例6、有4个男生和3个女生排成一排,按下列要求各有多少种不同排法:(5)全体站成一排,甲、乙、丙三人自左向右顺序不变;定序问题“消序法”有约束条件的排列问题定序问题“插空法”例6、有4个男生和3个女生排成一排,按下列要求各有多少种不同排法:(6)若甲必须在乙的右边(可以相邻,也可以不相邻),有多少种站法?有约束条件的排列问题定序问题“消序法”定序问题“插空法”例7、 7位同学站成一排,共有多少种不同的排法?解:问题可以看作:7个元素的全排列A775040 7位同学站成一排,其中甲站
6、在中间的位置,共有多少种不同的排法?解:问题可以看作:余下的6个元素的全排列A66 =720有约束条件的排列问题 7位同学站成一排,其中甲不站在首位,共有多少种不同的排法?解一:甲站其余六个位置之一有A61种,其余6人全排列有A66 种,共有A61 A66 =4320。解二:从其他6人中先选出一人站首位,有A61,剩下6人(含甲)全排列,有A66 ,共有A61 A66 =4320。解三:7人全排列有A77,甲在首位的有A66,所以共有 A77- A66=7 A66- A66=4320。有约束条件的排列问题 (4)7位同学站成一排甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?解:根据分步计数原理:第一步
7、甲、乙站在两端有A22种;第二步 余下的5名同学进行全排列有A55种 则共有A22 A55 =240种排列方法.甲乙乙甲 abcde ebdcaA55A55A22A22有约束条件的排列问题(5) 7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?解:第一步 从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A52种方法;第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有A55种方法,所以一共有A52 A55 2400种排列方法有约束条件的排列问题间接法(6)若甲不在排头、乙不在排尾,有多少种不同的排法?解法一(直接法):以甲作为分类标准,分为两类:第一类:先安排甲在中间,再
8、安排乙,有第二类:先安排甲在排尾,再安排其他人,有共有:3720种方法有约束条件的排列问题直接法解法二(间接法):所有排法中除去不符合的.共有: 3720种方法 所有排法:甲在排头:乙在排尾:甲在排头、乙在排尾:有约束条件的排列问题间接法例8、四位男生、三位女生排队照相,根据下列要求,各有多少不同的排法(1)七个人排一列,四个男生必须连排在一起有约束条件的排列问题(1)捆绑法:四个男生看作一个元素和三个女生共四个元素有A44种排法,四个男生全排列有A44 种排法由乘法原理共有例8、四位男生、三位女生排队照相,根据下列要求,各有多少不同的排法(2)男女生相间排列有约束条件的排列问题 男女男女男女
9、男 共有A44 A33=144例9、将5列车停在5条不同的轨道上,其中a列车不停在第一轨道上,b列车不停在第二轨道上,那么不同的停放方法有( )(A)120种 (B)96种 (C)78种 (D)72种 特殊元素(或位置)优先安排B先算出5列火车排5条铁轨的排法,然后扣除掉A列车停在第一轨道上的方法总数,再扣除掉B列车停在第二轨道上的方法总数,再加上前面重复扣除的既满足A列车停在第一轨道上、又满足B列车停在第二轨道上的方法总数,就是所求的不同的停放方法。 例9、将5列车停在5条不同的轨道上,其中a列车不停在第一轨道上,b列车不停在第二轨道上,那么不同的停放方法有( )(A)120种 (B)96种
10、 (C)78种 (D)72种 特殊元素(或位置)优先安排解法2:不相邻问题 “插空法”不相邻问题 “插空法”、捆绑法七人排成一排,甲、乙两人必须相邻,且甲、乙都不与丙相邻,则不同的排法有( )种(A)960种 (B)840种 C)720种 (D)600种 “相邻”用“捆绑”,“不邻”就“插空” 从7盆不同的盆花中选出5盆摆放在主席台前,其中有两盆花不宜摆放在正中间,则一共有_种不同的摆放方法。 例5:一天要排语、数、英、体、班会六节课,要求上午的四节课中,第一节不排体育课,数学排在上午;下午两节中有一节排班会课,问共有多少种不同的排法?特殊元素应该优先考虑1.数学排上午4种排法,班会排下午2种
11、排法,其他四门课全排列24种排法,共4224=1922.体育排第一节,数学3种排法,班会2种排法,其他三门课全排列6种排法,共326=363.用第一种排法减去第二种192-36=156. 有约束条件的排列问题例8:一天要排语、数、英、体、班会六节课,要求上午的四节课中,第一节不排体育课,数学排在上午;下午两节中有一节排班会课,问共有多少种不同的排法?分析:共是6节课 讨论)上午第一节不能是体育、 班会 ,则第一节就有4种可能 第二节开始不能是班会, 减去前面一节, 还有4种 第三节减去2节+班会 ,有3种可能 第四节减去3节+班会 ,有2种可能 第5节 (早上排了4节了),下午: 剩下一节跟班
12、会 有2种可能 ,第6节 全部排好了 就一节课 1种可能 。共443221=192;有约束条件的排列问题*?疑问:若剩下的一节是数学呢。数、班在下午全排体排在上午第一节外的某节剩下的全排法一)1)当体育课被安排在下午,则在除班会以外的四节课在上午可以随便安排,共有 种可能,再有下午的体育和班会共有 =2种排法,所以共有 =48种方法。 2)当体育课被安排在上午,则在除班会以外的四节课中必须选出一门课与班会一起被安排在下午,共有 种排法。在余下的三门课与体育课共四节被安排在上午:上午第一节有3种选法,第二节有3种选法,第三节有2种选法,第四节有1种选法。即 =3321种。共有( ).( )=14
13、4种。由1)2) 共48+144=192 ,而数在下午有36种;综上:有48+144-36=156种。法二)数在上午其它三节中的一节第一节排(除数、体、班)其它三门课中的一门剩下三门课中选一门与班会放在下午两节全排最后的两门课无限制全排分析:共是6节课综上:48+108=156.3:三名女生和五名男生排成一排,如果女生全排在一起,有多少种不同排法?如果女生全分开,有多少种不同排法?如果两端都不能排女生,有多少种不同排法?如果两端不能都排女生,有多少种不同排法?A66 A33 =4320 A55A63=14400 A52A66=14400 A52A66+2A31A51A66=36000或A88-
14、 A32 A66=36000练习:某小组7人排队照相,以下各有几种不同的排法?1)若排成两排,前排3人,后排4人;2)若排成两排,前排3人,后排4人,甲必排在前排,乙必排在后排;3)甲不在左端,乙不在右端;4)甲乙不相邻;5)甲、乙、丙均不相邻;6)甲乙必须间隔2人;小结:1对有约束条件的排列问题,应注意如下类型: 某些元素不能在或必须排列在某一位置;某些元素要求连排(即必须相邻);某些元素要求分离(即不能相邻);某些元素要求顺序一定;2基本的解题方法:()有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置)法(优先法);特殊元素,特殊位置优先安排策略()
15、某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆绑法”;相邻问题捆绑处理的策略()某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法”;不相邻问题插空处理的策略(4)某些元素顺序一定时,可以用总排列数除以这几个元素的全排列数,这种方法称为“倍除法”;定序问题倍除处理的策略综合应用:练)课本P27页4、5、6、7;简答:思:某排共有10个座位,若4人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同做法有多少种?分析:4人选位A(44)=24,然后4人旁边插空需5个空位 ,剩余的1个任意放在这5个空中的一个
16、即5种,共24*5=120。另析:两端的座位要空着,中间4个位包括两端共有5个空,4人插入5空中,共A(54)=120。1:有4个男生和3个女生排成一排,按下列要求各有多少种不同排法:(3)甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾? (4)若甲、乙两名女生相邻,且不与第三名女生相邻?(1)7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端?(2)7位同学站成一排,甲、乙不能站在两端?(5)甲、乙、丙3名同学必须相邻,而且要求乙、丙分别站 在甲的两边?讨论:3、1)因为a不等于0, 先确定a,有A(4,1)=4; 然后从剩下4个数中选2个,有A(4,2)=43=12 ,故可以组成412=48个不同的一元
17、二次方程。2) (1)c=0时,方程总有解,A(4,2)=43=12; (2)c不等于0,b=0时,方程总无解; (3)a,b,c均不为0时,满足b 2-4*a*c大于等于0,才有解, 只有:52-4*1*3 ,52-4*3*1, 72-4*1*3, 72-4*1*5, 共6种可能,所以有实数解的方程有12+6=18个 变式:只有当直线是Y=-AX/B才有18条,分别是A=0,或B=0时2条,其余的即A、B取非0数时Y=-AX/B;共4*5=20种组合。由于1/2=3/6;1/3=2/6;2/1=6/3;3/1=6/2。减去重复的四种,答案:2+20-4=18。 一、无限制条件的排列问题1.从
18、5种不同的蔬菜种子中选3种分别种在3块不同土质的土地上,共有多少种不同的种法?分析:把5个种子分别标上1,2,3,4,5,用123表示种子1种在第1块土地上,种子2种在第2块土地上,种子3种在第3块土地上,因此3个数的一个排列就是一种种植方法,从5个不同数中取出3个数的一个排列就是一种种植方法,多少个排列就有多少种种法。2.公共汽车上有4位乘客,其中任何两个人都不在同一车站下车,汽车沿途停靠6个站,那么这4位乘客不同的下车方法有多少种?分析:个车站分别标上1,2,3,4,5,6,如1246表示第一位乘客在1号站下,第二位乘客在2号站下,第三位乘客在4号站下,第四位乘客在6号车站下,不同的排列表
19、示不同的下法,有多少个不同的排列就有多少种不同的下法,共有A46=6543=360 5.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面, 2面或 3面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号?例2.用0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的1) 五位数2)六位偶数3)大于213045的自然数1)解1.位置分析法:首位是特殊位置,0不能排,有5种排法,其余4个位置有A45种排法,由乘法原理知共有5 A45=55432=600解2.(间接法) 6个数中取5个数的排列中有不满足要求的数如02134等,0这样的数共有A56-A45=6002)可分
20、为两类,第一类是个位为0的有A55个,第二类个位不是0,个位有两种排法,首位有4种排法,中间四位有A44种排法,第二类共有24A44=192,由加法原理共有A55+192=312形如2134,2135的数有A12A22形如21054有一个因此满足要求的数共有449个3)形如3,4,5,这样的数都是满足条件的数共有A13A55 形如 23,24,25这样的数都是满足条件的数共有A13A44形如214,215这样的数都是满足条件的数共有A12A33解:连续命中的3枪和命中的另一枪被未命中的4枪所隔开 ,如图表示没有命中,_命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个元素插到五个空档中有A25=54
21、=20种排法2.某人射击8枪,命中4枪,4枪命种恰好3枪连在一起的不同种数有多少? 3.一排8个座位,3人去坐,每人两边至少有一个空座的坐法有多少种?4、一排长椅上共有10个座位,现有4人就座,恰有五个连续空位的坐法种数为 。(用数字作答)480解法二:可以画一个树状图,知满足要求的拿法 有9种(四)其他问题同室4名学生各写一张贺卡,放在一起,然后各人从中各拿一张,但均不能拿自己写的那张,共有多少种拿法?解法一:第一步第一个同学从中拿一张贺卡,满足要求的拿法有3种,第二步考虑被第一个同学拿走贺卡的那个同学也有3种拿法,第三步、第四步各有一种拿法,由乘法原理共有3311=91.四位男生、三位女生排队照相,根据下列要求,各有多少不同的排法
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