再谈数量关系

1、再谈数量关系 一次校本教研引发的思考余谆 湖北省黄石市龚家巷小学 在一次以“解决问题的教学”为主题的校本教研中，一位有着28年教龄的教师（该教师是刚接手这个班的数学）率先提出：“我在分数乘法的解决问题例2的教学中，化了一节课才是让学生掌握了这道题的数量关系，你们是怎样教学的啊？”同年级的杨老师说：“你还讲了数量关系？言外之意是这个可不提倡了啊！我们是直接让学生读题，根据自己的理解列出算式就可以了，如果列不出就借助线段图来帮助理解。”是啊！曾几何时，我们的“应用题”教学，教师都是引导学生分析题目中的数量关系来思考、解答。现如今，随着新课改的“解决问题”来取代“应用题”，特别是当专家解读应用题被取

2、代的理由：对“应用题”的学习过程充满了“模仿、记忆、识别、练习”等；因为在传统教学中，“教师满足于头头是道地给学生分析等量关系，机械地列出方程、解答问题；更有甚者给学生把问题分类，并就每一类问题提供主要的等量关系和解题套路，什么行程问题、浓度问题这样的教学，没有探索、没有研究，也没有挑战性，有的只是被动的接受和机械的模仿、操练，使具有良好教育作用的课题变了味，应用意识和实践能力的培养也就成了一句空话。”广大具有“学习精神”、“创新精神”和“改革精神” 的小学数学战线上教师们，就对“应用题”噤若寒蝉了，对多年在解答“应用题”时的数量关系分析更是敬而远之了。生怕一个不小心，领回一顶“穿新鞋走老路”

3、、 “不领会新课改理念”等等帽子。那么，在新课改后的课堂，还要不要有“应用题”那样分析题目中的数量关系、等量关系呢？我想就自己的课堂谈谈感受和体会，以期和各位同仁真诚交流。分析数量关系是解决问题的基石。新课改后的“解决问题”要改革原来“应用题”机械化的教学，运用学生的生活经验和运算意义来进行“解决问题”，可以说有一定的意义。但如果数学学习仅仅停留在生活经验和初步的运用意义上是不够的。一是生活经验毕竟是直观形象思维，是浅显的、不易扑捉的、有个性化的。如：二年级上册学生接触“求比一个数多（少）几”的问题时，学生根据自己的生活经验，可以判断是用减法来解决。如果此时教师仅仅停留在此，不去提升学生的思维

4、，让学生构建“较大数较小数相差数”的数量关系式。那在后面“求比一个数多（少）几的数是多少”的问题，学生将仅仅凭生活经验很难判断了，那时知识的“前摄效应”就会出现了。更重要的是将会影响六年级“求比一个数多（少）几分之几”的问题解决。二是运算意义太抽象，能理解运算的意义，并去解决一步问题已经很不错了，如果是隐藏条件的两步问题或多步问题，那就无从入手了。例如：学习了整数乘法的意义之后，学生运用乘法的意义求几个几相加的和用乘法计算来解决“每只兔子拔5只萝卜，3只兔子拔（ ）只（人教版第二册第53页）”注：为了叙述的方便，本文中所列举的例子都是把教材中的“解决问题”像如此进行简化后的语言。，会很容易。但

5、如果仅仅让学生停留在求“3个5的和可以列式35”，不去渗透“共拔的萝卜每只兔子拔的个数兔子的只数”注：为了叙述的方便，本文中所列举的例子都是把教材中的“解决问题”像如此进行简化后的语言。三是数学问题毕竟不能都是生活中的问题，还有纯数学知识的判断、推理等等。例如“正反比例的判断”。在一次网络教研活动中，有教师提出“学生判断正反比例很难，原因何在？”我从自己的教学经验分析，其中不乏是数量关系的教学缺失，导致学生不会找出正确的数量关系，从而不会判断。就像“某种粗细均匀的铁丝，长度和质量成什么比例？”这个判断，学生根本找不出长度、质量与粗细均匀三者之间的数量关系，肯定就无法判断了。再如有这样一道题：给

6、水池注水，给了注水高度和注水时间的关系图，让学生判断注水高度和注水时间有何关系？并说明理由。学生根据关系图可以判断是注水高度和注水时间正比例关系，但在说明理由时，却不知“注水高度注水时间”得到什么量。四是新课改后的教材对小数和分数的运算意义淡化，让学生解决此类问题更是迷茫。例如在学习分数乘法时，教材注重的是分数乘法的算法，淡化了分数乘法的意义。看起来为学生减少了枯燥、抽象的分数乘法意义的学习，学生学起来会更轻松，但也为分数乘法解决问题埋下了障碍。我见过一个学生会解决“一件商品原价是800元，现价是原价的9/10，现价多少元？”但遇到“一件商品原价是800元，为了促销，现价比原价低1/10销售，

7、现价多少元？”时，就直接用“8001/10”来解决。显然是没明白“现价比原价低1/10”的意义隐含着“现价是原价的9/10”或“现价比原价低原价的1/10”。如此总总，原来“应用题”解答时的数量关系分析是教学的关键，现在也依然是“解决问题”所必须的基石。分析数量关系是思维发展的桥梁。小学生思维发展年龄特点是“直观形象思维逐步向抽象逻辑思维过度”。数学学习将起到很好的促进作用。在分析数量关系时，原来应用题教学中许多优秀的经验值得我们借鉴。如:分析法、综合法、作图法等等都是几代数学教育工作者积累的很好方法，这些方法对提高学生思维能力十分有帮助。首先，分析法、综合法是分析与综合思维在数学数量关系分析

8、中的具体应用。如分析法是分析思维的具体应用，是对要解决的数学问题的构成数量进行研究，根据基本数量关系，找出解决这个问题的两个最直接的重要数量，这些数量中有的可能是已知的，有的是未知的，再把未知的数量做为中间问题，找出解这个中间问题所需要的数量，这样逐步推理，直到所需要的数量都能从题目中找到为止。综合法是综合思维的具体应用，是对所获得的数学信息的各数量的属性进行整合，选择两个已知的相关联的数量，根据数量关系，提出可以解决的问题；再选择两个已知数量（所求出的数量这时就成为已知数量），又提出可以解决的问题；这样逐步推导，直到求出题目的问题为止。为了清楚看出两种分析方法的思维过程，我们举例来说明。西塞

9、山区在牧羊湖地段疏通一条排水渠，原计划每天疏通800米，6天疏通完。实际4天疏通完，每天疏通了多少米？综合法分析法排水渠的总长实际每天疏通了多少米米？综合法分析法排水渠的总长实际每天疏通了多少米米？实际实际疏通的天数（4天）原计划疏通的天数(6天)原计划每天疏通的米数（原计划疏通的天数(6天)原计划每天疏通的米数（800米）其次，分析法和综合法的应用将会促进学生思维的发展。在教学中，低、中年级渗透综合法来分析数量关系，在整合“已知的相关联的数量，根据数量关系，提出可以解决的问题”中还可以培养概括和抽象思维的发展。中、高年级逐步渗透分析法分析数量关系，使学生的思维由目标出发，根据基本数量关系，分

10、析出解决这个问题的两个最直接的重要数量，还可以培养学生思维的推理、归纳能力。同时，让学生运用“综合思维”及“分析思维”对一些问题分析进行比较完整的“叙说训练”，即结合对数量关系的分析说出解题思路，通过这种“出声的思维”来暴露学生的思维过程、强化思维成果，更可以发展思维能力。 分析数量关系是数学建模的途径。小学数学中的数学模型，广义地讲，一般表现为数学的概念、法则、公式、性质、数量关系等。新课改试图要改变那种运用“数学模式”去机械解题，要改变那种只会解书本数学问题而不会解生活中数学问题的现状。虽然经过课改，数学课堂发生了很大的变化，但学生解决现实中问题的能力怎样呢？有一次，我和六年级的儿子一起坐

11、公共汽车，我灵机一动，随口就问了一句“如果车站每5分钟要发一趟车，假如你是公交公司的经理，准备在3号车这个线路购置车，要计算出购置车的台数，准备怎么解决？”这一数量关系简单的数学问题，竟让六年级、全班数学成绩第二名的儿子想了很久，最后还在我的提醒下才想出解决问题的方法。事后，我就想：是什么原因让六年级学生对“一辆车来回的总时间每辆车间隔的时间=需要的台数”这样的简单问题束手无策呢？应该是他对生活中的问题与相对应的数学模型没有建立联系，因此在分析时对动态的车辆运动，难以把握。估计费以时日会解决，但一下却寻找不到解决问题的简洁途径。这也正暴露了北京师范大学的周玉仁教授对“解决问题”教学的担心：课改

12、后的教学将关注的重心过多地放在对信息的收集、整理上，对数量关系的形成与分析显得比较单薄，导致教学从“生活情境”直接走向“应用”，忽视了“数量关系形成”这个重要的数学建模的过程。这样的教学，势必削弱了学生解决问题时的思考过程，缩小了发展学生的数学理解的空间，与新课程对“解决问题”教学所要达到的目标是相去甚远的。实践表明，只有进行数量关系分析，积累必要的数量结构，才能使学生在获取信息后形成解题思路，学会解决问题。可见，新课程中的教学并不是害怕数量关系模型化的问题，而是改革怎样使用数量关系获取数学模型和如何运用数量关系模型去解决实际问题。例如，学习“连除、乘除混合运算”（北师大版教材三年级上册），可

13、以这样设计教学：（1）出示题目。题中告诉我们哪些数学信息？要解决什么问题？ （2）要求平均每层放多少本书，可以用什么方法来计算？（让学生提出模型假设：每个书架书的本数一个书架的层数=平均每层放多少本书）（3）哪个信息还没有直接告诉我们？怎样解决？（利用数学模型解决中间问题：图书总数书架个数=每个书架书的本数）（4）让学生独立列式计算并尝试列出综合算式。（模型求解）（5）分析每一步的意义。（让学生根据数学模型作出解释）（6）还可以怎样解？（拓展模型）（7）总结两步计算问题解决的共同模型及关键（先解决中间问题，再解决最后问题，每一步的问题解决都要根据基本数量关系模型来进行），引导学生理出解决两步实际问题的知识链，形成认知网络结构，实现结构化迁移，逐步提高解决数学问题的一般能力。（8）小军去游泳池游泳，他在泳道内游了2个来回，共游了100米，这个游泳