渗透数学思想发展数学思维课件

1、渗透数学思想 发展数学思维渗透数学思想 发展数学思维【新闻】2017年6月7日，有两台机器参加全国高考数学考试。仅用了10分钟和22分钟完成，得了134分和105分。机器的学习量与记忆力远超人类，人工智能最有可能替代甚至超越人类通过死记硬背大量做题获得的知识。【新闻】【案例】 二战中美军飞机返回后留下弹孔，机身弹孔比引擎上的多，军方认为，应该保护机身，加装装甲。 亚伯拉罕.瓦尔德却说：需要加装装甲的不应该是留有弹孔的部分，而恰恰应该装在没有弹孔的地方，即飞机的引擎。【案例】 二战中美军飞机返回后留下弹孔，机身弹孔比引擎上的多亚伯拉罕.瓦尔德（哥伦比亚大学统计学教授）飞机各部分受到损坏的概率均等

2、，但是引擎罩上的弹孔却比其余部位少，为什么？胜利返航的飞机引擎上的弹孔少，是因为引擎被击中的飞机未能返回。机身千疮百孔仍能返回，充分说明机身可以经受打击。军官的假设：返航飞机是所有飞机的随机样本。渗透数学思想发展数学思维课件瓦尔德拥有的空战知识远不及军官，但他却看到了军官们无法看到的问题。思维习惯“你的假设是什么？合理吗？”问题的基本框架“幸存者偏差”现象，是指忽略数据筛选过程的逻辑陷阱，从而得出错误的结论。瓦尔德拥有的空战知识远不及军官，但他却看到了军官们无法看到的2018新课标全国II卷高考作文“二战”期间，为了加强对战机防护，英美军方调查了作战后幸存飞机上的弹痕的分布，决定哪里弹痕多就加

3、强哪里，然而统计学家沃德力排众议，指出更应该注意弹痕少的部位，因为这些部位收到重创的战机，很难有机会返航，而这部分数据被忽略了，事实证明，沃德是正确的。要求：综合材料内容及含意，选好角度，确定立意，明确文体，自拟标题：不要套作，不得抄袭：不少于800字。（青海、甘肃、吉林、宁夏、内蒙古、黑龙江、新疆、海南、辽宁、陕西、重庆）2018新课标全国II卷高考作文义务教育阶段数学学科的核心词 数 感 符号意识 空间观念 几何直观 数据分析观念 运算能力 推理能力 模型思想 义务教育阶段数学学科的核心词高中阶段数学学科的核心素养 数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运算 数据分析知识立意 能力立

4、意 素养立意高中阶段数学学科的核心素养【问题】 渗透数学思想，发展数学思维中学教师需要具备些什么？怎样做才能更有效？【问题】 【案例】一次函数的图像教学流程出示（或者通过问题情景得到）一个一次函数的关系式；学生列表、描点、连线发现它的图像是一条直线；再出示一个一次函数的关系式，同样的操作后学生发现它的图像也是一条直线.师生得到一致的结论：一次函数图像是一条直线. 学生：“老师，一次函数图像为什么是一条直线？”【讨论】 你将如何处理呢？【案例】一次函数的图像教学流程思路1 先选择满足函数关系式的两点确定直线，然后再检验发现其他满足关系式的点也在这条直线上；思路2 取满足条件的三点，求任意两点组成

5、的直线的斜率，发现斜率是一样的，所以三点共线；思路3 在函数y=kx+b的图像上任取两点，相应纵坐标的增量与横坐标的增量之比是定值，也就是k不变，所以函数y=kx+b的图像是直线. （初三或高中的知识）渗透数学思想发展数学思维课件师：举了两个特殊的例子就确认一次函数图像是一条直线了 吗？生1 ：指着y=2x+1的图象，认为y每次增加的幅度是x的2倍 加1，增加的幅度是一样的，所以它的图象应该是一条 直线而不可能是折线段.（从变量的角度思考函数的问题 ，而且这一解决问题的思路在有了解析几何的知识后）生2： 燃香的图片放在坐标系里看会更清晰一些.于是师生共同完成了下面的过程：师：举了两个特殊的例子

6、就确认一次函数图像是一条直线了 【讨论】1.“为什么一次函数图像是一条直线？”明显是个难点，但不是重点，我们应该如何对待这样的课堂现象呢？2.改进设计与原设计都设计了探究，差别在哪里？【讨论】 中小学数学学科的价值是什么？ 数学教师的作用？ 你要给学生留下些什么？ 中小学数学学科的价值是什么？互动【案例】 内角和180度 你是怎么想到要研究内角和？性质是怎么获得的？互动【案例】 内角和180度 你是怎么想到要研究内角和？ 【 案例】 相似多边形的性质（二）（北师大版八年级） 问题如何发现、提出、分析、解决？ 思考什么、怎么思考？ 【 案例】 在学校学习的数学知识工作后没有机会用，一两年后，很快

7、忘记了，然而，不管从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地地发生作用，使他们终生受益。 米山国藏 数学的精神、思想和方法 在学校学习的数学知识工作后没有机会用，一两年后 真正有价值的教育是使学生透彻理解一些普遍的原理，这些原理适用于各种不同的具体事例。在随后的实践中，这些成人将会忘记你教他们的那些特殊细节，但他们潜意识里的判断力会使他们想起如何将这些原理应用于具体的情况，直到你摆脱了教科书，烧掉了你的听课笔记，忘记了你为考试而背熟的细节，这时，你学到的知识才有价值。 【英】怀特海教育的目的 真正有价值的教育是使学生透彻理解一

8、些普遍的原理 许多世纪以来，数学是被看作训练“推理”能力的最佳学科，为什么在中小学有这么多数学课呢？无论过去还是现在，对于这个问题最普遍的回答是：“它教你思考”。 国际展望：九十年代的数学教育 许多世纪以来，数学是被看作训练“推理”能力的最佳学科，为什 数学核心素养数学思维让学生学习思考教师要教思考 数学核心素养数学思维让学生学习思考教师要教思教师需要具备什么？ 理解数学 理解教学 理解学生 理解技术 （章建跃）教师需要具备什么？ 理解数学课程性质认识数学是一门怎样的课课程目标数学课对学生发展的作用课程实施如何教数学课课程评价是否实现课程的目标 （义务阶段数学课程标准（2011年版） 中学教师

9、首先需要具备课程意识课程性质认识数学是一门怎样的课 中学教师首先需要具备课数学教育不仅是让学生获得适应社会生存所必需的数学知识和能力，而且要让他们具有数学的思维，并能应用数学的思维去分析和解决生活、工作和科学研究中的问题。 义务阶段数学课程标准（2011年版）数学教育不仅是让学生获得适应社会生存所必需的数学知识和能力， 【案例】 教学“自然数按能否被2整除分为偶数和奇数”时，让学生按从小到大的顺序列举偶数和奇数，并形成下列板书，然后引导探究偶数和奇数的特点。自然数 ：偶数与奇数 渗透数学思想发展数学思维课件【中考试题】某体育用品店为推销某一品牌运动服，先做了市场调查，得到数据如表：以x作为点的

10、横坐标，p作为纵坐标，把上表中的数据，在图中的直角坐标系中描出相应的点，观察连接各点所得的图形，判断p与x的函数关系，并求出p与x的函数式。【中考试题】某体育用品店为推销某一品牌运动服，先做了市场调查这道题仅通过表中的四组数据，无法判断p与x的函数关系的具体表达式，满足上述四组数据的函数表达式可能很多，因而根本不能求出其解。事实上，就题目提供统计信息看， p与x的关系是随机关系，是不确定数学的问题，而不是确定性数学中的函数关系。渗透数学思想发展数学思维课件【讨论】案例的启示？【讨论】 一只木桶的水容量，不是取决于那块桶帮最长的木板， 而是取决于那块最短的木板。一个人某方面素质的缺失，有时会影响

11、其他能力的发挥。一堂好课，不仅与执教老师先进的教育理念、巧妙的设计、高超的调控能力有关，根本上还取决于他的数学学科素养。 启示数学教师创造思考的环境，创造对知识的理解。教师的学科深度直接影响你的教学高度。数学课程内容的再创造、教学法的加工，必须先理解数学，数学学科素养是基石。 启示数学教师创造思考的环境，创造对知识的理解。 数学教师的数学学科素养扎实的数学专业基础； 全面把握数学学科知识； 准确把握教材的新特征，明确重点、难点与关键数学教师的数学学科素养扎实的数学专业基础；数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符合运算、形式推理、模型构建等理解和表达现

12、实世界中的事物本质、关系与规律。数学是思维的科学，数学教学是思维的教学数学是一门语言，它有自己一套独立的符合系统和严谨的表达方式-阅读、表达的工具。 数学学科 数学学科 数学教学中存在三种思维活动教师的思维活动学生的思维活动数学家的思维活动（教材）读懂教材 数学教学中存在三种思维活动 【案例】“实数”教材的阅读和教学思考问题1 章引言说了什么？为什么要学，学什么，怎么学。问题2 这一章的结构是怎样的？为什么这样安排？结构：算术平方根平方根立方根实数实数的运算编写意图：从具体到抽象，先让学生感受到“已知一个正数的平方求这个数”是可以进行的，但会出现与有理数不一样的数，建立引入新的符号表示这种新数

13、的心向，然后类比有理数及其运算引入实数及其运算。【案例】“实数”教材的阅读和教学思考问题1 章引言说了什么？引入算术平方根概念要做哪些事背景（现实问题、数学问题）：具体实例共同特征的归纳；定义：内涵、要素（算术平方根的意义）-符号表示、读法性质问题1：算术平方根的性质是什么？问题2；为什么要讲根号2？如何使学生认识它？形、数结合，利用已有的数，在与有理数的比较中认识新数。引入算术平方根概念要做哪些事背景（现实问题、数学问题）：平方根重复与拓展从数学内部提出问题（已知一个正数的平方已知一个数的平方）；具体实例共同特征的归纳；定义：内涵、要素（平方根的意义）符号表示、读法性质思考1：如何使学生在算

14、术平方根的基础上发现和提出问题？思考2：从哪些角度理解平方根概念？思考3：如何使学生发现平方根的性质？思考4：开平方运算与数系扩充的关系是什么？平方根重复与拓展从数学内部提出问题（已知一个正数的平方立方根重复与拓展思考1：如何使学生在学习平方根的基础上发现和提出问题？思考2：“立方根”的教学与“平方根”的教学可以有哪些不同？是否可以让学生自学 （章建跃，深化数学课程改革落实数学核心素养，2017-11，天津师范大学）立方根重复与拓展思考1：如何使学生在学习平方根的基础上发 【 案例】 相似多边形的性质（二）（北师大版八年级） 【 案例】【案例】 设 的值 【案例】 设 的值 数学思想是指对数学

15、知识的本质和数学规律的理性认识，是从某些数学内容和对数学认识过程中提炼上升的数学观点；数学方法则是从数学的角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径等；“数学思想方法”是指对数学内容的本质认识，是数学的指导思想和一般方法、手段和途径。数学思想是指对数学知识的本质和数学规律的理性认识，是从某些数【案例】 函数值域教师对教学内容所蕴含的数学思想方法的认识水平，决定了理解数学的高度，最终决定了你教学所达到的高度。【案例】 函数值域 弗赖登塔尔：没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来，一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变

16、成冰冷的美丽。 教材是“教学法的颠倒” 弗赖登塔尔：没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公【问题】为什么美国水平很低的基础教育却支撑奠定了水平很高的高等教育？为什么孔子的学生中没有出柏拉图？【问题】苏格拉底的启发式：产婆术 平等、开放的探讨问题式对话孔子的启发式 语录式的封闭式对话苏格拉底的启发式：产婆术【案例】 瑞典小学数学教育代表团的学术交流活动中瑞教师观点的差异观摩课教师出了一道题：“鸡兔共20头， 54 腿，鸡兔各多少个？” 【案例】 瑞典小学数学教育代表团的学术交流活动中瑞教师观点教师如何教学生学会思考？教师如何教学生学会思考？ 数学的题目是无法穷尽的，但是指导着思维方向的数学

17、思想方法，是可以逐一研究和掌握的，我们可以用有限去解决无限。 授人以鱼，更要授人以渔 数学的题目是无法穷尽的，但是指导着思维方向的数学思 该如何教学生思考？数学思想方法为学生提供了有关如何学习、如何思考的策略性知识。教师示之以思维之道，教给学生思维的方法，数学思想方法是切入点。 该如何教学生思考？ 数学教学中存在三种思维活动：教师的思维活动学生的思维活动数学家的思维活动（或隐或显存在于教材） 数学教学中存在三种思维活动： 选拔教师试题（王尚志）从你做过的题里挑出两个，用最简洁的语言概括其思路？解决的关键在哪里？这道题要考学生什么？能考出来吗？这道题出的好吗？分析这道题是怎么出出来的？为什么要出

18、这样的试题？ 选拔教师试题（王尚志） 数学知识数学思维活动的结果数学教学数学思维活动或再现数学思维活动数学思想方法的作用，主要体现在它为学生提供了有关如何学习、如何思考的策略性知识。数学思想方法是数学思维教学的抓手 数学知识数学思维活动的结果数学是思维的体操，我们需要基于思维的数学教学！ 怎样的教学才是基于思维的教学？当前教学主要问题： 以练代思 数学是思维的体操，我们需要基于思维的数学教学！ 数学教育不仅是让学生获得适应社会生存所必需的数学知识和能力，而且要让他们具有数学的思维，并能应用数学的思维去分析和解决生活、工作和科学研究中的问题。义务教育数学课标（2011版）对数学思维提出的教学要求

19、为：建立初步的数感和符号感，发展数学抽象思维和形象思维；经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。 新课标中关于数学思维的要求 数学教育不仅是让学生获得适应社会生存所必需的数学知识和能推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力； 演绎推理用于证明结论的正确性。 数学发现中最重要的方法是归纳和类比 推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。关于数学思维的认识脑对客观事物能动的、间接的和概括的思维是指理性认识，或指理性认识的过程，它是人反映，包括逻辑思维和形象思维，但通常是指逻

20、辑思维。思维的工具是语言；思维的形式是概念、判断、推理等；思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和综合等。关于数学思维的认识脑对客观事物能动的、间接的和概括的思维是指数学思维有两个方向（方面） 归纳、演绎在对某一数学领域或对象的探索认知过程中，从具体事例的实验、分析中归纳其本质，获得数学猜想、命题等；用逻辑推理、数理分析去研讨认知的本质，证明猜想，发现新的性质。数学思维有两个方向（方面）张景中数学家的眼光归纳与演绎的关系，是不是一定水火不容呢？张景中数学家的眼光例证法的基本原理等式 （x+1）(x-1)=x2-1(1)如何证明呢？展开。如果取 x=0,x=1,x=2，两边相等，就表明(1)是恒等式

21、，你同意吗？原因：如果（1）不是恒等式，就是一个次数不超过二次的方程，这种方程最多有两个根；现在竟然有了3个根，那它就不是二次方程一次方程了，所以，一定是恒等式。同理，要判断一个次数为3的等式是不是恒等式，只要取4个不同值代入验算，依次，n次等式用n+1个值代入。这是因为n次方程至多有n个根，如果居然有n+1个值都能使它两端相等，那么它一定是恒等式。例如x3+1=（x+1）(x2-x+1)是恒等式只要取x=0,1,2,3代入，成立，说明说恒等式叫多点例证法例证法的基本原理等式 （x+1）(x-1)=x2-1(1) 不完全归纳法即不完全归纳推理，是根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，而做出

22、该类事物都具有这一属性的一般性结论的归纳推理。不完全归纳的结论只是猜想例1 代数式 n2+n+41 n=1,2,3.例2 比较2n 与 n2+2(nN*)的大小 不完全归纳法直至n=39都是质数， n=40时， n2+n+41=412当n=1,2,3,4 2n 52+2 当n=6 ,26 62+2 猜想2n n2+2(n 5)例3 任取一个大于2的自然数，反复进行以下两种计算（1 ）若是奇数，该数乘以3再加上1，（2） 若是偶数，则将该数除以2 问结果？直至n=39都是质数， n=40时， n2+n+41=412 归纳法的推理模式 基本的推理模式 因果关系归纳推理的求同模式 因果关系归纳推理的

23、共变模式 归纳法的推理模式基本的推理模式S1具有（或不具有）性质PS2具有（或不具有）性质P.Sn具有（或不具有）性质P(S1,S2,Sn 是 A类事物的部分对象）所以A 类事物具有性质 P基本的推理模式 因果关系归纳推理的求同模式 a,b,cA a,d,e A a,f,g A aA（？） 因果关系归纳推理的求同模式【案例】 已知两个边长相等的正方形，其中一个某顶点重合于另一个正方形的中心o，绕o旋转，不论转到任何位置，两正方形重叠面积保持不变。正六边形亦如此。归纳猜测：两个边长相等的正多边形使其中一个顶点位于另一个中心，并旋转，重叠部分面积不变的根本原因是多边形的边数是偶数。猜想：边长相等的

24、两个正2n边形，让其中一个的一顶点位于另一个的中心，则不论怎样旋转其中的一个，两者的重叠面积不变。【案例】 已知两个边长相等的正方形，其中一个某顶点重合于另一因果关系归纳推理的共变模式 a1,b,cA1 a2,b,c A2 a3,b,c A3 aA（？）因果关系归纳推理的共变模式归纳注意：（1）中小学生所能做的所谓验证，往往只是举出有限实例，是一种不完全归纳。（2）注意用于归纳、“ 验证” 的实例要足够多和有足够代表性，（3）要向学生说明数学家已经对这个结论作出了科学的证明” ，让学生感受到数学探究讲求严谨性、科学性。 数学教材中一些隐含规律性的内容，都适合引导学生通过列举若干实例，归纳发现其

25、中的规律并引发猜想。归纳注意：完全数学归纳法归纳法也称归纳推理，是指由个别到一般的推理方法，即从两个或几个单称判断或特称判断（前提）得出一个新的全称判断（结论）的推理。完全数学归纳法是考察一类事物的全体对象，肯定它们都具有某一属性，从而作出这类事物都有这一属性的一般性结论的归纳推理方法。 穷举 ： 类分： 圆周角定理 完全数学归纳法数学推理方法必真推理 1 演绎法 从一般到特殊或个别的推理方法 三段论推理方法 2 完全归纳法似真推理 1 不完全归纳法 2 类比法渗透数学思想发展数学思维课件 演绎法： 从一般到特殊或个别的推理方法。只要前提可靠，用演绎法推得的结论完全可靠，它是一种严格的推理方法

26、。三段论推理方法所谓三段论推理，就是从某类事物的全称判断（大前提）和一个特称判断（小前提）得出一个新的、较小的全称或者特称判断（结论）的推理。 演绎法： 从一般到特殊或个别的推理方法。只要前提可靠，用“拟三段论”大前提提供一个一般化原理（定理、公式、公理、法则等），小前提提出一个适合一般性原理的特殊情形（具体问题），结论是特殊情形的结果（具体问题的结论） 例： 992-1=（99+1）（99-1） a2-b2=（a+b）（a-b）渗透数学思想发展数学思维课件 学生在数学活动中，其发现与数学家的发现就思维过程而言，并没有什么本质差别，因此，数学学科教学的任务是形成和发展那些具有数学思维(或数学家

27、思维)特点的智力活动结构，并且促进数学中的发现。 学生在数学活动中，其发现与数学家的发现就思维过程而言 学生数学思维的年龄特征7岁12岁小学生：数学思维的基本特征是由具体形象思维逐步过渡到抽象思维，但仍然具有很大成分的具体形象性。13岁15岁初中生：数学思维的基本特征是经验型的抽象思维逐步过渡到理论型的抽象思维，但仍然具有很大成分的经验性；16岁18岁高中生：已基本形成理论型的抽象思维。 学生数学思维的年龄特征7岁12岁小学生：数学思维的基本学生数学思维的年龄特征质变点：初二年级经验型抽象思维向理论型抽象思维发展成熟期 ：16-17岁（高一年级第二学期到高二年级第一学期）思维活动初步成熟，之后

28、思维可塑性小，年龄差异显著性减小，个体差异显著性越来越大。 中学生从具体运算占优势向形式运算占优势。具体运算向形式运算的第一个内容是“用字母表示数”接着是“列方程解应用题”。学生数学思维的年龄特征质变点：初二年级经验型抽象思维向理论型学生数学思维的年龄特征数学思维训练的问题：思维教学不得法；超出学生所能接受的水平，过早进行理论型思维训练；局限于少数的思维内容，重复进行经验型思维训练。【案例】 指数运算法则教学学生数学思维的年龄特征数学思维训练的问题：学生数学思维的年龄特征学生数学思维年龄特征的教学启示（1） 数学思维教学应当依据学生的认知水平确定相应的教学内容与教学目标。【案例】 鸡兔同笼问题

29、“遗传和生理成熟是思维发生、发展的生物前提；实践活动是思维发展的源泉。”（朱智贤、林崇德）学生数学思维的年龄特征学生数学思维年龄特征的教学启示【案例】案例1 三角形内角和案例2 韦达定理【案例】算法优化从心理学维度看，多数学生喜欢的方法；从教育学维度看，教师易教、学生易学的方法；从学科维度看，对后续知识的掌握有价值的方法。 算法优化一一对应思想: 对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。另外在小学数学知识中存在着许多对应关系。 一一对应思想: 对

30、应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是学生数学思维的年龄特征（2）钻研教材，排出每章节思维训练点 例如，在七年级第一学期(即初一上) 一元一次方程、二元一次方程组等内容，排出了“归纳法”“类比法”“演绎法”等思维训练点。演绎法、 归纳法、分析法、综合法、比较法 类比法、分类法等思维方法分散在每 节课。学生数学思维的年龄特征（2）钻研教材，排出每章节思维训练点学生数学思维的年龄特征（3）了解学生练习，找出学生的思维障碍 【案例】学生习作 学生数学思维的年龄特征（3）了解学生练习，找出学生的思维障碍学生数学思维的年龄特征（4）将思维过程物化学生数学思维的年龄特征（4）将思维过程物化学生数学思维

31、的年龄特征（5）按照学生各年龄段数学思维发展的特征安排思维训练学生数学思维的年龄特征（5）按照学生各年龄段数学思维发展的特学生数学思维的年龄特征（6）了解不同学生思维的差异与价值。 【案例】 在正方形内部有2 000个点，连同正方形的4个顶点共有2004个点。在这2004个点中，任意三点都不在同一直线上。现在要把该正方形纸片全部剪成三角形，这个三角形的每个顶点，都在这2004个点中取，并且这2004个点都是这种三角形的顶点，试问： 一共可以剪出多少个三角形？ 如剪成这些三角形需要要剪多少刀？（沿一条线剪开算一刀）学生数学思维的年龄特征（6）了解不同学生思维的差异与价值。【题目】（1）【题目】数

32、学思想是指对数学知识的本质和数学规律的理性认识，是从某些数学内容和对数学认识过程中提炼上升的数学观点。数学方法则是从数学的角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径等数学思想是指对数学知识的本质和数学规律的理性认识，是从某些数学生数学思维的年龄特征思维风格不是能力，而是个体运用能力的偏好。个体的数学思维的爱好、路线和策略等个体特征，构成了个体的数学思维风格。（斯滕伯格）教师认识学生的思维特点，了解思维的优势和不足，使学生形成自己思维风格，也兼顾其他思维方式。数学思维训练不应过分追求统一性学生数学思维的年龄特征思维风格不是能力，而是个体运用能力的偏数学思维教学1 创设良好的思维情

33、境，激发思维动机 积极思维的前提是良好的思维环境，情境创设的实质是激发思维。 如何创设？如何激发？ 解题思维情境 概念、公式思维情境 数学思维教学1 创设良好的思维情境，激发思维动机概念、公式思维情境教师作用：如何抽象数学对象、如何发现和提出数学问题？概念、公式思维情境教师作用：如何抽象数学对象、如何发现和提出【案例】数学思维发生过程的合理性在直角三角形ABC中，C=90，a2+b2=c2，联想到一般情形:若C90，结论呢?由此展开探究得到余弦定理；若n3， an+bn与cn 有什么关系？【案例】 【国际PISA测试】 PISA即“国际学生评价项目”，它是由经济合作组织(OECD)组织的一项大

34、型国际学生学习质量比较研究项目。PISA主要评估接近义务教育末期(15周岁)的学生，应用所学知识和技能，完成他们在今后生活中需要完成的任务和在社会中行使职责，以及持续学习能力的情况。 评价分为：阅读能力、数学能力及科学能力。 【PISA试题】 数学思维教学【案例】 教师展示一条香烟（一般内装十盒），再打开外包装看内部的摆放形式，然后给学生留出下列问题：如果让你来包装十盒香烟，你能想出几种包装形式？你能画出包装方案的示意图吗？如果烟盒的外形尺a=88mm，b=58mm，c=22mm，哪一种包装形式更能节省外包装材料？你能用数学语言描述这个问题吗？实际中所采用的包装形式与你的研究结果一致吗？如果不

35、一致，你能做出解释吗？你能再编一个类似的题目吗？数学思维教学【案例】 教师展示一条香烟（一般内装十盒），数学思维教学教师反思性思维“我为什么这样设计思维训练？”“我的教学实践是否体现了我的设计？”“我是否达到了设想的思维训练目的？”“我在训练中遇到了那些意想不到的问题？”“我是怎样处理这些问题的？”“是否有更好的处理方法？”数学思维教学教师反思性思维数学思维教学【问题】 思维情境提出的数学认知任务，怎样的任务是适宜的？【案例】 等腰三角形性质数学思维教学【问题】数学思维教学高水平数学认知任务 美国研究者把数学教学任务按其对学生认知的需求程度划分为高水平任务和低水平任务。高水平任务又细分为“做数

36、学”和有联系的程序型，低水平任务分为无联系的程序型和记忆型。数学思维教学数学思维教学高水平数学认知任务教学的“滑过”现象认知过程设计太详尽、顺畅，问题坡度太小而使学生产生思维惰性，致使一些探索价值的素材“一滑而过”；认知问题设计得坡度太大，超出学生“最近发展区”，造成事实上的“滑过”现象；设计了合适的认知性问题，但教学进程太快，制约了思维的有效和深入。数学思维教学高水平数学认知任务教学的“滑过”现象数学思维教学2. 以探究式教学培养学生思维的独立性 思考-多层次、多角度 数学探究理念、策略、方法、组织形式以问题为载体，创设探索和研究的情景，让学生收集、分析和处理相关信息，猜测、论证和改进所得结

37、论，实际感受和亲身体验数学知识的产生过程。数学思维教学2. 以探究式教学培养学生思维的独立性学生探究的现状探究精神匮乏探究能力低下探究策略、方法生疏学生探究的现状 【问题】如何探究式的教？ 探究示范学生掌握探究的策略、方法 探究式教学专题 【案例】 点到直线的距离公式语言是思维的工具，除教师运用操作演示等一些无语启发外，借助启发性提示语对学生的探究进行引导，使学生形成发现、提出问题和解决问题的学习心向，以引发积极、有效的思维活动。前面我们研究问题的基本思路是先特殊后一般，你觉得今天我们应该研究什么？学习完一些知识后，我们要有一个习惯就是能不能把这些知识横向联系起来。你打算如何研究？你是如何考虑

38、的？为什么这样思考？思维受阻的原因何在？ 等等均属于元认知提示语的范畴。前面我们研究问题的基本思路是先特殊后一般，你觉得今天我们应该数学思维教学 3 提高例、习题教学的思维含量，以变式训练培养思维能力【案例】“用字母表示数”春光明媚的3月，让我们走进智慧园播种，图是一份3月的日历，观察画出的竖列上相邻的三个日期数，试填空：数学思维教学数学思维教学数学思维教学数学思维教学观察画出竖列上相邻的三个日期数，试填空：（1）如果用a表示第一个数，那么其余两个数_、_；（2）如果用a表示中间一个数，那么其余两个数_ 、_；（3）如果某一竖列上相邻的三个日期对应三个数的和为60 ，那么这三天分别是多少？数学

39、思维教学观察画出竖列上相邻的三个日期数，试填空：数学思维教学例题、习题教学中提高思维含量的途径：1增加分类讨论2增设字母3设置逆向性3开放性的问题4数形转换、多角度思考5把确定性的证明题改为“是否存在”的探究性问题数学思维教学例题、习题教学中提高思维含量的途径：数学思维教学【案例】 任意四边形中点连接，得到中点四边形 方案1 求证中点四边形是平行四边形 方案2 观察我们得到的新图形中点四边形，你觉得它的形状有什么特点？可能是怎样的四边形？数学思维教学(2m+1)2-(2n+1)2=4(m-n)(m+n-1) (2) 请证明两个奇数的平方差是8的倍数(2m+1)2-(2n+1)2=4(m-n)(

40、m+n-1) 【思考】1.如何在数学教学内容中体现一些重要的数学思维形式及其特征性质？2.数学学科的思维训练有着怎样的自身学科的特点？3.数学思维训练如何融入日常的教学实践？4.如何把握数学思维训练与数学知识教学关系？ 【思考】教师专业生涯发展阶段 1. 职前教育期: 入职以前（学习课） 2. 入门见习期: 1-2年（汇报课） 3. 能力建构期: 2-7年（展能课） 4. 热情成长期: 3-10年（特长课） 5. 专业挫折期: 5-12年（反思课） 6. 稳定更新期: 8-20年（精品课） 7. 专业消退期: 15-25年（特色课） 8. 退休离岗期: 退休前5年（交流课）教师专业生涯发展阶段

41、 1. 职前教育期: 入职以0-2年-新手教师2-3年-熟练教师3-4年-胜任型教师（基本目标）5-部分教师成为业务精干型教师10-专家型教师0-2年-新手教师 教师的角色教学设计者教学组织者教学评价者教学研究者资源开发者促进者指导者知识传授者教师 教师的角色教学教学教学教学资源促进者指导者知识教师 中小学数学教师基本素养评价1 “职业道德”的评价标准2“学科知识”的评价标准3“教学能力” 的评价标准4“文化素养”的评价标准5“参与和共事能力” 的评价标准6“反省与计划性”的评价标准（钟启泉等，为了中华民族的复兴为了每个学生的发展-基础教育课程改革纲要（试行）解读【M】上海：华东师范大学出版2001:319） 中小学数学教师基本素养评价数学教师教学能力的内容1 数学课程内容准确的驾驭能力2 数学教学设计能力3 课程实施能力：包括课堂教学的各项基本能力，还包括教学监控、课堂管理等复合能力4 教学反思能力：批判地