小学奥数教程之-中国剩余定理 及余数性质拓展 （）

1、5-5-4. 国余及数拓教学目 系学习中国剩余定理和新中国剩余定理 掌中国剩余定理的核心思想，并灵活运用知识点一、中国剩余定理中国古代趣题（1）趣题一中国数学名著孙子算经里有这样的问题“有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三， 七七数之，剩二，问物几何？答：“十三”此类问题我们可以称物知其数类，又被称“韩点兵。韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每 人列余 人、 一列余 2 人、 人一列余 人、 人一列余 6 人。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每 5 一列、9 人列13 人列 人一列都剩 ，则 兵有多少？首先我们先求

2、 59、17 之小公倍数 9945注：因为 59、 为两两互质的整数，故其最小 公倍数为这些数的积后再 ，得 9948（人孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个证来说 上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩定理。中国 剩余定理（Chinese Theorem）在近代抽象代数学中占有席非常重要的地位。（2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解物不知其数问（：有物不知其数，三三数之剩二， 五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿枝，七子团圆正

3、月半，除百零五便得知”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为 “ 中剩余定理 ” （ ），是我国古代数学的一项辉煌成果诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以 得的余数用 乘五树梅花廿一枝，是说除以 5 所的余数用 乘七子团圆正月半，是说除以 7 所的余数用 乘除百零五便得知，是说把上面乘得的 3 个加起来，减去 的倍数，减得差就是所求的数 此题的中国剩余定理的解法是：用 70 乘 3 除得的余数 乘 5 除得的余数， 乘 7 除得的余数，把这 结果加起来，如果它大于 ，则减去 ，所得的差如果仍比 105 ，则继续减去 105 最后所得的整数就是所求也就是 2 70 2

4、33 ， 233 128 23为什么 70，105 有神奇效用？70，15， 是何而来？先看 70，15 的质70 被 3 余 ，被 ，7 整，所以 a 是个被 3 除余 而被 5 与 除的数； 5 余 1被 与 整的数，因此 21b 是 余 b被 3 与 除的数；同理 c 是被 除余 c，被 、5 除的数 是 3，7 的小公倍数也就是说，70a b c 是 3 除 ，被 余 b被 7 除余 c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的倍数了解了剩余定”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌

5、握便可一通百通的方法，下面我们就以孙算经 中的问题为例，分析此方:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以 ，5，7 后得到三个余数分别为 ，2.么我们首先构 造一个数字，使得这个数字除以 余 1并且还是 7 的公倍数。先由 ，即 5 和 的小公倍数出发，先看 35 除 余 ，不符合要求，么就继续看 5 和 7 的 “下一个倍数 是可以，很显然 除以 1类似的，我们再构造一个除以 余 1，同时又是 3 和 7 的倍数的数字，显然 可符合要求。 最后再构造除以 7 余 1，同时又是 ， 公数的数字， 符要求，那么所求的自然

6、数可以这样计算： 2 45 3,5,7 3,5,7 ，中 k 是然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能到所求 的数。例如对上面的问题加上限制条“满足上面条最小的自然，那么我们可以计算 3,5,7 得所求如果加上限制条满足上面条件最小的三位自然”,我们只要对最小的 23 加即，即 23+105=128例题精模块一、余数性质综合【 1】 一数以 3 的数 ，以 的数 1，这数以 的数 。【考点】余数性质综合 【度1 星 【型】填空【关键词】希望杯， 级，初赛， 【解析】 除以 3 余 2 的有258、14除以 5 余 1 的有：、6、16、 观察得

7、到符合条件的答案是 【答案】 11【 2】 有群子要 56 个桃只猴可分同个的子这窜 4 只子只 重分，要每猴分同个的子必扔一桃子则后只子到子 _个。【考点】余数性质综合 【度2 星 【型】填空【关键词】希望杯，六年级，初赛，第 19 题6 分【解析】 56 的数有：1、2、4、8、56, 的数有、511、55，其中只有 11=7+4所以原来有 只猴，后来有 只猴，每只猴子分到 个【答案】 5【固 一群猴分，子有 个每猴可分同多桃子但它正分时又了 只子于重分这桃，果只子到桃数相同那最每猴分 个子【考点】余数性质综合 【度2 星 【型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 题，4 分【解析】

8、56 的数有 1，7，8，56其中只有 和 8 相差 ，所以最后有猴子 8 只，只猴 子分到 个桃子。【答案】 【 3】 一小 200 的数它以 余 8除以 余 10，这数几【考点】余数性质综合 【度3 星 【型】解答【解析】 根据结，我们发现这个除数与余数的差都等1 观察发现这个数加上 后能 同时被 11 和 13 整,所以11，以这个数是 。【答案】 【固 不足 100 名学集舞有种合一是间一 5 人，他按 8 人组在圈另 种中一 人其人 5 人一围外。最有少同学【考点】余数性质综合 【难度3 星 【型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第 10 题【解析】 此题际是一个不足 的整数，减去 5

9、能 整除，即除以 8 余 ，减去 8 能 整除，即除以 余 ，求其最大值。 除以 余 ，除以 5 余 ，8 和 5 的小公倍数为 ，1393为满 足条件的整数，即最多有 93 名学。【答案】 93【 4】 年级 3 班学体课，排成 行少 人排成 4 行 3 人，排 5 行少 人排 排 5 人， 问体课同最_人。【考点】余数性质综合 【度2 星 【型】填空【关键词】小数报，初赛【解析】 题意当于：除以 余 ，除以 4 余 3除以 5 余 ，以 余 5，这样我们根据总结知道都只凑 缺，所以都缺 1这样班级人数就是3、4、5、6-1=60-1=59 人。【答案】 59【固 有一个然，以 余 1，以

10、余 ，以 4 余 3，以 余 4，以 6 余 ，这数小 是 。【考点】余数性质综合 【度2 星 【型】填空【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第 题， 分【解析】 这个加 能同被 2，4，6 除，而 2，3，4，5所以这个数最小是 60。【答案】 59【固 以 余 1 ，除 余 2 ，以 4 余 3 ，以 余 ， 除 余 5 。 最小 。 【考点】余数性质综合 【度2 星 【型】填空【关键词】走美杯， 级，决赛，第 题8 分【解析】 n 加 1 后成1 的倍数，所以 最小为 1 ， 最为 720719 【答案】 【固 小朋友要一“物护”传动， 1 人 个物玩，则后下 2 动小具 若 人拿 4 动小

11、具则后下 3 个动物玩； 人拿 5 个物玩，最余 4 动小具那这活中朋至拿_个物玩具【考点】余数性质综合 【度2 星 【型】填空【关键词】学而思杯 年级，第 题【解析】 那么加一个玩具，玩总数就能同时被 整，能同时被 整最小整数位 60 。以这次 活动小朋友至少拿了 个具。【答案】 59【固 小朋友做戏若 3 人成组则后下 2 ； 4 人分成组则后下 ； 5 人 分一，最余 。么起游的朋至有 人。【考点】余数性质综合 【度2 星 【型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 15 题6 分【解析】 这个除以 3 余 2除以 4 余 3，除以 5 余 4那么加上一个人这些小朋友的数量能整除 3、

12、5， 345=60，么小朋友至少 人【答案】 59【 5】 一自数 ， 除余分是 ，2，且个数和 570，求个然 【考点】余数性质综合 【度2 星 【型】解答【解析】 这个被 9 除余数分别是 23所以这个数加上 后被 整除 ， 所以这个数加上 后 504 的倍数由于这个数被 7，9 除三个商数的和是 ，那么这个数 加上 6 后被 ，8， 的三个商数的和是 5 ，而 504 ， 573 ，所以这个数加上 6 等 504 的 3 倍这个数是 504 1506 【答案】 1506【 6】 数 119 很奇：被 除，数 ；被 除，数 2当 4 除时余为 3；被 除，数 4当 6 除时，数 5：有种质

13、三数有个【考点】余数性质综合 【度3 星 【型】解答【解析】 1，3，5，6 60 位数中 60 的倍数 个所以，除了 外还有 1 （ 【答案】 14【固 有一批书数 1000 本内若按 24 本包一则后捆 本若 本包一， 最一还差 2 本；若 32 本包捆则后捆 本那这图共 本【考点】余数性质综合 【度3 星 【型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛3 题【解析 由意可知，这批书如果再多 本，那么按 本， 28 本 本一捆全书时，都将恰好分成整数 所以这批书的本数加上 之是 24 ， 的公倍数，而 ，所以这批书的本数是 k ( 是整数)由于这批书少于 ，所以 k 只为1 ，批书有 本.【答案

14、】 本【 7】 某自数以 2 余 ，以 余 ，以 4 余 ，以 5 余 ，这数小 。 【考点】余数性质综合 【度3 星 【型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 题，6 分【解析】 除以 2 余 ，除以 余 ，除以 5 余 1 的小的数减去 被 245 整除，所以，所以这个数可以 表示为 是然数，所以 20n+1 除以 3 余 最小数是 41.【答案】 41【 8】 一大 的然除以 5 余 3除以 7 余 除 余 那么足条的然最为少 【考点】余数性质综合 【度4 星 【型】解答【解析】 根据结我发现三数中前两个数的除数与余数的和都是 这我们可以把余数 都处理成 ，即一个数除以 5 余 3

15、当于除以 5 余 ，除以 1 相于以 7 余 ，所以可以看成这个数除以 5、9 的数都是 ，那么它减去 之是 5、9 的倍数而315 所以这个数最小为 【答案】 【固 一个大 的，以 余 1除 余 2，以 余 7，问足件最自然是少 【考点】余数性质综合 【度4 星 【型】解答【解析】 法 一：仔细分析可以发 3 ，所以这个数可以看成被 3 、 、 除 7 ，于 所这个数最小是 165 法二：事实上，如果没大 这条件7 可符合条件，所以只需要在 基础上加上 、 的最小公倍数，得到 172 即为所求的数【答案】 172【 9】 是一三位.它百数是 ， a 能被 7 整， a 被 整， 是少【考点】

16、余数性质综合 【度4 星 【型】解答【解析 被 整，说明 能 7 整除； a 能 9 除，说明 a 能 9 整除； 63 ， 符上述两个条件 .( 63 61 则 a 可写成这样的形式： 63 ).又 是个百位数字是 三位数，估算知， 439 .【答案】 【 】一个位，被 3 除余 ， 除余 ，被 恰好除已这八数前 6 位 ， 那它后位字_。【考点】余数性质综合 【度4 星 【型】填空【关键词】101 中，入学测试【解析】 设后这个两位数为 ，面数字和为 除以 3 余 ，所以补上的两位数数字和要除以 3 。同 理要满足除以 余 ；八位数中奇数位数字和为2+7+3+）,数位数字和为b这样要求 a

17、b+2，所以满足条件的只有 86【答案】 86模块二、中国剩余定理【 】“民间流着则事韩点朝年楚相次韩将 500 名将与王 将锋战苦一，军敌败回，军死四百人忽后来，有军 骑追，信急点迎命士 人排结多 2 名；接命士 5 人排 结多 名；又令兵 7 人排结又出 名信上将们布：军 名士敌不五，们高下以击，定打敌人”根故中条件你 算韩有少士？【考点】中国剩余定理 【度3 星 【型】解答【析 也就说：一个自然数在 1000 和 间，除以 ，除以 余 3除以 7 余 2，求符合条件的 数方法一：先列出除以 3 余 数：，5，14，20，26 ；再列出除以 余 数，8，18， 这两列数中，首先出现的公共数

18、是 8 最小公倍数是 两个条件合并成一个就 是 数，列这一串数是 823， ，列出除以 7 余 2 的 ，9，23 ， ，得出符合题目条件的最小数是 而35，7 105 ，们就把题目转化为： 求 1 1100 之被 105 除 的数韩信有 105 个）将士方法二：我们先找出被 3 除 2 的：2，5，11，20，23，26，35， ；被 余 3 的：3，8，1823，38，43， ；被 余 2 的：2，9，2332，51 三个条件都符合的最小的数是 23，以后的是一次加上 ，7 的倍数，直到加到 和 1100 之结果是 体到实际的做题过程中时，从较大的除数开 始做会方便一些方法三：利用程大位的

19、解法，将题目转化为：求 233 上 的数在 1 1100 之间的数通过 尝试可以求出这个数是 105 【答案】 1073【 】一个除 3 余 2，以 5 3，以 余 ，满条的小然_.【考点】中国剩余定理 【度3 星 【型】填空【解析】 方法、根据总结，我发现前面两种都不符合，所以我们只能用最普遍中国剩余定： 、5 的倍数 3、 的倍数 5、 公倍数 70 找出除以 7 余 的 除 余 3 除以 余 可以找出分别是60 可见 满我们的条件是小的自然数法就是减去最小公倍数的若干倍， 使结果在最小公倍数之内。所以答案为。方法二：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用

20、 7 的数加 4当 被上两个 7 时到 18恰好 除以 5 余 ，此时符合后两个条件；再依次用 和 5 的小公倍数的倍数 18 18 被加上 个 35 个到 53验合三个条件 以所求的最小自然数就是 【答案】 【 】一个然在 1000 和 1200 之，被 3 余 ， 除 ， 除 ，符条的 【考点】中国剩余定理 【度3 星 【型】解答【解析】 方法 ：中国剩余定理、5 的倍数 3、 的倍数 、7 的倍数 35 70 找出除以 7 余 除以 5 余 2 除 余 可以找出分别是45 42 70可见 满我们的条件但不是 到 之间的数处理方法就是加上最小公倍数 的若干倍，使结果在最小公倍数之内。所以答

21、案为 52 1102 。方 ：我们先找出被 除余 1 的数：1，7，10，16，19，25，28，31，37，46，；被 5 除余 2 的：，2227，47，；被 7 除余 3 的：，17，38，52，；三个条件都符合的最小的数是 52其后的是一次加上 、5、 的最小公倍数，直到加到 和 之间结果是 1 52 1102 方 ：先列出除以 3 余 1 的：1，10，13，；再列出除以 余 数：，7，17，27，；这两列数中，首先出现的公共数是 73 与 的最小公倍数是 两个条件合并成一就是 数列出这一串数是 7，37，52，；列出除以 7 3 的：3，3138，52就得出符合题目条件的最小数是

22、52事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被 105 余 52那么这个数在 1000 和 之间，应该是 105 52 1102 方法 设个自然数为 被 余 被 余 可以理解为被 除 3 被 与 5 ， 所以满足前面两个条件的 m ( m 为然)，只需5m 除 ，即 5 除 ， 而 只需 除 7 余 最小为 3所以满足三个条件的最小自然数为3 ， 其后的是一次加上 357 的最小公倍数直加到 1000 和 之间结是 1102 【答案】 1102【 】一个除 、5、 的余数别 、4、5，符条的小数【考点】中国剩余定理 【度3 星 【型】解答【解析】 法一将 、5、11 这 数 3 个 一起分别

23、计算公倍数，如表： 的倍数中被 11 余 数不太好找注到 210 以 11 余 以 210 被 11 除 5由此可知 693 1050 是符合条件的一个值，但不是最小值，还 需要减去 3、7 的公倍数使得它小于它们的最小公倍数由于 、5、11 的最小公 倍数是 ，以 2678 1155 368 是合条件的最小值法二：对于这种题目，也可以先求满足其中 3 个余数条件的，比如先求满足除以 、7 的数分 别是 3 的既可采用中国剩余定理，0 是足前 3 个数 条件的，从而其中最小的是 53 由于 除以 11 的数为 9 除以 11 的 数为 可知 27 除以 11 余数为 所以 53 368 是足条

24、件的最小数也 可以直接观察发现这个数乘以 之除以 3、7 余数分别是 4、8也就是除以 、 余数都是 1所以满足前三个条件的数最小为 ( ，面的步骤与上面的 解法相同【答案】 【 】有连的个然 a ，们好别 9、 的数求三自数中小 的至是少【考点】中国剩余定理 【度3 星 【型】解答【解析】 法一由 是 8 的数，得到 a 被 除 ，由 a 的数，得到 被 7 除 ，现在相当于一 数 除 余 0除以 8 余 ，除以 7 余 5.用中国剩余定理求 (用逐步满足的方法也可以 和 8 公倍数中除以 9 余 最小为 ；7 公倍数中除以 的小是 ；8 9 的 公倍数中除以 余 的小是 288，根据中国剩

25、余定理，280 441 288 符各个余数条件，但 4527 不最小的，还要减去 、8、9 的 倍数，可知 满足各个余条件的最小值，所以 至是 法二：仔细观察，可知由于a 、a 、a 好分别是 87 的数，那么 a 、 也 分别是 、 倍数，即 a 是 、7 的倍数，那么 a 的最小值是 9 504 ， 至 少是 【答案】 495模块三、余数性质的拓展应用新中国剩余定理【 】有一数除 3 余 2除以 4 余 ，这数以 余几【考点】余数性质的拓展应用新中国剩余定理 【难度】 【题型】解答【关键词】首师大附中，分班考试【解析】 方法：除以 余 2 的有：2，8，11，17，23，；它们除以 12

26、的数是：，5，8，11，；除以 4 余 1 的有：，5，9，13，2125，29，；它们除以 12 的数是：，5，9，1，9，；一个数除以 12 的余数是唯一的上面两行余数中，只有 5 是共同的，因此这个数除以 的余数是 5方法二：一个数，除以 3 余 2，除以 余 1，可以理解为除以 3 余 ，以 余 4 ，以这个 数减去 ，既能被 3 整，又能被 4 整除，设这个数为 则 a m ，m 为然)所以这个 数除以 12 余 【答案】 5【 】如图在个圈有几个(不 个，小像跳那样从 A 孔发着时方， 每几跳步希望圈后跳到 A 孔先着每 2 孔跳步，结果能到 B 他 又着隔 跳一步也能到 B 孔最

27、他隔 孔跳一步正跳到 A 孔你道 个圈共多个吗B 【考点】余数性质的拓展应用新中国剩余定理 【难度】 【题型】解答 【关键词】华杯赛【解析】 设想圈上的孔已按下方式编了号 孔编号为 1然后沿逆时针方向顺次编号为 2，4，B 孔编号就是圆圈上的孔数我们先看每隔 孔跳一步时，小明跳在哪些孔 很易看出应在 1，4，710，也就是说， 小明跳到的孔上的编号是 倍数加 题意，小明最后跳到 孔因此总孔数是 3 的倍数加 1 同样道理，每隔 孔跳一最后跳到 孔就意味着总孔数是 5 的倍数加 1；而每隔 6 孔一步最 后跳回到 A 孔就意味着总孔数是 7 的倍数如果将孔数减 1么得数既是 的数也是 5 倍数而

28、是 的倍数个 15 的数加上 就 等于孔数，设孔数为 a ， a m （ m 为零自然数）而且 a 能 除注意 被 7 除 1， 所以 15 被 余 6， 的 6 倍 正好被 7 整我们可以看出 的其他(小于的 倍数加 都能被 整除， 已经大于 1007 以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是 【答案】 【 】三个续位的能够 整除且三数最的被 9 除余 4，么合件三数 中小数大 【考点】余数性质的拓展应用新中国剩余定理 【难度】 【题型】填空【关键词】学而思杯 年级【解析】 设中间数 a 三个连自然数的和中间数的 倍即 a 由 13|3a 得 13|3a 所以中间数能被 13 整除，而其中最

29、大数被 除余 4说明中数被 余 3从 往下试能被 整除的数为 988， 975 符两个条件。以符合条的三位数的最小的的最大是 【答案】 【 】某小学的年有百名生若三人行队则出人若五一排，多出 二；按人行队则出人该级人是 【考点】余数性质的拓展应用新中国剩余定理 【难度】 【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第 题，5 分【解析】 符合一、第三条条件最少人数为 人经检验22 也符合第二个条件，所以 也是符 合三个条件的最小值，但该小学有一百多名学生，所以学生总人数为 。【答案】 【 】智慧老人小的级问小说们年共百名学老请学按人行队， 结多一，五一排，果出人按人行队，果出人老说知 道们级人

30、应是 ）人【考点】余数性质的拓展应用新中国剩余定理 【难度】 【题型】填空【关键词】华杯赛决赛第 【解析】 根据件，该数除以 3 余 ，以 5 余 2除以 余 1，逐级满足法，令该数为 ，则 a3.15.27.1符合条件的有 ，4，13，.符合条件的有 ，7，同时满足、最小值为 ，以后 =7+15 满、；现在来看（m7.1， 7，则 m 最取 1符合，最小的符合的数为 。以后每隔 即符合。该年级有 100 多学生，为 22+1-5=127【答案】 【 】三个续自数从小大次 、9 的倍，三自数和小是 【考点】余数性质的拓展应用新中国剩余定理 【难度】 【题型】填空【关键词】而思杯6 年，1 试第

31、 【解析】 本题起来是一个关于除或约数、倍数的题，但实际上不大用得上被 、9 整除的数的特征或 者约数、倍数的一些性质，而如果以这三个连续的自然数中的某一个为基础，比如以中间的那个 为基础，那么另外的两个数分别为这个数减 和个数加 ，那么题目变为：一数除以 4 1除 以 9 余 ，且能被 7 整除，且这个数的最小可能值这是一个余数问题，我们可以采用逐步满足法， 也可以采用中国剩余定理来解方法一：逐步满足法除以 余 1 的有1，9，1721 ；除以 余 8 的有8，17， 可见同时满足这两条的数最小为 17由于 那么满足除以 余 且以 9 余 数有：17，161，其中能被 整的数最小为 ，所以所求的 3 个连续自然数的中间的那个数最小 ， 那么它们的和最小为161 方法二：代数表示法根据题意这个数分别为 7k k 是数7k 是 的倍数 是 倍数，由于 k k 是 的倍数， k 是 9 的 倍 数 ， 由 k 是 4 的 倍 数 知 k 是 8 的 倍 数 ， 设 2 ， 那 么 k n n ，以 n 是 8 的数， 最为 ，相应地 最为 ，么 这三