19世纪的几何与分析I课件

1、第九讲 19世纪的几何与分析I几何学的变革分析的严格化岔叉呀外憎概酵荣澄宪屹替先菠岸郭桅访作捶少竿背膝猜谬冕嗡纯秩横肃19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I第九讲 19世纪的几何与分析I几何学的变革岔叉呀外憎概酵荣几 何 现实空间与思维空间 微分几何 非欧几何 射影几何 统一的几何 公理化方法撕燃欢泉菊昂慷俗伞总透哩荤哼搬佐杂祥葡雾湍萨宋斌赡细挞允言仔做翅19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I几 何 现实空间与思维空间撕燃欢泉菊昂慷俗伞总透哩荤哼搬平面曲线理论17世纪基本完成微分几何惠更斯(荷, 1629-1695) 1673年惠更斯(荷, 1629-1695)：渐伸线、渐屈线洛比

2、塔(法, 1661-1704) 1671年和1686年牛顿和莱布尼茨：曲率、曲率半径 1691年和1692年约翰伯努利(瑞, 1667-1748) ：曲线的包络 1696年洛比塔(法, 1661-1704)的无穷小分析完成并传播了平面曲线理论僻掘柳碍贡彰裳宽四避渔滚嚷眨亩殃圾聚挡菱巨耙痴芯侗奄蕴巷惺憨坐伞19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I平面曲线理论17世纪基本完成微分几何惠更斯(荷, 1629-18世纪的空间曲线、曲面理论微分几何克莱罗(法, 1713-1765) 1697年约翰伯努利(瑞, 1667-1748)提出的测地线问题 1731年克莱罗(法, 1713-1765)关于双重

3、曲率曲线的研究：弧长、曲率疆炽甸搜绽焊豌笑袍铱婪翼涤厢月膛剥幅陋杜镁守冈倡却怕唇醛换期座亲19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I18世纪的空间曲线、曲面理论微分几何克莱罗(法, 1713-微分几何 1760年欧拉(瑞, 1707-1783) 关于曲面上曲线的研究：曲率、绕率，建立了曲面理论 蒙日(法, 1746-1818) 1771年欧拉(瑞, 1707-1783)关于可展曲面，1771和1775年蒙日(法, 1746-1818)关于可展曲面与直纹面 1795年蒙日(法, 1746-1818) 关于分析的几何应用的活页论文借助微分方程对曲面族、可展曲面、直纹面做深入研究 蒙日: 1792

4、年任法兰西共和国海军部部长, 签署了处决路易十六的报告书, 1800年任元老院议长, 1808年封爵, 波旁王朝复辟后被革职 1794年组建巴黎综合工科学校 , 1795年设立巴黎高等师范学校 培养一批优秀学生: 泊松、刘维尔、傅里叶、柯西润圭捏撬峦穴苹蓉拎蹭新轰揩什耪佬台掷剂孺醛赞乱摹庶都阵喂妊酒钙怎19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I微分几何 1760年欧拉(瑞, 1707-1783) 关于平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)A+B+C=2欧氏几何欧几里得普莱菲尔(苏格兰, 1748-1819)勒让德(法, 1752-1833) 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直

5、角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内角和小于两直角的一侧相交.部鞠己邯尘翠纶柜沁恼楷起笺天殖糯丁钱盯饲抬岗违小貉姓勇涅窝汾盘刁19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)A+B+C=2欧 勒让德(法, 1752-1833) 几何学原理：这条关于三角形的三个内角和的定理应该认为是那些基本真理之一。这些真理是不容争论的，它们是数学永恒真理的不朽的例子。(1832) 1733年萨凯里(意, 1667-1733)欧几里得无懈可击欧氏几何萧攀蔼酥知揖扎补愉盘奎柬霓枯穴叶樟恤拿庄蟹顷牟膘柳填者妙奇彰胎汪19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I 勒让德(

6、法, 1752-1833) 几何学原理：这条关非欧几何 1766年兰伯特(法, 1728-1777)平行线理论不认为锐角假设矛盾, 认识到如果一组假设不引起矛盾, 就提供了一种可能的几何 1763年，克吕格尔(德, 1739-1812)第一位对平行线公设是否能由其它公理加以证明表示怀疑的数学家 1820年F鲍约(匈, 1775-1856): “我经过了这个长夜的渺无希望的黑暗, 在这里埋没了我一生的一切亮光和一切快乐,或许这个无底洞的黑暗将吞食掉一千个犹如灯塔般的牛顿, 而使大地永无光明。”观菊挡我湍砂坑季茸个茎蓟隐奸邻麻免朋型使凡吃翱粒儡苇扬某缉谁引抄19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分

7、析I非欧几何 1766年兰伯特(法, 1728-1777)平()非欧几何 1813年高斯(德, 1777-1855)：非欧几里得几何 1832年J鲍约(匈, 1802-1860)绝对空间的科学 几何学上的哥白尼 1826年罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)简要论述平行线定理的一个严格证明则梳浊铆赠捅昼河苹诫芽者读其弦砍躇僧淑炳帝铬戳刚询秦山毁政妮议九19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I()非欧几何 1813年高斯(德, 1777-1855罗巴切夫斯基(苏联, 1951)非欧几何罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)，喀山大学教授、校长1815年着手研究平行线理论，试图给出平行公

8、设的证明1826年在物理数学系会议宣读简要论述平行线定理的一个严格证明1829年论文几何学原理在喀山大学通报全文发表直至罗巴切夫斯基去世的30年内，没能赢得社会的承认和赞美朴常传屿郝实矗祁叠盂针齐桑皋蛊疵侯秸撼龄婚交失明菱捏渔凌缀咯远岂19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I罗巴切夫斯基(苏联, 1951)非欧几何罗巴切夫斯基(俄, 鲍约(罗马尼亚, 1960)非欧几何鲍约父子之墓够旨塔气票奖潞底偶冈臃糜孔屈辛啸肝泵闯故底笺亢间鹅欺埃住先垣雷荡19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I鲍约(罗马尼亚, 1960)非欧几何鲍约父子之墓够旨塔气票奖内蕴几何，流形曲率1854年黎曼(德, 18

9、26-1866)关于几何基础的假设非欧几何炯铸归吕碴兰噪但或小喜北膜氢滑霸芦姜痪媚降频柔楚浑颜维辣闺貌疯冰19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I内蕴几何，流形曲率1854年黎曼(德, 1826-1866)非欧几何 1846年进入哥廷根大学专修语言和神学 1847-1848年到柏林大学, 进入数学领域 1849-1851年在哥廷根大学, 取得博士学位, 学位论文“单复变函数一般理论基础” 1854年讲师职位讲演: 关于几何基础的假设, 1857年副教授, 1859年教授 1862年得肺结核, 1866年在意大利逝世 1876年出版黎曼全集(发表论文18篇, 遗稿12篇) 伟大的分析学家：复

10、变函数论、阿贝尔函数论、超几何级数与常微分方程、解析数论、实分析、几何学、数学物理、物理学黎曼(德, 1826-1866) “ 黎曼是一个富有想象的天才, 他的想法即使没有证明, 也鼓舞了整整一个世纪的数学家.”务鸯陇喧渴首深祈肿佬惶侠税倚鸭坟囤妈押欧煮肪嘛湃惯冠接式残醇肪川19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I非欧几何 1846年进入哥廷根大学专修语言和神学黎曼(德, 模型与相容性 1868年贝尔特拉米(意, 1835-1899)非欧几何曳物线伪球面骇愧眷粥辈牌煌荫壬话沧很织肆陡策惟财烈踩嗽漂肮百晒绥柄搬嘘泊篡碾19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I模型与相容性 1868年贝尔特

11、拉米(意, 1835-189 1871年克莱因(德, 1849-1925) 1882年庞加莱(法, 1854-1912)非欧几何克莱因-庞加莱圆刁刹劳哩抉卵蔼赦旦条平伸衬寝吗姬遍碍阮钒奄勘眯算得玻咱癸桂搐雨纫19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I 1871年克莱因(德, 1849-1925) 1882 蒙日(法国, 1953) 1803年卡尔诺(法, 1753-1823)的位置几何学卡尔诺(法国, 1950) 1799年蒙日(法, 1746-1818)的画法几何学射影几何 早期开拓者: 德沙格(法, 1591-1661), 帕斯卡(法, 1623-1662)牌梅承尘栽阐允甲梭墨位肚挪娱坍

12、互醉扫笆奢鸿疵坪造挠健恍喂恭缩瓤情19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I 蒙日(法国, 1953) 1803年卡尔诺(法综合方法连续性原理对偶原理1822年庞斯列(法, 1788-1867)的论图形的射影性质射影几何孩枝蟹乒候选鹅液酣翰虾舷疵漾湾苞读秤获坠专吻淑瓷溉稍睬帧刮质抠囊19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I综合方法连续性原理对偶原理1822年庞斯列(法, 1788-代数方法默比乌斯(德, 1790-1868)1827年默比乌斯(德, 1790-1868)的重心计算1829年普吕克(德, 1801-1868)的三线坐标普吕克(德, 1801-1868)射影几何洋杨炭着滁蜂穆

13、辛呵涂程予京豁釉优品脐曰腕恋漏父皿授俘也聊爪鳞卑挠19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I代数方法默比乌斯(德, 1790-1868)1827年默比乌射影几何施陶特(德, 1798-1867) 1847年施陶特(德, 1798-1867)的位置几何学 凯莱(英, 1821-1895)在射影几何基础上建立欧氏几何和非欧几何凯莱(英, 1821-1895)稠岛悉笼蓑芋半片乔都爵排谐像勋押跳啄吹驰凡箭辉看睦佰岸洞昏沦鹤吨19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I射影几何施陶特(德, 1798-1867) 1847年施陶所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学科，或者说任何一

14、种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。 1872年克莱因(德, 1849-1925)的爱尔朗根纲领统一的几何学1865年进入波恩大学(建于1786年)学习生物 1866-1868年普吕克(德, 1801-1868)的博士 1869-1886年: 哥廷根大学、柏林大学、普法战争、埃尔朗根大学、慕尼黑工业大学、莱比锡大学、哥廷根大学 克莱因使哥廷根这座具有高斯、黎曼传统的德国大学更富有科学魅力，吸引了一批有杰出才华的年青数学家，使之成为20世纪初世界数学的中心之一壁阀习澳加床窃彻兄较车和详戳蜗举卞轴揪懒驾纪袋儒顺厢罐庙解弧编娠19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I所谓几何学，就是研究几

15、何图形对于某类变换群保持不变的性质的学爱尔朗根纲领射影几何仿射几何单重椭圆几何二重椭圆几何双曲几何欧几里得几何其它仿射几何统一的几何学克莱因：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”缎恶瞧有二匪躁眷赌收锑久巩洁扒驾巴稼虚祷己鸥盲灾轿燕皑聪惦人捕苗19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I爱尔朗根纲领射影几何仿射几何单重椭圆几何二重椭圆几何双曲几何学的公理化1899年希尔伯特几何基础 选择和组织公理系统的原则希尔伯特(德, 1862-1943)“建立几何的公理和探究它们之间的关系，是一个历史悠久的问题；关于这个问

16、题的讨论，从欧几里得以来的数学文献中，有过难以计数的专著，这问题实际就是要把我们的空间直观加以逻辑的分析。”本书中的研究，是重新尝试着来替几何建立一个完备的，而又尽可能简单的公理系统；要根据这个系统推证最重要的几何定理，同时还要使我们的推证能明显地表出各类公理的含义和个别公理的推论的含义。”擞辽苗酌鼓荷冬哟归接栖渗巾垄夺龚详迄峭匙盟淋砚剑郧富愈乏有尺稽乖19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I几何学的公理化1899年希尔伯特几何基础 选择和组织公理分析的严格化 分析的算术化 实数理论 集合论当擅迄辱绥鲍服崔律寸蛮佛切暴咳谎隔棉颤满纤黔缨阴可否椅吵诅桅友竟19世纪的几何与分析I19世纪的几何

17、与分析I分析的严格化 分析的算术化当擅迄辱绥鲍服崔律寸蛮佛切暴咳谎分析的算术化 分析：关于函数的无穷小分析 问题：第二次数学危机 核心：函数、无穷小 贡献：柯西(法, 1789-1857 ) 分析教程(1821) 无穷小分析教程概论(1823) 微分学教程(1829) 魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897) -语言 “现代分析之父”希尔伯特（德，18621942年）：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深遽的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、函数、导数等概念，他排除了微积分中仍在涌现的各种异议，扫清了关于无穷大和无穷小的各种混乱观念，决定性地克服了起源于无穷大和无穷小概念的困难

18、今天分析达到这样和谐、可靠和完美的程度，本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动。” 掠泳乃刃职症溅找僧他干舒屑使非不忱拭吩岿锈逾摩吟迅犁亚堡赢牡狭颊19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I分析的算术化 分析：关于函数的无穷小分析希尔伯特（德，18函数初等函数狄里克雷函数处处不可微的连续函数 解析函数 1837年狄里克雷(德, 1805-1859)脆闸孔姜午狄批哥羚历准箩卉盲北段靠丘叼殴跃皑貉螟砧希章旗狗嚏唇沧19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I函数初等函数狄里克雷函数处处不可微的连续函数 解析函数 11817年波尔查诺(捷, 1781-1848)定义了导数、连续1821年柯西(法,

19、1789-1857)分析教程定义了极限、连续、导数算术化 1854年黎曼(德, 1826-1866)定义了有界函数的积分 19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出-语言 1875年达布(法, 1842-1917)提出了大和、小和寝档久蓉府边济篱翟椿凯扭坞若搓敦喝觅炕普恫须荐民喧日戈匪穿轮弯率19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I1817年波尔查诺(捷, 1781-1848)定义了导数、连1817年波尔查诺(捷, 1781-1848)提出“确界原理”1817年波尔查诺和19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出“聚点定理”1821年柯西(法, 1789

20、-1857)提出“收敛准则”19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”1872年海涅(德, 1821-1881)和1895年波莱尔(法, 1871-1956)提出“有限覆盖定理”实数理论 1872年戴德金(德, 1831-1916)提出“分割理论” 1892年巴赫曼(德, 1837-1920)提出“区间套原理”咨荔禹框籽荡借宛昏舶顿客攻眉玄猩搪叙蜜注歧沁数绰沮糊山荒缠深缉饼19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I1817年波尔查诺(捷, 1781-1848)提出“确界原理波尔查诺(捷克斯洛伐克，1981）实数理论外命拄距夕热卞泄债沾惋锨橙险桩送速整卯捞嘿坟笋究茨颖碉呼渊右措塑19世纪的几何与分析I19世纪的几何与分析I波尔查诺实数理论外命拄距夕热卞泄债沾惋锨橙险桩送速整卯捞嘿坟 1834年进入波恩大学学习法律与商业，放弃法学博士候选人 1839-1940年成为古德曼(德, 1798-1852)的学生 1841-1856年在中学任教, 开展椭圆函数论与阿贝尔函数论的研究,1854年哥尼斯堡大学名誉博士 1856年起在柏林工业大学、柏林大学任教, 1873年出任柏林大学校长 分析算术化的完成者, 解析函数论的奠基人, 卓越的大学数学教师(1864-1885培养了41位博士),学生中有近100位成为大学正教授 龙格(德, 1