mpa联考数学不定积分

1、第四章 不 定 积 分求原来那个函数的问题.已知某曲线的切线斜率为2x, 本章研究微分运算的逆运算已会求已知函数的导数和微分的运算.解决相反的问题,就是已知函数的导数或微分,例如某质点作直线运动,已知运动速度函数 求路程函数.求此曲线的方程.1.2.不定积分. indefinite integral1第一节 不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分公式不定积分的性质小结 思考题 作业 indefinite integral第四章 不定积分2一、原函数与不定积分的概念几何问题解例设曲线方程上任一点的切线斜率都等于切点处横坐标的两倍,求曲线的方程.设曲线方程为满足此条件的函数有无穷多个,

2、如等都是.一般,所求曲线方程为C为任意常数.不定积分的概念与性质3定义1例1. 原函数如果在区间I上,则称或原函数.一个或由知是原函数.也是的原函数,其中为任意常数.不定积分的概念与性质4一般,的原函数(C为任意常数).因一个函数如果有原函数,就有无穷多个.在区间I上的一个在区间I上的任一原函数都其中C为某一常数.则定理定理表明:的一整族函数形如是f(x)的全部原函数.原函数, 结 论 的形式,不定积分的概念与性质可表为5故证的另一个原函数,则又只要找到f (x)的一个原函数,就知道它的全部原函数.在区间I上的一个原函数,则f(x)在区间I上的任一原函数都可表为其中C为某一常数.定理的形式,要

3、证常数因为不定积分的概念与性质导数恒为零的函数必为常数某个常数6积分变量积分常数被积函数定义2被积表达式2. 不定积分不定积分.(1) 定义全部原函数的一般表达式称为函数f (x)的 总和(summa)记为不定积分的概念与性质积分号71. 被积函数是原函数的导数,被积表达式是原函数的微分.2. 不定积分表示那些导数等于被积函数的所或说其微分等于被积表达式的所有函数.有函数.因此绝不能漏写积分常数C.3. 求已知函数的原函数或不定积分的运算称 为积分运算,它是微分运算的逆运算.不定积分的概念与性质8例 求解解例 ?不定积分的概念与性质9(2)不定积分的几何意义积分曲线称为的积分曲线.的图形向平行

4、于y 轴的方向任意上下移动,得出的无穷多条曲线,称为的图形是平面的一条曲线,是将曲线族.不定积分的概念与性质10 由于不论常数C 取何值,同一x处其导数等于f(x),各切线相互平行.有积分曲线族即x不定积分的概念与性质11不定积分的概念与性质解故所求曲线方程为(3) 积分常数的确定求通过点 且其切线斜率为2x曲线.例 在求原函数的实际问题中,有时要从全部原函数中确定出所需要的具有某特性的一个原函数,这时应根据这个特性确定常数C的值,从而找出需要的原函数.的曲线族为有12解例所以不定积分的概念与性质13（原函数存在定理）连续函数一定有原函数.则它必有原函数.(4) 原函数存在问题定理2哪些函数有

5、原函数?又如何求其原函数?不定积分的概念与性质原函数是否必为连续函数?14 由不定积分的定义 结论微分运算与求不定积分的运算是如(1)或或互逆的.二、不定积分的性质不定积分的概念与性质15证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）(2)(2)，(3)称为线性性质. 思考: k = 0,等式是否成立?(3)不定积分的概念与性质16实例启示能否根据求导公式得出积分公式结论 要判断一个不定积分公式是否正确,只要将右端的函数求导,看是否等于被积函数.求导公式?积分公式.?三、基本积分公式不定积分的概念与性质积分运算和微分运算是互逆的，17基本积分公式 (k是常数)说明：简写为不定积分的概念与

6、性质18不定积分的概念与性质19熟 记不定积分的概念与性质20例 求积分解出一些简单函数的不定积分,称为利用不定积分的性质和基本积分公式,可求由公式直接积分法.不定积分的概念与性质21例 求积分解不定积分的概念与性质22例 求积分解不定积分的概念与性质23例 求积分解 称为分项积分法.分项积分法 利用线性性质计算积分,上两例是将被积函数作恒等变形,不定积分的概念与性质24例 求积分解不定积分的概念与性质 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能使用基本积分表.25解例 不定积分的概念与性质26解所求曲线方程为不定积分的概念与性质已知一曲线 y = f (x)在点( x, f (x)处的切线

7、例斜率为且此曲线与y轴的交点为(0,5),求此曲线的方程.27练习不定积分的概念与性质28练习不定积分的概念与性质29熟记基本积分公式不定积分的性质 原函数的概念不定积分的概念求微分与求积分的互逆关系四、小结不定积分的概念与性质不定积分的几何意义30应先将绝对值符号化掉,即将| x |化作分段函数:不定积分的概念与性质思考题解31因此在x = 0处必连续,由于原函数可导,所以原函数必定连续,于是有不定积分的概念与性质32例 求解法一换元积分法33法二换元积分法34例 解原式=换元积分法35例 求解换元积分法隐 凑36例 求原式解换元积分法37例 解原式=2. 某些三角函数换元积分法38例 求解

8、（使用了三角函数恒等变形）分步凑法一换元积分法39类似可推出法二换元积分法40例 求解换元积分法41例 求解凑微分;用倍角公式降幂,再积分. 注换元积分法42例 求解 不同角度的正弦、余弦之积的积分常用积化和差公式来化简.注换元积分法43例 求解换元积分法44例 求解换元积分法45解令对此类题,一般可用下列各种解法法一思考题1换元积分法46法二令则换元积分法它是函数此方法中应注意的涵义,47求解 思考题2换元积分法原式=48作业习题4-2 (204页) 2. 双数至 (32)换元积分法49二、第二换元积分法有根式解决方法 消去根式,困难即则 回代换元积分法50对积分作变换有公式第二类换元公式第

9、二换元积分法不易计算时,可作适当变换 化为不定积分积分后再将若积分 计算,代入.换元积分法51例 求解令辅助三角形 回代换元积分法52例 求解令 回代辅助三角形换元积分法53通过变换利用相应的三角变换,相仿地,可算出还可得到重要公式换元积分法54注以上几例所使用的均为三角代换的目的当被积函数中含有令令令双曲代换 回代时,一定要借助辅助三角形.三角代换.是化掉根式.一般规律:双曲函数的恒等式 换元积分法55例 （三角代换很繁琐）令解 回代换元积分法56三角代换(或双曲代换)注需根据被积函数的情况来定.积分中为了化掉根式是否一定采用并不是绝对的,换元积分法57例 求解令法一原式= 回代换元积分法5

10、8法二原式=回代换元积分法59例 求解令回代换元积分法60例 令解法一回代换元积分法倒代换注可用来消去分母中的变量.一些情况下(如被积函数是分式,分母的方幂较高时),61法二回代还有别的方法吗？换元积分法62法三换元积分法63如:倒代换对如下形式都适用.换元积分法64例 求解令（分母的阶较高）换元积分法65回代换元积分法66为各根指数的最小公倍数） 注当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中换元积分法67例令解换元积分法68基本积分表(2)换元积分法69希自己添加!换元积分法70练习解换元积分法71 下列各题求积方法有何不同?思考题换元积分法72两类换元积分法凑微分三角代换、倒代换

11、、根式代换熟记基本积分表(2)三、小结换元积分法第一换元积分法:第二换元积分法:73解换元积分法思考题求积分74第三节 分部积分法分部积分公式例 题小结 思考题 作业integration by parts第四章 不定积分75解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式?特点被积函数是两个不同函数的乘积具有连续导数.两边积分一、分部积分公式分部积分法76 恰当选取u和dv是一个关键,v要易求;分部积分公式选取u和dv的一般原则是:(1)(2)易求.分部积分法77例 求解显然,法一法二二、例 题选择不当, 积分更难进行.分部积分法78例 求解（再次使用分部积分法）分部积分法79分部积分法80

12、例 求解?分部积分法81例 求解 化简型分部积分法82注利用可把的积分化为分部积分法83分部积分法例 求解注意循环形式uudvuudv 应用分部积分法时,可不明显地写出如何选取u、dv,而直接套用公式.(对较简单的情况)84注意前后几次所选的 应为同类型函数.分部积分法85例 求解udv 循环型 分部积分法86 使用分部积分法的关键是正确地选取 (因为“幂三指”好积, 分部积分法把被积函数视为两个函数的乘积,按“反对幂三指”的顺序,前者为 后者为常用的方法:自己简单.)小结 “反对”的导数比它87有时在用分部积分之前, 须先变形.例 求解分部积分法88分部积分法2002年考研数学三, 6分解令则有于是练习在积分过程中常常兼用各种积分法.89曾用换元积分做过, 现可用分部积分做!例u分部积分法90dvu 利用分部积分法可以得到一些递推公式:例 试证递推公式 证由分部积分法得分部积分法91由此推出分