第二类曲线积分典型例题解析

1、高等数学(2)第 12 章第二类曲线积分典型例题解析QP例1若对任意的x,y 有，设C 是有向闭曲则 PdxQdy=xyC解：由格林公式将 P(x, y)dx Q(x, y)dy ( Q P )dxdyCDxyQ其中D为Cl围成的平面区域，及条件P知，应该填写：0 xy例2 ydx xdy ,其中l 是延圆周(x 2l(y 1正向一周解因为圆周 (x (y 1 所围圆面积 D 12 ， 由格林公式得： ydx xdy l(1 1)dxdy = 2 ，应该填写: 2例3若P(x, y)及Q(x, y)在单连通域D 内有连续的一阶偏导数则在D 内曲线积分PdxQdy 与路径无关的充分必要条件是（)

2、lPD 内恒有 QQD 内恒有 PxyxyD 内任一条闭曲线l上，曲线积分 PdxQdy 0lD 内任一条闭曲线l上，曲线积分 PdxQdy 0l解 ： 若 P(x, y), Q(x, y) 在 单 连 通 区域 D内 有 一 阶 连 续 偏 导 数 , 则P(xy)dx Q(xy)dy 与路径无关 Q P x, y D 。lxy所以选择：B例4设C 是平面上有向曲下列曲线积分中（）是与路径无关的AC3yx2dx x3dyB ydx xdyCC 2xydx x 2dyD 3yx2dx y3dyCCP(3yx2 Q(x3)解：因为选项A 中， y y 3x3x x 3x2 ，由曲线积分与路径无关

3、的充分必要条件知道，正确选择：Ayt)例 5设积分路径l :x (t) , t ) ,yt)P(x,y)dxQ(x,y)dy=（lAPt)t)t)Qt)t)t)dtBPt)t)Qt)t)t)dtCPt)t)Qt)t)t)dtDPt)t)Qt)t)dtyt)解：因为积分曲线的路径由参数方程l : x (t) , ( yt):Pttt)Qtttdt所以正确选择：A例6计算(ex sin y 3y x2 )dx(ex cos y x)dy，其中 l 为由点经椭圆lx cost y 2sin的上半弧到点 B(3,0) 再沿直线回到 A 的路径解：由于 l 为封闭曲线，故原式可写成(ex sin y 3

4、y x2 )dx (ex cos y x)dyl其中P ex sin y 3y x2,Q ex cos y x，由格林公式QP原式= l(ex sin y3yx2)dx(ex cosyx)dy xDydxdy= (ex cos y 1) (ex cos y D= D=21 32=62y21例7计算 (ex sin y )dx (e x cosy )dy ，其中l 是上半圆周x2 y2 2xy21l22( y 0) 和 x 轴围成平面区域边界的正向解:P ex sin y y21,Qex cos y,由格林公式得22y21QP (ex sin y)dx (e x cosy )dy dxdyl22xyD=ex cos y (ex cos y y)dxdy = ydxdyDD2cos8=2 sinr2r=2 sincos3d003 0202=(cos4 )20233例8计算lxy2dy x2 ydx，其中l : xy 1逆时针方向解：P x2 Q x