高数第三章不定积分课件

1、第三章一元函数积分学.第三章.3.1 不定积分.3.1 不定积分.例定义：一、原函数与不定积分的概念.例定义：一、原函数与不定积分的概念.原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1) 原函数是否唯一？例（ 为任意常数）(2) 若不唯一它们之间有什么联系？.原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1) 关于原函数的说明：（1）若 ，则对于任意常数 ，（2）若 和 都是 的原函数，则（ 为任意常数）证（ 为任意常数）.关于原函数的说明：（1）若 任意常数积分号被积函数不定积分的定义：被积表达式积分变量.任意常数积分号被积函数不定积分的定义：被积表达式积分变量.例1 求解

2、解例2 求.例1 求解解例2 求.例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为.例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知结论实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.二、 基本积分表.实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分基本积分表是常

3、数);说明：.基本积分表是常数);说明：.例4 求积分解根据积分公式（2）.例4 求积分解根据积分公式（2）.证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、 不定积分的性质.证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、 不例5 求积分解.例5 求积分解.例6 求积分解.例6 求积分解.例7 求积分解.例7 求积分解.例8 求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.例8 求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变解所求曲线方程为.解所求曲线方程为.基本积分表(1)不定积分的性质 原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系四

4、、 小结.基本积分表(1)不定积分的性质 原函数的概念：不定积分的概念练习题.练习题.练习题答案.练习题答案.3.2不定积分的计算一、第一类换元法二、第二类换元法三、 分部积分法.3.2不定积分的计算.问题？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法.问题？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理.在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理.实际计算时直接写做：定理1.实际计算时直接写做：定理1.例1 求解（一）解（二）解（三）.例1 求解（一）解（二）解（三）.例2 求解.例2 求解.例3 求解.例3 求解.

5、例4 求解.例4 求解.例5 求解.例5 求解.例6 求解.例6 求解.例7 求解.例7 求解.例8 求解.例8 求解.例9 求原式.例9 求原式.例10 求解.例10 求解.例11 求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例11 求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑例12 求解.例12 求解.例13 求解（一）（使用了三角函数恒等变形）.例13 求解（一）（使用了三角函数恒等变形）.解（二）类似地可推出.解（二）类似地可推出.解例14 设 求 .令.解例14 设 例15 求解.例15 求解.例16:求同理可得:.例16:求同理可得:.问题解决方法改变中间变量的设

6、置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法.问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即证设 为 的原函数,令则则有换元公式定理2.证设 为 第二类积分换元公式.第二类积分换元公式.例16 求解令.例16 求解令.例17 求解令.例17 求解令.例18 求解令.例18 求解令.说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令.说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(3)例19 求（三角代换很繁琐）

7、令解. 积分中为了化掉根式是否一定采用三例20 求解令.例20 求解令.说明(4)当分母的阶较高时, 可采用倒代换例21 求令解.说明(4)当分母的阶较高时, 可采用倒代换例21 求令解例22 求解令（分母的阶较高）.例22 求解令（分母的阶较高）.说明(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例23 求解令.说明(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式 .基本积分表.基本积分表.三、小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2).三、小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、思考题求积分.思考题求

8、积分.思考题解答.思考题解答.练 习 题.练 习 题.练习题答案.练习题答案.3.2.2分部积分法.3.2.2分部积分法.问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式一、基本内容.问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式一、基本例1 求积分解（一）令显然， 选择不当，积分更难进行.解（二）令.例1 求积分解（一）令显然， 选择不当，积例2 求积分解（再次使用分部积分法）总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数).例2 求积分解（再次使用分部积分法）总结 例3 求积分解令.例3 求积分解令.例4 求积分解总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .例4 求积分解总结 若被积函数是例