2008数学建模上交尔滨工程正文

1、PAGE PAGE 11数码相机定位模型的建立摘要本文通过对利于简化模型条件的假设，以及坚持求解相机内参优先的原则，对数码相机的定位问题建立了模型。在第一个模型以及第二个模型当中，本文通过对相机成像原理的分析，选择了较为常用的针孔线性模型来确定像平面上圆心坐标。进而用matlab进行坐标叠加均值法以及最小二乘法线性拟合具体计算圆心在像平面上坐标，并分析了算法的合理性。第三个模型中，应用第二个模型求出的相机内参矩阵，主要针对相机镜头而产生的畸变进行了算法稳定性以及精度的分析。第四个模型中，基于相机成像的物象对应关系，利用旋转矩阵以及位移矩阵对第二台照相机空间坐标进行了模型的建立以及提出计算方法。

2、在文章的末尾评价了本文针对数码相机定位算法的优缺点。关键字：内参标定 线性 针孔模型 叠加均值法 最小二乘法 1问题重述现今信息化社会中，数码相机因其机动性好、投资省、速度快、精度高等优点逐渐成为需要摄影功能行业的主要使用仪器，其中数码相机定位技术在交通监管等方面有较为广泛的应用。数码相机定位技术中最常用的为双目定位。对于双目定位，关键是系统标定即确定两部相机的相对位置。针对这一关键问题，有这样一种标定方法。在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。现已知画有固定大小圆的靶标以及一个位置固定的数码

3、相机摄得的像，建立数学模型确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，并对此方法的精度和稳定性进行讨论。最后建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。2分问题析 双目定位是数码相机定位最常用的定位方法，建模中画若干个圆作为靶标，通过精确的找到靶标的圆心的像在像平面上的对应点，来实现标定。此模型属于物理模型，需要对图像进行分析处理，读取图像中所包含的数字信息。通过对图像分析建立相机标定模型，从图像所包含的信息，进行合理的假设建立相应的关系，估计相机内参数及其映射关系，运用科学的计算，获取特征点在像平面上的像坐标。运用线性标定其标定，确定其参数，然后进行非线性的标定，使用畸变校正对其改进

4、，提高其精度及稳定。通过模型计算出相应的参数，建立两部相机相对位置的映射关系，确立两部相机的相对位置的数学模型。3.模型假设针对本次建模，建立如下假设： 1 世界坐标系上的点到像坐标系上的点的映射近似认为是线性的； 2 由于像边缘区分度明显，为了数据的存取，计算，分析，把图像转化为黑白模式； 3 像素的图形可以认为是矩形； 4 实物在相机前方才能成像；4符号说明尺度因子光轴与成像平面交点横坐标光轴与成像平面交点纵坐标轴像素长度与世界坐标物理长度比轴像素长度与世界坐标物理长度比世界坐标系到相机的坐标系的旋转矩阵世界坐标系到坐标系的位移矩阵像素坐标原点，畸变系数5.模型的建立与求解5.1 模型一:

5、线性映射参数模型线性参数模型是建立在线性针孔相机模型上的。模型通过一个矩阵世界坐标系中的映射到相机像平面坐标上，即：（11）其中为相机的内参系数矩阵，已知模型中世界坐标系与像平面关系如下图所示（其中世界坐标系以光学中心为原点建立的笛卡尔坐标系）：面，根据坐标转换关系知： ，为像距，考虑像素的几何尺寸为矩形，则令参数。通常确定相机内参矩阵的方法是找一组已知物点坐标和对应像点坐标。用最小二乘法拟合求出相机内参矩阵。5.2 模型二该模型根据实物在世界坐标系中的坐标经过线性映射后，得到了像坐标系中实物的信息图。由模型一可知，相机像平面点与实物坐标位置关系：（21）已知在实物平面上各个圆的半径为12，任

6、意取一个圆，设其在世界坐标系下的圆心的像的坐标为，任意实心圆内一个坐标。根据（21）的映射关系，实心圆内的坐标与像平面坐标的关系如下：（22）设根据圆半径约束，即，为实圆的半径；取大量实心圆点：，（23）将（2-3）代入（2-2）得：（2-3）即为实物坐标圆心在像平面的像的坐标；为了便于偏差分析，选定像平面轴坐标，对进行泰勒级数展开：（2-4）余数项：余数项即为偏差项；相机分辨率为，则；考虑正负分布对称的特性，像平面的坐标点进行叠加平均时，满足如下：(2-5)取余数项的前两项估计偏差：(2-6)通过分析，使用叠加平均求像坐标时，最大的偏差为0.1像素单位。下面使用截图软件以及matlab对本题

7、中像平面坐标进行求解。为减小软件计算量首先将原靶标上圆的像剪切下来，并记录截图长方形左上角点的像素坐标。记录如下表格。表一（单位：像素）ABCDEX272378598237542Y144150170462465在matlab中编写程序实现计算圆的像点X坐标与Y坐标的叠加平均值求解。程序编写细节详见附件。计算后五个圆的像点坐标记录如下表格。 表二（单位：像素）ABCDEX317.4935424.9423641.1522276.7731579.9824Y194.8948194.9960211.8994509.6657505.7329根据像坐标平面的坐标与靶标平面的坐标的映射关系，可以建立圆心坐标的

8、相应的关系方程组，使用mathematic求得各圆心的在世界坐标系中的相应的坐标位置，其中，；对采用最小二乘法的线性拟合，并对其优化处理；通过数据处理，得到参数如下：表三（单位：像素）1061.890951.234569.6202105.593最终求得靶标上圆心在像平面的坐标如下：表四（单位：像素）-252.126-144.67871.532-292.84710.362-1910.7-1910.6-1893.69-1595.93-1599.86157715771577157715775.3 模型三在模型二中，已知求出像平面上的像坐标，令计算机上图像的坐标，已知：（3-1）为光轴与成像面的交点坐

9、标，是相机内参数；由模型二可求得世界坐标系下的物点的圆心坐标，以及相机的内参矩阵，物点经映射到像坐标下的理论计算值，即：（3-2）物点到像平面点线性映射关系，模型的误差较大。对其进行非线性分析，只考虑镜头畸变产生的偏差，忽略其它的影响因素（如噪声的影响等），建立关系：（3-3）其中，为镜头畸变系数；模型稳定性讨论：经线性拟合可求得，的值。以，值来确定模型的正确性以及方法的稳定性。（3-4）若取大量数据变化，变化，则可求解，。（3-4）设和坐标不同，若与变化幅度大，则认为该模型方法为非稳定的。若和变化幅度较小，一般认为，则可以认为该方法具有较好的稳定性。5.4模型四建立世界坐标系，以一台相机的光

10、学中心为原点，以该相机的像平面平行于光心为原点的平面。相机与靶标的位置如下图：相机1相机1相机2靶标空间任意以坐标点经相机1映射到其像平面上的坐标为，（4-1）坐标空间到相机像平面的旋转矩阵，位移矩阵，为相机内参数；空间点经相机2映射在其像平面的坐标为，（4-2）由于相机2的像平面与空间原点的相对位置未知，设：，为单位正交矩阵；任意取靶标的三个圆的圆心的坐标点，由模型二，可知三点有三组约束条件方程，根据相机映射关系有;(4-3)求解出靶坐标三个图标位置空间坐标，靶坐标经照相机2映射可得方程该方程组可得六个方程，又由于矩阵为正交单位阵渴求出矩阵具体数据，以及，。，实际表示为两相机像平面的位移以及

11、面相对位置。6.模型优缺点该模型能够清晰准确的描述物点坐标与像平面像坐标之间的线性映射关系，在已知物点坐标情况下，能够方便计算出像平面像坐标。模型二求解过程中像素座标圆心精确度较低，方程求解难度大，可行性较低。模型采用线性模型，没有考虑到非线性映射所带来的误差，误差相对较大。参考文献：1 唐阳山等，交通事故摄影测量中相机标定的扩展两步法，交通运输工程学报，2007年2月2 舒远等，利用空间正交约束的相机自标定和三维重建，西安交通大学学报，2005年2月3 王沫然，MATLAB与科学计算，北京：电子工业出版社，2003。4 徐安农，Mathematica数学实验，北京：电子工业出版社，2004。

12、5 石辛民，郝整清，基于MATLAB的实用数值计算，北京：清华大学出版社，20066 金刚等，双相机结构光系统中两相机定标与映射计算，华中科技大学学报，2002年10月7 吕志伟，利用CCD数码相机进行高精度定位的方法，测绘学院学报，2005年12月8李瑞峰等，机器人双目系统的标定与定位算法，哈尔滨工业大学学报，2007年11月附录:1.mathematica方程求解x1=(317.4935*k1-c)*z1;x2=(424.9423*k1-c)*z2;x3=(641.1522*k1-c)*z3;x4=(276.7731*k1-c)*z4;x5=(579.9824*k1-c)*z5;y1=(1

13、84.8948*k1-c1)*z1;y2=(194.996*k1-c1)*z2;y3=(211.8994*k1-c1)*z3;y4=(509.6657*k1-c1)*z4;y5=(505.7329*k1-c1)*z5;b1=x1-x2-0.3*(x1-x3);b2=y1-y2-0.3*(y1-y3);b3=z1-z2-0.3*(z1-z3);a1=x1+x4-x3-x5;a2=y1+y4-y3-y5;a3=z1+z4-z3-z5;a4=(x1-x5)2+(y1-y5)2+(z1-z5)2;a5=(x1-x3)2+(y1-y3)2+(z1-z3)2;NSolveb10,b20,b30,a10,a20,a30,a40.01,a50.01,a50.01,c1,c,k1,z1,z2,z3,z4,z52.matlab求图中圆心像坐标（路径以及参数不同截图需替换）a=imre