三角恒等变换的常用技

1、三角恒等变换的常用技巧在不改变结果的前提下，运用基本公式及结论，从角、名、次方面入手，把一个三角函数式转化成结构比较简单、便于研究的形式，这种变形叫做三角恒等变换三角恒等变换的常见变换技巧归纳如下：题型一：常值代换(特别是“1”的代换)【知识】,.兀1二sm2+cos2a=tan二sec2a-tan2a二csc2a-cot2a.4【巩固与应用】若xg(匹,5)，则ul-sinx可化为()D22A.2sin(+)B.92cos(+)C.2cos()D.、：2sin()24242424已知tana=72，求值：2sin2asinacosa+cos2a.题型二：公式变形【知识】tanatan卩二(1

2、tanatan卩)tan(a土卩).【巩固与应用】-化简：tanlOtan20+tan20tan60+tanlOtan60.(1)已知A+B二兀:4,求证：。(1+tanA)(1+tanB)二2;(2)化简：(1+tan1)(1+tan2)(1+tan44)(1+tan45).题型三：升次降次知识】2sin2a2sin2a二1一cos2a,2cos2a二1+cos2a,cos2a一sima二cos2a,2sinacosa=sin2a.4sin3a二3sinasin3a,4cos3a二cos3a+3cosa.上面公式正用降次，反用升次.巩固与应用】1若一2*a乎，则严严的值是()A.asin2B

3、.acos2C.sinaD.acos22求值：2求值：cos4sm4=883求值：sin220+cos250+sin20cos50.408、理7)3sin702cos210A.12B.、运：2C.2D.圾255.(07理4)已矢口sina-丘5，贝Usin4a一cos4a的值为A.15B.35C.156.求函数y二sinx(sinxcosx)的单调区间。增kn+,kn+，减kn,kn+L88JL88D.35kgZ7.已知cos(n4+x)二35，17n12x7n-4，求亠沁的值。结果負1tanx8.已知函数f（x）二2cosxsinx+fsin2x+sinxcosx1)求：函数f(x)的最大值

4、及最小值；求：函数f(x)的最小正同期、单调递增区间；该函数图像可由y=sin2x图像作怎样变化而得到。题型四：公式活用【知识】公式正用、公式逆用、公式变形后使用【巩固与应用】求值：tanlOtan20+tan20tan60+tan60tanlO二_1_已知0为第三象限角，且sin43+cos43=-,那么sin20等于（A）9A.皿3B.2込：3C.23D.233.在ABC中，若sinAsinB+cosAcosB+sinAcosB+cosAsinB=2,则厶ABC为等腰直角三角形TOC o 1-5 h z函数y=sin2x一cos2x+2的最小正周期是（）CA.4兀B.2兀C.nD.n：2（

5、06全国II理10）若f（sinx）二3cos2x，则f（cosx）等于CA.3cos2xB.32sin2xC.3+cos2xD.3+2sin2x1兀3兀（07理12）已知sin0+cos0=一，且匚0，则cos20的值是524题型五：弦切互化知识】能实现转化的公式有：sina能实现转化的公式有：sinatana=cosa1一cos2asin2atana=sin2a1+cos2a巩固与应用】1sin20TOC o 1-5 h z求值：(tan5-)=-2tan51+cos200oo求值：sin50(1+S3tan10)=3已知tan(45+a3已知tan(45+a)=12，则cos2a1+-+

6、tan2acos2a4求值5求证-4求值5求证-4cos10tan10sin2x(1tanx2一tanx：2)=4cos2x.-46.若sin3+cos0=，贝Vtan3+=-42tan3题型六：辅助角变换知识】辅助角公式:asinx+bcosx=a2+b2sin(x+p)(其证明附后)2推论:sinx土cosx=边sin(x土中)；3sinx土cosx=2sin(x土牛);sinxv3cosx=2sin(x3)；cosxsinx=i：2cos(x,；3cosxsinx=2cos(x)；cosx3sinx=2cos(xf)3利用公式上昱聪tan(x+-)及上匹=tan(仝-x)引入.1一tan

7、x41+tanx4巩固与应用】1.函数y0)个单位，所得的图像关于y轴对称则m的最小正值是()DAD3函数y=si*2x-亦2x的最小正周期为sin2x+cos2x4.求函数y=sinx-(sinx-cosx)的单调区间.当一兀x时，函数f（x）=sinx+、：3cosx的值（D）22A.最大值是1,最小值是-1B.最大值是1最小值是-12C.最大值是2最小值是-2D.最大值是2最小值是-1与y=2sinx+cosx的周期、振幅都相同的函数是（A）A.sinxy=B.y=2sinxC.cosxD.y=sinxcosx题型七：角的和差拆分变换知识】1A.sinxy=B.y=2sinxC.cosx

8、D.y=sinxcosx题型七：角的和差拆分变换知识】1.原则：化未知为已知.2拆分技巧：再如10。=30。-20。.IIIIII女口2a=(a+0)+(a0);(+w)=+(a),(+a)=(a),424326=(a+0)0=(a0)+0=等.3半角与倍角的相对性：如a是2a的半角，同时也是纟的倍角；-是a的半角，同时也是纟的224倍角；【巩固与应用】312例已知sin（2a-0）=5，sin一五，且ae(n)一2,0J，求sina的值.1.(06理13)3I已知a,Be(,I),43sin(a+B)=5讪专）=12，则cos（a+中）=2.(08理17)3.(07理11)（冗、（1）求的s

9、inx值；（2）求sin2x+的值.(I3I已知cos(x一亍=彳若cos(a+B)=1，cos(aB)=5，贝Vtana-tanB=xe4.(08理5)已知cos(a)+sina=3，则sin(a+7n)的值是656A.-2逐5BA.-2逐5B.2尽5C.-45D.455.（08春理6）化简：+a)+6.（08理15）在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角a、0，它们的终边别与单位圆相交于a、b两点.已知A、B的横坐标分别为运10、2后：5.求tan(a+B)的值;求a+2P的值.7己知0a20s皿=I，co心)=-5，则sinp7Ab.0或nC.25D土248sin7Ab.0或

10、nC.25D土248sin7+cos15sin8的值等于(cos7。sin15sin8。2+IB.29设sin(a+2P)=3sina，贝9=tanPC.2_、汽2一石D.210.A.13182-,tan=,那么tanf兀1a+的值是（B54J4I4J322C.1322D.318已知tan(a+B)二)B.已知aJ3是锐角，cosa已知aJ3是锐角，cosa=45,tan(a-0)=13，求cos卩的值。cos0题型八：和积互化（不要求）知识】1.积化和差公式和差化积公式和sinx土cosx积sinx-cosx互化.2.3.巩固与应用】1.A.如果01.A.如果0g(0,丄),sin0cos0

11、=2B.虫22一，则cos20为（2C.土亘2D.2.口/n-t2.口/n-t-1-/I已矢口sina+cosa=2（0,兀）那么tana的值是A.BA.B.-3D.3.3.化简：cos?A+cos2(互+A)+cos2(互一A)334.已知x是第二象限角，且sinx+cosx=4.已知x是第二象限角，且sinx+cosx=a（|a1）,求下列各式的值:1)tanxcotx；2)1-sinx+1+sinx1一cosx1+cosx5.已知tana,tanp是方程x2+2x-4=0的两根，求cos2十cos平的值.sin2a+sin2p6.已知三角形ABC中的三个角A,B,C满足A+C=2B,+=

12、二2.求cos上C的值。cosAcosCcosB2解法（I）：由题设条件B=60。,A+C=120。cos60。cA+c2coscos60。cA+c2cos2=-22+=-2、込:.cosA+cosC=-22cosAcosC将=品0。=cos（A+C）=-22-cos人将=品0。=cos（A+C）=-22cos人f=2一2cos（A一C）A一C.由cos（A一C）=2cos2一1.4朽cos2_+2cos2（2cos上匸-込）（2込2-AY+3）=020cos化+3丰0.（2cos上匸-込）（2込2-2解法（n）：因为解法（n）：因为B=60。，A+C=120:.A=:.A=60+a,C=60

13、a故+cosA+cosCcos（60+a）cos（60一a）cosa-込cos2a一cos4cosacosa-込cos2a一cos4cosa111J3+1肓13.cosa一sinacosa+sinacos2a一匚sin2a222244cosa3=224込cos2a+2cosa一3、E=0cos2a-4（2丫2cosa+3）（2cosa一-2）=0/.cosa=（cosa丰AC.cos一2cosa3cos2a一-42附录一起点公式的证明两角和余弦公式的推导两角和正弦公式的推导3半角公式tana=sina=1一cosa的推导21+cosasina4.辅助角的推导及其推论asinx+asinx+bc

14、osx=；a2+b2sin（x+申）,tan申=；abcosx+asinx=%a2+b2cos（x-y）tany=b由asinx+bcosx的系数a,b可得点P（a,b）（一定要注意a与b顺序），射线OP（O为坐标原点）可作为某个角的终边，设为申，于是有:、-a2角的终边，设为申，于是有:、-a2+b2sin申所以asinx+bcosx=b其中，申叫做辅助角，它所在象限取决于点P(a,b)所在象限，它的一个函数值为：tan=-a推论：TOC o 1-5 h zsinx士cosx=、2sin(x)；-3sinx土cosx=2sin(x土)；sinx-：3cosx=2sin(x土)；463cosx

15、sinx2cos(x)；v3cosxsinx=2cos(x)；cosx士*3sinx=2cos(x)463口诀：正余化正，加减不变，余正化余，加减颠倒，前6后3.5.+附录二些常用的结果1（cosasinacosa）2=1sin2asinsina+cosa1+tana,k=tan（a+sina-cosa1-tana4sina-cosatana-1,k、=tan（a-）.sina+cosatana+1431tana31tana+tana2sin2a1tanatana2cos2asin2a附录三万能公式sina=2tana2“a1+tan2cosa=atan22“a1+tan221-tana=2tan-2“a1-tan21已知旦=%3+1，求sin2x的值.1-tanx附录四半角公式.acosasin2=2a1+cosacos2=2a11.acosasin2=2a1+cosacos2=2tan=（符号由半角终边位置决定）21+cosa1+cosasina附录五衍生二倍角公式cos2a=sin2（a+丁）=2cos（a+）sin（a+丁）sin2a=cos2（a-）=cos2（a-）-sin2（a-）=2cos2（a-）-1=1-2sin2（a-）44444附录