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文档简介
1、 新学期 新气象！1第四节 定积分在几何计算中的应用一、平面图形的面积三、特殊图形的体积二、平面曲线的弧长重点：求面积、弧长、体积 难点: 极坐标四、求旋转曲面的面积五、曲 率2一、平面图形的面积（一）直角坐标系情形（三）极坐标系情形（二）参数情形 3(一) 直角坐标系情形一、平面图形的面积45解两曲线的交点选 为积分变量例 16解两曲线的交点例 2所求面积问题：积分变量可以选 y 吗？7解两曲线的交点选 为积分变量练习选 为积分变量8解例 3910（二）参数情形 11解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积例 412（三）极坐标系情形1314解(1)由对称性知总面积=4倍第一
2、象限部分面积例 5 (1)(2)(3)15解(2)利用对称性知例 5 (1)(2)(3)16例 5 (1)(2)(3)解(3)17例 5 (4)解(4)18练习19解答两边同时对 求导xyo20积分得所以所求曲线为21（一）平面曲线弧长的概念yxP0P1P2P3P4PiPi-1PnPn-1图7.4.11二、平面曲线的弧长22（二）不同坐标情形的表示2、参数方程情形3、极坐标情形1、直角坐标情形弧长23解所求弧长为例 624例 725解练习26星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长例 8(1)(3)解(1)(2)27解(2)例 8(1)(3)(2)28解(3)例 8(1)(3)(2)29
3、0 xy例 8(4)解(4)30例 9解31 作 业P329: 1(双), 2, 3(双),4.32三、 体 积（二）旋转体的体积（一）平行截面面积为已 知的立体的体积33（一）平行截面面积为已知的立体的体积3435例 10解36 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴圆柱圆锥圆台（二）旋转体的体积3738解(2)例 11 (1)(2)解(1)0 xya39四、求旋转曲面的面积40解(2)例 12 (1)(2)解(1)0 xya41五、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。)弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1.曲率的定
4、义)42)（设曲线C是光滑的，（定义曲线C在点M处的曲率43结论:(1) 直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.)DaM特殊情况：442.曲率的计算公式453、曲率圆定义461.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.注意:2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).47例 13解48例 14解491.求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.2.求交点以定积分限, 选择适当的积分变量有助于简化积分运算.六、小结（2）旋转体的体积（1）平行截面面积为已知的立体的体积绕 轴旋转一周绕 轴
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