不确定风险下选择理论

1、第3章 不确定（风险）下的选择理论不确定风险下选择理论引言1、货币有时间价值 r的期限结构。2、风险与收益权衡 r 的风险结构CAPM。风险表现为一系列现金流CF是不确定的，典型的如股票、企业债的现金流。此时，CF的期望值用r的期望值贴现。而“期望的r的大小取决于风险的大小”是人们借贷和消费选择的结果。不确定风险下选择理论比较：人们在确定(无风险)的借贷利率r下的借贷、消费的选择480BAU2 (C0 ,C1)W1=1100W0=1000590450550100110本年消费下年消费U1(Y0,Y1)某人的禀赋（收入）为本年的550单位消费品(甚至就是货币)和下一年的480单位消费品（点A表示

2、）。W0W1为资本市场线，斜率为(1+r)。为了当期和未来消费的效用最大，需做出借贷的选择决策和相应的消费决策，如点B所示。不确定风险下选择理论人们在不确定(有风险)借贷利率r下的借贷、消费的选择？C1C0w0C0Y0AY1C11C12C13不确定风险下选择理论r5%10%20%30%50%105110120130150C1 ( =480+ )585590600610630例如，下一年的收益率有5种状况，如果选择了本年贷出100单位消费品（本年消费变为550-100= 450），则：这样的消费能给该个体带来多大的效用呢？本年消费是确定的，效用也就确定，而下一年的消费不是唯一的，所以关键是下一年

3、消费到底给个体带来多大的效用。不确定风险下选择理论r5%10%20%30%50%r的概率P(r)0.20.30.10.250.15C1585590600610630效用u(585)u(590)u(600)u(610)u(630)能不能这样呢？u(585)0.2+u(590) 0.3+ u(600) 0.1+ u(610) 0.25+ u(630) 0.15，其中u()为确定了的消费的效用。这样得到的效用被称为期望效用，又因为确定了的消费的效用本身是消费品数量的函数，所以期望效用是可能消费的数量的一个函数。不确定风险下选择理论本章大纲建立不确定情况下消费效用大小的衡量方法及决策原理：1、不确定条

4、件下的偏好关系与期望效用函数2、个体风险厌恶与效用函数的形式不确定风险下选择理论3.1 期望效用函数期望效用函数的产生原因： 在时间1消费的不确定，消费不确定的原因是 r不确定，而r不确定又是因为在时间1经济有不同的可能性状况。上例中，在时间1经济有5种可能性状况。期望效用函数的作用： 不确定下的借贷和消费的选择同样根据的是偏好，而期望效用函数是不确定性下的消费偏好表示方式。不确定风险下选择理论不确定下的消费（随机消费）被称为消费计划定义3.1：消费计划是指当未来不同的可能性状况成为现实时，每一种状况下经济主体可消费的消费品数量。其中，每种可能性状况都对应有相应的概率。比如，未来有5种可能性状

5、况1,-,5，发生的可能性为P()，分别对应5种可能的消费。表3-1 一个消费计划x12345P()0.20.30.10.20.2x()23180不确定风险下选择理论不确定下消费的期望效用函数的定义： 期望效用函数是各种可能的状况下的消费效用的期望值。公式为： （状况有限） （状况无限）其中，为各种可能的状况，是 的集合。有了期望效用函数，就可以比较不同消费计划，作为决策的依据。不确定风险下选择理论12345证券甲的r5%10%20%30%50%105110120130150 x()585590600610630证券乙的r0%9%15%38%60%100109115138160y()58058

6、9595618640例子：某人的禀赋为本年的550单位消费品和下一年的480单位消费品。资本市场有两只证券，收益率不同，本年贷出100单位消费品，则下一年的消费计划有两种可能：不确定风险下选择理论12345P()0.20.30.10.250.15x585590600610630u (x)u(585)u(590)u(600)u(610)u(630)y580589595618640u (y)u(580)u(589)u(595)u(618)u(640)哪一种消费计划（证券）好呢？只需要比较E u (x) 和E u (y)，即u(585)0.2+u(590)0.3+u(600)0.1+u(610)0.

7、25+u(630)0.15和u(580)0.2+u(589)0.3+u(595)0.1+u(618)0.25+u(640)0.15的大小。不确定风险下选择理论消费计划的集合X： 可以被选择的消费计划可能不止两个而是有多个，所有消费计划形成的集合记为X。偏好关系及其符号的规范表示： 表示x 偏好于y； 表示x严格偏好于y； 表示y偏好于x； 表示x 与y无差异。偏好关系的期望效用表示： 称个体的偏好有一个的期望效用表示，如果存在一个函数u，使得消费计划集合X中的一个消费计划 x 偏好于另一个消费计划 y（即 ）当且仅当E u (x) E u (y)。不确定风险下选择理论12345P()0.20.

8、30.10.250.15x()585590600610630y()580589595618640上例如果经济主体认为消费计划x偏好于消费计划y。如果能找到一个函数u，使得u(585)0.2+u(590)0.3+u(600)0.1+u(610)0.25+u(630)0.15大于u(580)0.2+u(589)0.3+u(595)0.1+u(618)0.25+u(640)0.15。这说明了这个偏好关系可以用期望效用表示。不确定风险下选择理论3.2 期望效用函数的存在性一、期望效用表达定理定理3.1（期望效用表达定理）：定义在消费计划集合X上的偏好关系，若它满足如下5个公理，则该偏好关系可以用期望效

9、用函数表示。不确定风险下选择理论公理1、2、3公理1 X上的偏好关系，满足自反性。意思是，消费计划自己和自己比不差。公理2 X上的偏好关系，满足完备性。意思是，X集合中的任意两个消费计划都是可以进行比较的。公理3X上的偏好关系，满足传递性。意思是，在X集合中，如果 x优于y，y优于z，则可以得到 x 优于z。不确定风险下选择理论公理4（独立性公理Independent Axiom） 对于p, q X, p 偏好于q, 意味着ap+(1-a)r偏好于a q +(1-a)r, 对任意r X , 任意a (0,1)成立。公理4的含义：引入一个额外的不确定性的消费计划不会改变个体原有的偏好。说明：投资

10、者的一个消费计划p、q或r也可以看成一张张彩票（lottery），消费计划中所有可能的消费量为彩票的各种可能的奖金数额。则ap+(1-a)r是一张复合彩票(a compound lottery) ，以a的概率获得彩票p，以 (1-a)的概率获得彩票r 。此公理含义是如果个体认为彩票p偏好于彩票q，那么个体会认为复合彩票ap+(1-a)r偏好于复合彩票a q +(1-a)r。不确定风险下选择理论复合彩票到底是什么一张彩票y1，获得奖金100的概率是1/4 ，获奖金50的概率是3/4 ；另一张彩票y2，获奖金200的概率是1/3 ，获得奖金150的概率是2/3 。现发行一张复合彩票，获得彩票y1的

11、概率是1/2，获得彩票y2的概率是1/2 。不确定风险下选择理论公理5（阿基米德公理，Archimedean Axiom） 对于p, q, r X, p q r, 则存在实数a ,b(0,1)使得ap+(1-a)r q bp+(1-b)r。含义：没有哪一个消费计划p好到使得对任意满足q偏好于r的消费计划q, r，无论概率b多么小，复合彩票bp+(1-b)r不会比q差。同样，没有哪一个消费计划r，差到使得对任意满足p偏好于q的消费计划p, q，无论概率a多么大，复合彩票ap+(1-a)r不会比q好。即集合X中不存在无限好或无限差的消费计划。不确定风险下选择理论二、期望效用不作为不确定下的选择准则

12、的情形反对期望效用作为选择准则的例子是：个体经过深思熟虑之后，反而会选择不符合期望效用的消费计划方案。典型的如下面介绍的“阿莱悖论”。不确定风险下选择理论“ Allais 悖论” (1953)一个有趣的例子说明个体的偏好可能不符合期望效用准则。不确定风险下选择理论当L1和L1 作为备选方案时选L1 ，当L2和L2 作为备选方案时选L2 ，就违背了期望效用原则。 因为通过计算表明，如果遵从期望效用原则的投资者L1和L1 之间偏好L1，那么他必须在L2和L2 之间偏好L2 。不确定风险下选择理论Why？“阿莱悖论”显示的是个体的偏好违反独立性公理的情况，这时，个体的偏好不能用期望效用函数表示。不确

13、定风险下选择理论12345P()0.20.30.10.250.15x()585590600610630y()580589595618640现在来研究各种可能的状况下的消费效用。u(585)，u(590)，u(600)等等是多少？显然，不同消费者的u(585)，u(590)，u(600)不同，但有什么共同特征吗？3.3 风险厌恶不确定风险下选择理论我们想到，不管是谁，随着消费量的增加，效用增加但边际效用递减。但是这两个人对风险（不确定性）的厌恶程度不同。那什么是风险厌恶？wwuu585600590590600585不确定风险下选择理论为了说明风险厌恶这个概念，考虑一个赌博，它以概率p有一个正的收

14、益h1，以概率（1- p）有负收益h2。定义3.2：一个赌博称为是公平的是指ph1+(1-p)h2=0。个体的初始财富为W0 ，他不参与一个公平赌博，则其效用值是U(W0 ) ，若参与，则其财富会起变化，变化的财富的期望效用是以p取(W0 h1 ) ，以（1p）取(W0 h2 ) 。不确定风险下选择理论风险厌恶：定义3.3：如果个体不喜欢参与任何公平的赌博，即u(W0)=up(W0+h1)+(1-p)(W0+h2) pu(W0+ h1)+(1-p)u(W0+h2)= E u (W)，则称个体是风险厌恶的。个体风险厌恶是指个体不愿意接受或至多无差异于任何公平的赌博。个体严格风险厌恶是指个体不乐意

15、接受任何公平的赌博。不确定风险下选择理论W0u(W0 +h 1)W0 +h 2个体风险厌恶对应着效用函数u是一个凹函数（效用随消费量的增加而增加但边际效用递减）。W0 +h 1u(W0 )u(W0 +h 2)E( u (W)不确定风险下选择理论定义3.4 （阿罗，普拉特） ：对于有二阶导数的效用函数的个体，称为个体在财富为W时的绝对风险厌恶系数。3.4 风险厌恶系数不确定风险下选择理论定义3.6：如果 ，称个体是递减绝对风险厌恶的。如果 ，称个体是递增绝对风险厌恶的。如果 ，称个体是常绝对风险厌恶的。3.5 风险厌恶系数的特征不确定风险下选择理论三个例子二次型效用函数（递增绝对风险厌恶）1/bu (z)z不确定风险下选择理论负指数效用函数（常绝对风险厌恶）u (z)-1z不确定风险下选择理论幂效用函数（递减绝对风险厌恶）不确定风险下选择理论本章作业1、在一个实验中，某受试者