电动力学教程时变电磁场

1、第四章 时变电磁场 4.1 波动方程 在时变得情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，其能量以波的形式向前传播，电磁波的传播规律服从波动方程。由麦氏方程可以推导出电磁场的波动方程。下面建立无源空间 的波动方程。取限定形式的麦氏方程:(1)式两边取旋度代入(2)式再利用矢量恒等式和 (3)式 可得到同样地，(2)式两边取旋度后可得无源空间电磁场的波动方程 波动方程的解是空间中沿某一特定方向的电磁波。所有电磁波的传播问题就归结为在给定边界条件和初值条件下求波动方程的解。在有源空间 ，电磁场的波动方程表示为：证明：和无源空间的波动方程的证明类似，差别在于算子对源变量、J作用时不为0，要保留。

2、(作业) 4.2 时变场中的位函数1. 动态矢量位和标量矢量位代入麦氏方程 ，有 也随时间变化称为动态标量位。故可令对于磁感应强度： 随时间变化为动态矢量位(5)(6)2. 达朗贝方程到A和满足的微分方程引入洛伦茨规范将(5)和(6)式分别代入麦克斯韦方程组得得到-达朗贝方程4.3 Poynting矢量和Poynting定理1. Poynting矢量的定义电磁场中电能密度和磁能密度时变场中的能量密度由于场随时间变化，故空间各点的电磁能量密度也随时间变化，从而引起能量的流动。为了描述能量的流动情况，引入一个新的矢量-能流密度矢量，即Poynting矢量(符号S)。其大小定义为：单位时间流过与能量

3、流动方向垂直的单位面积的能量。故又称为功率密度矢量。其方向规定为： 能量的流动方向 (=波的传播方向)。2. Poynting定理-电磁能量守恒定律 利用麦氏方程组可以导出Poynting矢量和Poynting定理的表达式。上两式相减若介质是线性、均匀且各向同性的，则介质参数(、)均为常数，那么上式右边各项：因此上式改写为：利用矢量恒等式上式写为：两端体积分，并利用散度定理式中右边第一项就是焦耳定理的积分式，代表体积的介质中所消耗的功率，即单位时间体积中消耗的电磁能量；第二项中的积分是体积中的电磁能量，因此该项代表单位时间体积中增加的电磁能量。故等式右边实际上代表单位时间内，经边界流入体积的总

4、的电磁能量，即流入功率 另一方面，根据Poynting矢量的定义，单位时间流过任意曲面A的能量(i.e.功率)为A流入闭合曲面A的功率对比(a)、(b)两式，可得Poynting矢量S的表达式说明：该式给出的是Poynting矢量S的瞬时值表达式。 S、E、H三者彼此正交且构成右手螺旋关系。 将Poynting矢量的表达式代入(*)式，得到(为避免混淆，将面积S改写成A)称为Poynting定理，也就是电磁能量的守恒定律。定理的物理意义：流入体积V内的电磁功率等于体积V内电磁能量的增加率与体积V内损耗的电磁功率之和。例题： 已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度求：(1)磁场强度；(2)瞬

5、时坡印廷矢量；(3)平均坡印廷矢量。解: (1)(2)(3) 物理量的某种“流”显然是个和时间有关的概念。比如能量的流动(“能流”)、动量的流动(“动量流”)、电荷的流动(“电荷流”，即电流)、粒子的流动(“粒子流”)。流的概念反映了物理量的时空上的动态变化。物理量的“流”及“流密度” 流 物理场T中物理量T的流定义为单位时间内垂直流过面积dA上的T的值，或者单位时间内面元dA上物理量T的变化量， i.e. dT/dt。 流密度 为单位时间内垂直流过单位面积的T的值，或者单位时间内单位面积上物理量T的变化量， i.e. dT/dt/dA。 电荷分布场(标量场)中的电荷流（即电流）及电荷流密度（

6、即电流密度） （q是电荷量） 粒子流和粒子流密度动量场中的动量流和动量流密度 （p是动量）（N是粒子数） 4.4 时谐电磁场1. 时谐场的复数表示时谐场： 电磁场变量随时间正弦或余弦式地变化。 时变电磁场的任一坐标分量随时间作正弦变化时，其振幅和初相也都是空间坐标的函数。 以电场强度为例， 在直角坐标系中，实振幅初相利用复数来描述时谐电磁场场量，可使数学运算简化：复振幅场矢量的复数表示其中称为电场强度复矢量。它只是空间坐标的函数，与时间t无关。这样我们就把时间t和空间x、y、z的四维(x, y, z, t)矢量函数简化成了空间(x, y, z)的三维函数，即 时间因子若要得出瞬时值，只要将其复

7、振幅矢量乘以ejt并取实部，便得到其相应的瞬时值： 时谐场复数场矢量的时间导数：一阶导数二阶导数其它场变量的复数形式可 依照写出：例题： 已知场矢量的瞬时值 请写出其复数形式。解：2. 麦克斯韦方程的复数形式是分别对其实部和虚部进行的，并不改变其实部和虚部的性质，故在复数运算中，对复数的微分和积分运算其中L是实线性算子，如 等，因此麦氏方程故当t任意时， 类似地 复数形式的麦氏方程说明： 复数形式的麦氏方程中，所有场、源变量均为复数。所有场变量都仅仅是空间的函数(反映场的空间分布)，方程的解剩以时间因子ejt后再取实部就是真实的时谐场的解。复数形式的麦氏方程: 与含时的麦氏方程比较，其复数形式

8、实现了时空分离，因此使方程的求解更简单。对时谐平面波 -jk3. 亥姆霍兹方程在无源空间中，电磁波满足波动方程在时谐场的情况下，（I）式中（II）亥姆霍兹方程空间的函数，该方程就是复场矢量满足的波动方程，称为亥姆霍兹方程。与方程(I)比较，亥姆霍兹方程实现了时空分离，求解更容易。因此时谐场的传播问题就归结为亥姆霍兹方程的求解。亥姆霍兹方程的解乘以时间因子ejt后再取实部就是真实的时谐场的解，即方程(II)中的场矢量是复场矢量，仅仅是亥姆霍兹方程的每一个解代表电磁波在空间的一种可能的分布形式；每一种分布形式称为一种电磁波模式或波型。4. 平均能流密度矢量电磁场能流密度矢量S的瞬时值的表达式这里对于时谐场(实际上应取实部)在实际应用时，能流密度的时间平均值，即平均能流密度矢量（或平均Poynting矢量），更有意义。对时谐电磁场，当场矢量用