圆锥曲线存在性问题

1、.圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时,通常先假定所求的要素点,线,图形或是参数存在,并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析,若能求出相应的要素,则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替1点：坐标2直线：斜截式或点斜式通常以斜率为未知量3曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧：1特殊值点法：对于一些复杂的题目,可通过其中的特殊情况,解得所求要素的必要条件,然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。2核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素,所以通常以该要素作为核心变量,其余变量

2、作为辅助变量,必要的时候消去。3核心变量的求法：直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素,并进行求解间接法：若无法直接求出要素,则可将核心变量参与到条件中,列出关于该变量与辅助变量的方程组,运用方程思想求解。二、典型例题：例1：已知椭圆的离心率为,过右焦点的直线与相交于两点,当的斜率为时,坐标原点到的距离为。 1求的值 2上是否存在点,使得当绕旋转到某一位置时,有成立？若存在,求出所有的的坐标和的方程,若不存在,说明理由解：1则,依题意可得：,当的斜率为时解得： 椭圆方程为：2设, 当斜率存在时,设联立直线与椭圆方程： 消去可得：,整理可得： 因为在椭圆上当时,当时,当斜率不存在时,可知,

3、则不在椭圆上综上所述：,或,例2：过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点,为其左焦点,已知的周长为8,椭圆的离心率为1求椭圆的方程2是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且？若存在,求出该圆的方程；若不存在,请说明理由解：1由的周长可得：椭圆2假设满足条件的圆为,依题意,若切线与椭圆相交,则圆应含在椭圆内若直线斜率存在,设,与圆相切 即联立方程：对任意的均成立将代入可得：存在符合条件的圆,其方程为：当斜率不存在时,可知切线为若,则符合题意若,同理可得也符合条件综上所述,圆的方程为：例3：已知椭圆经过点,离心率为,左,右焦点分别为和1求椭圆的方程2设椭圆与轴负半轴交点为,过

4、点作斜率为的直线,交椭圆于两点在之间,为中点,并设直线的斜率为证明：为定值是否存在实数,使得？如果存在,求直线的方程；如果不存在,请说明理由解：1依题意可知：可得：椭圆方程为：,代入可得：椭圆方程为：2证明：设,线段的中点设直线的方程为：,联立方程：化为：由解得：且假设存在实数,使得,则即因为在椭圆上,所以,矛盾所以不存在符合条件的直线例4：设为椭圆的右焦点,点在椭圆上,直线与以原点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切1求椭圆的方程2过点的直线与椭圆相交于两点,过点且平行于的直线与椭圆交于另一点,问是否存在直线,使得四边形的对角线互相平分？若存在,求出的方程；若不存在,说明理由解：1与圆相切

5、将代入椭圆方程可得：椭圆方程为：2由椭圆方程可得：设直线,则联立直线与椭圆方程：消去可得：同理：联立直线与椭圆方程：消去可得：因为四边形的对角线互相平分四边形为平行四边形解得：存在直线时,四边形的对角线互相平分例5：椭圆的左右焦点分别为,右顶点为,为椭圆上任意一点,且的最大值的取值范围是,其中1求椭圆的离心率的取值范围2设双曲线以椭圆的焦点为顶点,顶点为焦点,是双曲线在第一象限上任意一点,当取得最小值时,试问是否存在常数,使得恒成立？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由解：1设由可得：代入可得：2当时,可得：双曲线方程为,设,当轴时, 因为所以,下面证明对任意点均使得成立考虑由双曲线方程,可

6、得：结论得证时,恒成立例6：如图,椭圆的离心率是,过点的动直线与椭圆相交于两点,当直线平行于轴时,直线被椭圆截得的线段长为1求椭圆的方程2在平面直角坐标系中,是否存在与点不同的定点,使得对于任意直线,恒成立？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由解：1椭圆方程为由直线被椭圆截得的线段长为及椭圆的对称性可得：点在椭圆上椭圆方程为2当与轴平行时,由对称性可得：即在的中垂线上,即位于轴上,设当与轴垂直时,则可解得或不重合 下面判断能否对任意直线均成立若直线的斜率存在,设,联立方程可得：由可想到角平分线公式,即只需证明平分只需证明因为在直线上,代入可得：联立方程可得：成立平分由角平分线公式可得：例

7、7：椭圆的上顶点为,是上的一点,以为直径的圆经过椭圆的右焦点1求椭圆的方程2动直线与椭圆有且只有一个公共点,问：在轴上是否存在两个定点,它们到直线的距离之积等于1？若存在,求出这两个定点的坐标；如果不存在,请说明理由解：由椭圆可知：为直径的圆经过由在椭圆上,代入椭圆方程可得：椭圆方程为2假设存在轴上两定点,设直线 所以依题意：因为直线与椭圆相切,联立方程：由直线与椭圆相切可知化简可得：,代入可得：,依题意可得：无论为何值,等式均成立所以存在两定点：例8：已知椭圆的左右焦点分别为,点是上任意一点,是坐标原点,设点的轨迹为1求点的轨迹的方程2若点满足：,其中是上的点,且直线的斜率之积等于,是否存在

8、两定点,使得为定值？若存在,求出定点的坐标；若不存在,请说明理由1设点的坐标为,点的坐标为,则由椭圆方程可得： 且代入到可得：2设点,设直线的斜率分别为,由已知可得：考虑是上的点 即的轨迹方程为,由定义可知,到椭圆焦点的距离和为定值为椭圆的焦点 所以存在定点例9：椭圆的焦点到直线的距离为,离心率为,抛物线的焦点与椭圆的焦点重合,斜率为的直线过的焦点与交于,与交于1求椭圆及抛物线的方程2是否存在常数,使得为常数？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由解：1设的公共焦点为2设直线,与椭圆联立方程：直线与抛物线联立方程：是焦点弦 若为常数,则例10：如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线与轴

9、交于点,与椭圆交于两点,当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时,弦的长为1求椭圆的方程2是否存在点,使得为定值？若存在,请求出点的坐标,并求出该定值；若不存在,请说明理由解：1依题意可得：当与轴垂直且为右焦点时,为通径2思路：本题若直接用用字母表示坐标并表示,则所求式子较为复杂,不易于计算定值与的坐标。因为要满足所有直线,所以考虑先利用特殊情况求出点及定值,再取判定或证明该点在其它直线中能否使得为定值。解：2假设存在点,设若直线与轴重合,则若直线与轴垂直,则关于轴对称设,其中,代入椭圆方程可得：,可解得：若存在点,则。若,设设,与椭圆联立方程可得：,消去可得：,同理：代入可得：所以为定值,定值为若

10、,同理可得为定值综上所述：存在点,使得为定值三、历年好题精选1、已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆过点,离心率为,过直线上一点引椭圆的两条切线,切点分别是1求椭圆的方程2若在椭圆上的任一点处的切线方程是,求证：直线恒过定点,并求出定点的坐标3是否存在实数,使得恒成立？点为直线恒过的定点,若存在,求出的值；若不存在,请说明理由2、已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,是椭圆上的一点1求椭圆的方程2设分别是椭圆的左右顶点,是椭圆上异于的两个动点,直线的斜率之积为,设与的面积分别为,请问：是否存在常数,使得恒成立？若存在,求出的值,若不存在,请说明理由3、已知椭圆经过点,离心率为,左,右焦点分别为

11、和1求椭圆的方程2设椭圆与轴负半轴交点为,过点作斜率为的直线,交椭圆于两点在之间,为中点,并设直线的斜率为证明：为定值是否存在实数,使得？如果存在,求直线的方程；如果不存在,请说明理由4、已知圆,定点,点为圆上的动点,点在上,点在上,且满足1求点的轨迹的方程2过点作直线,与曲线交于两点,是坐标原点,设,是否存在这样的直线,使得四边形的对角线相等即？若存在,求出直线的方程；若不存在,试说明理由5、2014,XX已知双曲线的两条渐近线分别为,1求双曲线的离心率2如图,为坐标原点,动直线分别交直线于两点分别在第一、四象限,且的面积恒为8,试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在,求

12、出双曲线的方程；若不存在请说明理由习题答案：1、解析：1椭圆过点,再由可解得：椭圆方程为：2设切点坐标为,直线上一点,依题意可得：两条切线方程为：,由切线均过可得：均在直线上因为两点唯一确定一条直线,即过定点,即点的坐标为3联立方程：,不妨设,使得恒成立2、解析：1抛物线的焦点为依题意可知：椭圆方程为：2由1可得：,若直线斜率存在设,到直线的距离到直线的距离联立方程：*,代入到*可得：或当时,交点与重合,不符题意,代入到可得：,即3、解：1依题意可知：可得：椭圆方程为：,代入可得：椭圆方程为：2证明：设,线段的中点设直线的方程为：,联立方程：化为：由解得：且假设存在实数,使得,则即因为在椭圆上,所以,矛盾所以不存在符合条件的直线4、解析：1由可得为的中点,且为的中垂线点的轨迹是以为焦点的椭圆,其半长轴长为,半焦距轨迹方程为：2因为 四边形为平行四边形若,则四边形为