线性代数矩阵以及其运算(3)课件

1、关于线性代数矩阵及其运算 (3)第一张，PPT共九十九页，创作于2022年6月某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况.姓名馒头包子鸡蛋稀饭周星驰4221张曼玉0000陈水扁4986为了方便，常用下面右边的数表表示2.1矩阵的概念2.1.1 矩阵的引入第二张，PPT共九十九页，创作于2022年6月1.定义2.1 由mn个aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的m行n列的数表称m行n列矩阵，简称mn矩阵。记作2.1.2 矩阵的定义第三张，PPT共九十九页，创作于2022年6月2. 说明: 矩阵与行列式不同 形式不同 矩阵的行列数可不同，但行列式必须行列数同.内容不同 矩阵是一个数表，

2、但行列式必是一个数. 3. 实矩阵、复矩阵第四张，PPT共九十九页，创作于2022年6月5. 矩阵 相等 充要条件是:4 . 同型矩阵两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵第五张，PPT共九十九页，创作于2022年6月2.1.2 一些特殊矩阵1. 方阵 若A为n行n列的矩阵，称A为n阶方阵。2. 行矩阵、列矩阵行矩阵 只有一行的矩阵。列矩阵 只有一列的矩矩阵3. 零矩阵、单位矩阵第六张，PPT共九十九页，创作于2022年6月n阶单位矩阵第七张，PPT共九十九页，创作于2022年6月4. 对角矩阵与数量矩阵5. 上（下）三角形矩阵第八张，PPT共九十九页，创作于2022年6月2.2 矩阵的运算2

3、.2.1. 矩阵的加法与数乘: 注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行； 两个矩阵相加时，对应 元素进行相加。1. 矩阵的加法（定义2.2）: A= (aij) 、B= (bij)第九张，PPT共九十九页，创作于2022年6月2.矩阵的数乘 定义2.3 数与矩阵的乘积记为A或A，并规定：负矩阵 : A= ( aij) 减法： B =+ ( B)第十张，PPT共九十九页，创作于2022年6月3. 矩阵线性运算律： (1) A+ B = B+ A (2) ( A+B )+ C = A+ ( B+ C ) (3) A+ ( A) = O (4) 1A = A (5) ( kl )A = k(lA

4、) (6) (k+l)A =kA+lA (7) k(A+ B) = kA+kB 第十一张，PPT共九十九页，创作于2022年6月例1若X满足 其中求 X. 解 X=第十二张，PPT共九十九页，创作于2022年6月 2.2.2.矩阵的乘法：1. 矩阵的乘法定义（定义2.5）设矩阵 A为ms 阶矩阵、矩阵B为 sn 阶矩阵，A= (aij) ms 、B= (bij) sn ，则矩阵 A与 B 的乘积为一 mn 阶矩阵C = (cij) mn，记 C = AB， 且第十三张，PPT共九十九页，创作于2022年6月就是说，矩阵C 的第 i 行第 j 列的元素等于矩阵 A 的第 i 行的所有元素与矩阵

5、B 的第 j 列的对应元素的乘积之和。第十四张，PPT共九十九页，创作于2022年6月例2 计算 第十五张，PPT共九十九页，创作于2022年6月例3. 非齐次线性方程组的矩阵表示记 则非齐次线性方程组可简记为第十六张，PPT共九十九页，创作于2022年6月关于矩阵乘法的注意事项：（1）矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右 矩阵的行数相等；（2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是 A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；2. 矩阵乘法与加法满足的运算规律第十七张，PPT共九十九页，创作于2022年6月（3）AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，也 不一定相等；（4）A

6、B = O 不一定有A= O或B= O ； A(XY ) = O 且 A O 也不可能一定有X=Y例4第十八张，PPT共九十九页，创作于2022年6月定理2.1 若矩阵A的第i行是零行，则乘积 AB的第i行也是零；若矩阵 B的第j行是零列，则乘积 AB的第j列也是零。若A(或B)是零矩阵，则乘积 AB也是零矩阵。例5 设求AB与BA解第十九张，PPT共九十九页，创作于2022年6月只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子： (1) An Am = An+m (2) ( An )m= An m (3) ( AB ) k Ak Bk3.矩阵的乘幂：设

7、A 是 n 阶方阵，定义：第二十张，PPT共九十九页，创作于2022年6月例6 解 第二十一张，PPT共九十九页，创作于2022年6月4.方阵A的n次多项式第二十二张，PPT共九十九页，创作于2022年6月5.矩阵的转置定义2.6 A的转置矩阵，记作AT，是将A的行列互换后所得矩阵如果 A是一个 mn 阶矩阵， AT 是一个 nm 阶矩阵。矩阵的转置的性质第二十三张，PPT共九十九页，创作于2022年6月证明（1）、（2）、（3）易证，下证明(4).设矩阵 A为ms 阶矩阵，矩阵 B为sn阶矩阵，那么： ( AB)T与 BTAT 是同型矩阵；又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j

8、列的元素正好是 C 的 cji ，即cji=aj1b1i+aj2b2i+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+bsiajs而b1i，b2i，bsi 正好是 BT的第 i 行，aj1,aj2,ajs 正好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT的第 i 行第 j 列的元素。故 ( AB )T = AT BT第二十四张，PPT共九十九页，创作于2022年6月 6. 对称矩阵与反对称矩阵 设 A为 n 阶方阵， 若 AT = A， 即 aij = aji (i,j=1,2,n)， 称矩阵A 为对称矩阵； 若AT = A， 即 aij = aji (i,j = 1,2,n)， 称矩阵 A

9、 为反对称矩阵。如右边的矩阵A 为对称矩阵第二十五张，PPT共九十九页，创作于2022年6月7.方阵的行列式（1）方阵 A 的行列式，记为| A| 或 det A。注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它们的记号也是不同的。（2）方阵的行列式满足以下运算规律(设 A、B为n 阶方阵，为实数)第二十六张，PPT共九十九页，创作于2022年6月1) 伴随矩阵：设 A=(aij)nn，矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵8、再讲几类特殊的矩阵称矩阵A的伴随矩阵，记为A第二十七张，PPT共九十九页，创作于2022年6月矩阵运算举例第二十八张，PPT共九十九页，创作于2022年6月第二十九

10、张，PPT共九十九页，创作于2022年6月第三十张，PPT共九十九页，创作于2022年6月第三十一张，PPT共九十九页，创作于2022年6月第三十二张，PPT共九十九页，创作于2022年6月 设对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使得 A B = B A = E 恒成立，则称矩阵 A 可逆或满秩矩阵,或非奇异矩阵；B 称为 A 的逆矩阵，记为 A1 = B 。1）.若矩阵 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。 证明：设 A有两个逆矩阵B1、B2，则 B1= B1E = B1(AB2) = (B1A) B2 = EB2 = B21、可逆矩阵的定义（定义2.8）2、可逆矩阵的唯一性、存在性及

11、性质2.3逆矩阵第三十三张，PPT共九十九页，创作于2022年6月证明：充分性 由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又 |A| 02）. 定理2.2 A 可逆的充要条件是 | A| 0，且A可逆时有第三十四张，PPT共九十九页，创作于2022年6月3）.对于n 阶方阵 A、B 若有 AB = E 则：A、B 均可逆，且它们互为可逆矩阵。证明： AB = E | A| | B | =1 故 | A| 0且 | B| 0，A、B均可逆，又BA=BABB1=BB1=E,故 A1=B必要性证明： A可逆 A A1 = A1 A = E故 | A| A1 |=1，即

12、| A| 0 ， A可逆，同时还有奇异矩阵与非奇异矩阵：若n方阵的行列式 | A| 0，称矩阵 A为非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。第三十五张，PPT共九十九页，创作于2022年6月4）.逆矩阵的性质 如果A、B均可逆，那么AT与AB都可逆，且 (A 1)1A (AT)1(A1)T (AB)1B1A1 (kB)1k1A1 (k为非零） | A1 |= | A| 1 证明： A、B均可逆 AA1=A1AE 故 (AA1)T=(A1)TATET=E (AT)1=(A1)T 同理 (AB)(B 1 A1) (B 1 A1) (AB) E (A)1=1 A1第三十六张，PPT共九十九页，创作于20

13、22年6月有关逆矩阵例题第三十七张，PPT共九十九页，创作于2022年6月第三十八张，PPT共九十九页，创作于2022年6月第三十九张，PPT共九十九页，创作于2022年6月第四十张，PPT共九十九页，创作于2022年6月第四十一张，PPT共九十九页，创作于2022年6月第四十二张，PPT共九十九页，创作于2022年6月 本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。2.4 分块矩阵第四十三张，PPT共九十九页，创作于20

14、22年6月第四十四张，PPT共九十九页，创作于2022年6月即Aij与Bij有相同的列数与行数，则：A与B 的和就是以Aij与Bij为元素的形式矩阵相加。2.4.1 分块矩阵的加法：设矩阵A,矩阵B为：第四十五张，PPT共九十九页，创作于2022年6月2.4.2 分块矩阵的乘法：设矩阵 Amn、Bnp 且矩阵 A 列的分法与矩阵 B 的行的分法相同。第四十六张，PPT共九十九页，创作于2022年6月第四十七张，PPT共九十九页，创作于2022年6月2.4.3 分块矩阵的转置第四十八张，PPT共九十九页，创作于2022年6月 它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角线上的矩阵均为不全

15、为零的方阵，则称 A为准对角矩阵（或对角块矩阵）。 对于准对角矩阵，有以下运算性质： 若A与B是具有相同分块的准对角矩阵，且设2.4.4 准对角矩阵 若矩阵A的分块矩阵具有以下形式第四十九张，PPT共九十九页，创作于2022年6月则：第五十张，PPT共九十九页，创作于2022年6月若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵A也可逆，且第五十一张，PPT共九十九页，创作于2022年6月2.4.5 矩阵分块的应用第五十二张，PPT共九十九页，创作于2022年6月第五十三张，PPT共九十九页，创作于2022年6月第五十四张，PPT共九十九页，创作于2022年6月第五十五张，PPT共九十九页

16、，创作于2022年6月2.4.6 矩阵按列分块1.矩阵按列分块第五十六张，PPT共九十九页，创作于2022年6月2. 线性方程组的系数矩阵按列分块后线性方程组的等价形式第五十七张，PPT共九十九页，创作于2022年6月如果把系数矩阵A按列分成 n块，则线性方程组可记作第五十八张，PPT共九十九页，创作于2022年6月2.5 初等变换与初等矩阵2.5.1矩阵的初等变换(Elementary operation)1 初等变换 定义定下面的三种变换称为矩阵的初等变换 ：(i).对调两行(ii).以非0数乘以某一行的所有元素；(iii).把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去 把定义中的“行”

17、换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义。矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为初等变换。显然，每一种初等变换都是可逆的，并且其逆变换也是同一种初等变换。 第五十九张，PPT共九十九页，创作于2022年6月例18 设（1）用行初等变换 把A化为阶梯形，进一步化为行标准形（2）再用列初等变换 把A化为标准形解（1）第六十张，PPT共九十九页，创作于2022年6月（行阶梯形）第六十一张，PPT共九十九页，创作于2022年6月第六十二张，PPT共九十九页，创作于2022年6月第六十三张，PPT共九十九页，创作于2022年6月 2 行阶梯形矩阵定义2.11 一个矩阵称为行阶梯形矩阵，如果从第一行起，每行第

18、一个非零元素前面零的个数逐行增加，一旦出现零行，则后面各行（如果有的话）都是零行 如下面的阶梯形矩阵第六十四张，PPT共九十九页，创作于2022年6月行标准型下面形式的矩阵称为行标准型下面形式的矩阵称为标准型第六十五张，PPT共九十九页，创作于2022年6月3. 定理2.3设A是一个m行n列矩阵，通过行初等变换可以把A化为如下行标准型第六十六张，PPT共九十九页，创作于2022年6月 4 定理 矩阵A可经初等变换化为标准形:第六十七张，PPT共九十九页，创作于2022年6月 （1）. 已知分别将A的第一、二行互换和将A的第一列的2倍加到第二列，求出相应的初等矩阵,并用矩阵乘法将这两种变换表示出

19、来。第六十八张，PPT共九十九页，创作于2022年6月解 交换A的第一、二行，可用二阶初等矩阵 左乘A：第六十九张，PPT共九十九页，创作于2022年6月将A的第一列的2倍加到第二列，即用三阶初等矩阵右乘A： 第七十张，PPT共九十九页，创作于2022年6月2.5.2 初等矩阵1. 初等矩阵的定义（定义2.12）由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。对应于三种行初等变换，可以得到三种行初等矩阵。人们从大量的实际计算中发现：对经过一次初等变换等同于对矩阵左乘或右乘一个适当的矩阵，此矩阵就是下面的所谓初等矩阵。第七十一张，PPT共九十九页，创作于2022年6月对于n阶单位矩阵I，交换

20、E的第 行 ，得到的初等矩阵记作： 第七十二张，PPT共九十九页，创作于2022年6月(2) 用非零数k乘以I的第 行，得到的初等矩阵记作 :第七十三张，PPT共九十九页，创作于2022年6月(3) 将I的第 行的 倍加到第 行，得到的初等矩阵记作：第七十四张，PPT共九十九页，创作于2022年6月(4) 同样用列初等变换可以得到相应的的初等矩阵2. 初等矩阵之间的关系第七十五张，PPT共九十九页，创作于2022年6月3. 可以直接验证，初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵；4. 初等矩阵与初等变换之间的关系；1）. 先看下面的例题第七十六张，PPT共九十九页，创作于2022年6月1）行初等矩阵左乘

21、矩阵（3）. 列初等矩阵右乘矩阵第七十七张，PPT共九十九页，创作于2022年6月2）. 结论定理2.4 A为矩阵,对A进行初等行变换等同于用相应的行初等矩阵左乘A，对A进列变换等同于用相应的列初等矩阵右乘A。 5. 矩阵等价定义2.13 若矩阵A经过行（列）初等变换可化为B则称A与B行（列）等价。若矩阵A经过初等变换可化为B则称A与B等价第七十八张，PPT共九十九页，创作于2022年6月6. 初等矩阵可逆性初等矩阵是可逆的，且有第七十九张，PPT共九十九页，创作于2022年6月7. 结论定理2.6 可逆矩阵A可表示为有限个初等矩阵的积，进一步可以表示为有限个行初等矩阵的积；也可以表示为有限个

22、列初等矩阵的积 。证明：因为任意矩阵A，有行、列初等矩阵使得第八十张，PPT共九十九页，创作于2022年6月因A可逆，所以A的标准形中不可能有零行，从而 r=n, 即有于是有第八十一张，PPT共九十九页，创作于2022年6月证毕初等矩阵的逆还是初等矩阵，故A初等矩阵的积。又行初等矩阵与列初等矩阵可以互换，故A可以是行初等矩阵的积或列初等矩阵的积。第八十二张，PPT共九十九页，创作于2022年6月定理2.5 矩阵A 与B等价当且仅当存在可逆的P与Q，使得 PAQ=B. 特别地，矩阵A等价于A的标准形。证明： 初等矩阵的积是可逆；任何矩阵一定可以经过初等变换化为标准形；可逆矩阵一定可以表成有限初等

23、矩阵的积第八十三张，PPT共九十九页，创作于2022年6月8. 可逆矩阵的逆的求法 A可逆,则有行初等行矩阵使得 则有记第八十四张，PPT共九十九页，创作于2022年6月则有行初等矩阵使得上面的推导，提供了一种新的求矩阵的简单方法，举例如下：第八十五张，PPT共九十九页，创作于2022年6月例4 求A的逆矩阵第八十六张，PPT共九十九页，创作于2022年6月例5 求A的逆矩阵解第八十七张，PPT共九十九页，创作于2022年6月2.6 矩阵的秩2.6.1 矩阵的秩的概念(Rank of a matrix)1. 定义 在mn矩阵A中，任取k行k列（k m，k n），位于这些行列交叉处的k2个元素，

24、不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。2. 定义2.14 如果矩阵A有一个不等于零的r阶子式D，并且所有的r+1阶子式（如果有的话）全为零，则称D为矩阵A的最高阶非零子式，称r为 矩阵A的秩，记为R(A) = r，并规定零矩阵的秩等于零。第八十八张，PPT共九十九页，创作于2022年6月4. 由矩阵的秩的定义易得：（1）矩阵A的秩既不超过行数也不超过列数（2）矩阵A的秩等于矩阵A的转置矩阵的秩。不为零的常 数k与矩阵A的积的秩等于矩阵 A 的秩。（3）n阶矩阵A的秩等于n充要条件是A为可逆矩阵（满秩 矩阵）。（4）若A有一个r阶子式不等于零，则r(A)大于 等于r;若