抽象代数理论问题和方法

1、抽象代数理论问题和方法教材与参考书教材:抽象代数理论、问题与方法,科学出版社, 2005课程名称:近世代数学习内容:教材前6章2抽象代数理论问题和方法学习前6章1 导引(3)2 数环与数域(6)3 尺规作图(4)4 对称与群(5)5 代数方程的Galois理论(7)6 从勾股定理到费马定理(7)3抽象代数理论问题和方法本教材特点以问题解决为主线避免概念化教学4抽象代数理论问题和方法问题解决第2章 数环与数域:整数的平方和定理第3章 尺规作图问题:尺规作图3大难题第4章 对称与群:晶体分类定理第5章 代数方程的Galois理论: 不可解方程第6章 从勾股定理到费马定理: 2次代数整数环分类5抽象

2、代数理论问题和方法问题解决第7章 域上的代数:实数域上可除代数; 欧拉恒等式;合成代数分类问题第8章 多项式环的理想:希尔伯特基定理; 代数簇不可约分解第9章 理想的唯一分解性:整数唯一分解 定理推广第10章希尔伯特第17问题:整函数平方和6抽象代数理论问题和方法第1章 导引1.1 方法与对象1.2 映射与运算1.3 群、环、域的定义7抽象代数理论问题和方法1.1 方法与对象代数学发展的4个阶段: 1 文字叙述阶段 2 简化文字阶段 3 符号代数阶段 4 结构代数阶段8抽象代数理论问题和方法1.1 方法与对象1 文字叙述阶段主要特点: 直观推理古代中国: 筹算法古代希腊: 几何数论9抽象代数理

3、论问题和方法古代中国: 筹算法算筹计数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10抽象代数理论问题和方法古代中国: 筹算法九章算术：筹算开方商(根)5 5 2 2 5实法负2商5 5 2 2 5实2法4负2 3商1 5 2 2 5实 4 3法1 2 9 负11抽象代数理论问题和方法九章算术：开方术2 3商 2 3 2 5实 4 3法负2 3商 2 3 2 5实 4 6法负2 3 5商 2 3 2 5实 4 6 法负 2 3 5商 0实 4 6 5法 0负 2 3 5商 2 3 2 5实 4 6 5法 2 3 2 5负 2 3 5商 2 3 2 5实 4 6 5法 负12抽象代数理论问题和方法

4、古代希腊: 几何数论1+3+5+(2n-1)=n2.13抽象代数理论问题和方法2 简化文字阶段丢番图（Diophantus,公元250年）算术使用简化文字符号： 平方： ， （dunamis）立方：， （kubos）x3+8x-1： *x:; x3+8x: ; 减: ;常数: *14抽象代数理论问题和方法3 符号代数阶段字母表示数M.Stiefel(1486-1567)1553综合算术使用+、-、F.Viete(1540-1603) : cubus aequalia a cubus+a plano2in b+b cubus15抽象代数理论问题和方法3 符号代数阶段符号代数的意义字母表示数：代数

5、学不再停留在具体的数字计算，有了真正意义的数学公式、运算法则，并由此进化为现代数学符号系统、现代数学公理系统项武义：近代代数学的分界不在于“字母表示数”而是“不定元引入”16抽象代数理论问题和方法4 结构代数阶段结构代数：从公理系统出发研究特定的代数系统，群、环、域等抽象代数是现代数学的基础拓扑学：基本群、上同调群代数数论：理想论代数几何：代数簇17抽象代数理论问题和方法抽象代数三大基础1 高次方程求根问题：Galois群，扩域2 费马问题高斯方法：Kummer理想论3 复数的几何解释：Hamilton四元数18抽象代数理论问题和方法 思考问题1 刘徽像利用乘法公式解释筹算开方法 的原理19抽

6、象代数理论问题和方法思考问题2：素数的复整数分解5=（1+2i）（1-2i）问题：通常整数（有理整数）p=a+bi在复整数中存在非平凡分解的充分必要条件注：1 ，i是复整数中仅有的非平凡因子20抽象代数理论问题和方法思考问题3：数学符号的价值和功能现代数学密切依赖于高度专业化的符号系统，数学符号系统不仅仅是简化的表达形式，也是思维的有力工具：例，蝴蝶定理的“傻瓜证法”.试用你自己的例证说明数学符号的价值和功能.21抽象代数理论问题和方法蝴蝶定理ADGOFCHBE132422抽象代数理论问题和方法蝴蝶定理蝴蝶定理“傻瓜证法”23抽象代数理论问题和方法1.2 映射与运算映射定义；单射、满射、一一映

7、射集合A上的2元映射称为（ 2元）运算24抽象代数理论问题和方法 集合分类定义：非空集A上2元关系ab，满足 1 自反性：aa 2 对称性：若ab则ba 3 传递性：若ab、 bc则ac称2元关系为等价关系等价类 A（a）= xa | xA 商集 = A（a）| aA 25抽象代数理论问题和方法集合分类等价关系，例：等于；朋友关系；模n同余：若n|a-b则记ab（n），称为a与b模n同余同余类：0，1，2，n-126抽象代数理论问题和方法思考问题：映射的交换图已知映射：AB满，定义：AA ，：BA 证明一一；图交换 = A B A27抽象代数理论问题和方法1.3 群、环、域的定义 群的定义 整

8、数加群（Z，+）： 1. 加法封闭 2. 加法结合 3. 加法交换 4. 有0元 5. 有逆元28抽象代数理论问题和方法群的定义群的定义:非空集G,存在2元运算(乘法),满足条件 1. 封闭律 2. 结合律 3. 单位元e 4. 逆元a-1称G是一个群.29抽象代数理论问题和方法群的一些简单性质1. 群的单位元唯一2. 每个元素的逆元唯一3. 乘法不必交换,若交换则称为交换群4. 若干例: 有理数加群、非零有理数乘群 n次单位根乘群、完全线性群GL(n,F)5. 子群定义30抽象代数理论问题和方法 环的定义整数环Z:全体整数两个运算,加法、乘法,满足 1. Z是加群 2. 乘法封闭、结合、交换 3. 乘法对加法分配律称为整数环.31抽象代数理论问题和方法 环的定义环的定义:非空集R有两个运算,加与乘,满足 1. R是一个加群（交换） 2. 乘法封闭、结合 3. 左右分配律则称R是一个环.注: 0元、单位元、可逆元（单位）、交换环32抽象代数理论问题和方法 环的例环的若干实例：整数环、有理数环（域）、多项式环、连续函数环、全矩阵环Maxn(R)子环定义33抽象代数理论问题和方法 域