广东省中山市东区中学高二数学理月考试卷含解析

1、广东省中山市东区中学高二数学理月考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知抛物线y2=2px(p0)与一个定点M(p,p),则抛物线上与M点的距离最小的点为 ( )A.(0,0) B.(,p) C.() D.(参考答案：D略2. 如果实数x、y满足条件，那么2xy的最大值为（）A2B1C2D3参考答案：B【考点】简单线性规划的应用【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2xy表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线2xy=

2、t过点A（0，1）时，t最大是1，故选B3. 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（ ）A. B. C. D. 4参考答案：D略4. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A恰有1个黑球与恰有2个黑球 B至少有1个黑球与至少有1个红球C至少有1个黑球与都是黑球 D至少有1个黑球与都是红球 参考答案：A略5. 函数的导数为（ ）A. B. C. D. 参考答案：B6. 设xR，则xe的一个必要不充分条件是A.x1 B.x3 D.x3参考

3、答案：A略7. 已知f（x）是可导的函数，且f（x）f（x）对于xR恒成立，则（）Af（1）ef（0），f（2 014）e2014f（0）Bf（1）ef（0），f（2 014）e2014f（0）Cf（1）ef（0），f（2 014）e2014f（0）Df（1）ef（0），f（2 014）e2014f（0）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】构造函数g（x）=，利用导数判断其单调性即可得出【解答】解：令g（x）=，则g（x）=0函数g（x）在R上单调递减g（1）g（0），g即，化为f（1）ef（0），f故选：D8. 命题“若=，则tan=1”的逆否命题是（ ）A.若，则tan1

4、B. 若=，则tan1C. 若tan1，则 D. 若tan1，则=参考答案：C9. 如图所示,三棱锥OABC中, ,且，则A, B. C. D. 参考答案：C，故选C.10. 若，则（ ）A1BC7D7参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过点A(4,0)和点B(0,3)的直线的倾斜角是_.参考答案：由斜率公式得 ，为钝角，。12. 已知椭圆C： =1，斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，且|AB|=，则直线l的方程为参考答案：y=x1【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】设出直线方程y=x+m，代入x2+3y2=3，结合题设条件利用椭圆的弦长公式能求出m，得

5、到直线方程【解答】解：椭圆： =1，即：x2+3y2=3l：y=x+m，代入x2+3y2=3，整理得4x2+6mx+3m23=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，|AB|=?|x1x2|=?=，解得：m=1直线l：y=x1故答案为：y=x113. 已知a,bR,i是虚数单位，（a+bi）i=2+3i，则a=_,b=_参考答案： 3 2【分析】求出【详解】由题意，故答案（1）3；（2）2【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的概念，属于基础题14. 已知（）n的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于参考答案：15【考点】二项式系数的性质【分析】

6、先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n=6，再求出其通项公式，令x的指数为0，求出r，再代入通项公式即可求出常数项的值【解答】解：（）n的展开式中只有第四项的二项式系数最大所以n=6其通项公式Tr+1=C6r?（1）r?x，令6=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为C64?（1）4=15，故答案为：1515. 若椭圆+=1的离心率为，则m的值为 参考答案：或18【考点】椭圆的简单性质【分析】分当椭圆焦点在x轴上或焦点在y轴上进行讨论，根据椭圆的标准方程算出a、b、c值，由离心率为建立关于m的方程，解之即可得到实数m之值【解答】解：椭圆方程为+=1，当椭圆焦点在x轴上时，a2=16，b

7、2=m，可得c=，离心率e=，化简得1=，解得m=当椭圆焦点在y轴上时，a2=m，b2=16，可得c=离心率e=，化简得1=，解得m=18综上所述m=或m=18故答案为：或1816. 已知椭圆的离心率为，A为左顶点，点M，N在椭圆C上，其中M在第一象限，M与右焦点F的连线与x轴垂直，且，则直线MN的方程为 参考答案：由，得。椭圆的方程为，左顶点，点，即。，又，。设点N的坐标为，则，解得。故N的坐标为。所以点关于原点对称，从而直线过原点，且。所以直线的方程为。答案： 17. 函数的单调减区间为 。参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本

8、小题满分16分）如图所示，某人想制造一个支架，它由四根金属杆构成，其底端三点均匀地固定在半径为的圆上（圆在地面上），三点相异且共线，与地面垂直. 现要求点到地面的距离恰为，记用料总长为，设（1）试将表示为的函数，并注明定义域；（2）当的正弦值是多少时，用料最省？参考答案：（1）因与地面垂直，且，则是全等的直角三角形，又圆的半径为3，所以， 3分又，所以， 6分若点重合，则，即，所以，从而，. 8分（2）由（1）知，所以，当时， 12分令，当时，；当时，；所以函数L在上单调递减，在上单调递增， 15分所以当，即时，L有最小值，此时用料最省. 16分19. 已知函数f（x）= （x5）2+121n

9、x，（）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求函数y=f（x）的极值参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值【分析】（）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程；（）求出函数f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，再由极值的定义，可得所求极值【解答】解：（）函数f（x）= （x5）2+121nx的导数为f（x）=x5+=，可得y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为2，切点为（1，8），即有切线的方程为y8=2（x1），即为2xy+6=0；（）由f（x）=x5+=，结合x

10、0，由f（x）0，可得x3或0 x2，f（x）递增；由f（x）0，可得2x3，f（x）递减则f（x）在x=2处取得极大值，且为；f（x）在x=3处取得极小值，且为2+6ln320. 已知等比数列满足:,.(I)求数列的通项公式;(II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.参考答案：解:(I)由已知条件得:,又, 所以数列的通项或 (II)若,不存在这样的正整数; 若,不存在这样的正整数.略21. 已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l

11、与曲线C交于A，B两点，求的值参考答案：（1），（2）【分析】（1）在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程，将曲线的极坐标方程先利用两角和的正弦公式展开，再等式两边同时乘以，再代入代入化简可得出曲线的直角坐标方程；（2）解法一：将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，得到关于的二次方程，列出韦达定理，由弦长公式得可求出；解法二：计算圆心到直线的距离，并求出圆的半径，利用勾股定理以及垂径定理得出可计算出；解法三：将直线的方程与曲线的直角坐标方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，列出韦达定理，利用弦长公式可计算出（其中为直线的斜率）。【详解】（1）由直线的参数方程，消去参数得，即直线普通方程为. 对于曲线,由,即, , ，曲线的直角坐标方程为. （2）解法一：将代入的直角坐标方程，整理得, ， . （2）解法二：曲线的标准方程为，曲线是圆心为，半径的圆. 设圆心到直线:的距离为,则. 则. (2) 解法三：联立,消去整理得, 解得,. 将,分别代入得, 所以,直线与圆的两个交点是.所以,.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，考查直线参数方程中的几何意义，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，一般而言，可以采用以下三种解法：（1）几何法：求出圆的半径，以及圆心到直线的距离，则直线截圆所得弦长为；（2）代数法：将直线的参数方程（为参数，为倾斜角）与