空间点线面之间的位置关系教案

1、-. z.空间点、直线、平面之间的位置关系考情分析1本讲以考察点、线、面的位置关系为主，同时考察逻辑推理能力与空间想象能力2有时考察应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题根底知识1平面的根本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，则它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2：

2、经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)*围： .3直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行6等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补考前须知1异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线(2)

3、反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面2. (1)公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断直线共面的方法(3)公理3的作用：判定两平面相交；作两平面相交的交线；证明多点共线题型一平面的根本性质【例1】正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，则，正方体的过P、Q、R的截面图形是()A三角形 B四边形 C五边形 D六边形解析如下图，作RGPQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的局部外

4、形同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.截面为六边形PQFGRE.答案D【变式1】 以下如下图是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_解析在图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面可证中四边形PQRS为梯形；中可证四边形PQRS为平行四边形；中如下图取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形答案题型二异面直线【例2】4异面直线a，b分别在平面，内，且c，则直线c一定()A与a，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行解析：假设c与

5、a、b都不相交，则c与a、b都平行根据公理4，则ab.与a、b异面矛盾答案：C【训练2】 在以下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析如题干图(1)中，直线GHMN；图(2)中， G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H面GMN，GH与MN异面所以图(2)、(4)中GH与MN异面答案(2)(4)题型三异面直线所成的角【例3】如图，矩形ABCD中，AB2，BC4，将ABD沿对角线BD折起到ABD的位置，使点A

6、在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线AB与CD所成角的大小为_解析：如题图所示，由AO平面ABCD，可得平面ABC平面ABCD，又由DCBC可得DC平面ABC，DCAB，即得异面直线AB与CD所成角的大小为90.【变式3】 A是BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)假设ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是BCD平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)解如图，取CD的中点G，连接E

7、G、FG，则EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为45.题型四点共线、点共面、线共点的证明【例4】正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E、F分别是AB、AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平

8、面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE、D1F、DA三线共点【变式4】 如下图，空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点证明E、H分别为边AB、AD的中点，EH綉BD，而，且FGBD.四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.P直线EF，EF平面ABC，P平面ABC.同理，P平面ADC.P在平面ABC和平面ADC的交线AC上，故EF、GH、AC三直线交于一点【例5】l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则以下命题正确的选项是Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，

9、l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解析在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错答案B稳固提高1设A、B、C、D是空间四个不同的点，在以下命题中，不正确的选项是()A假设AC与BD共面，则AD与BC共面B假设AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C假设ABAC，DBDC，则ADBCD假设ABAC，DBDC，则ADBC解析：A中，假设AC与BD

10、共面，则A、B、C、D四点共面，则AD与BC共面；B中，假设AC与BD是异面直线，则A、B、C、D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，假设ABAC，DBDC，AD不一定等于BC；D中，假设ABAC，DBDC，可以证明ADBC.答案：C2a、b、c、d是空间四条直线，如果ac，bc，ad，bd，则()Aab且cdBa、b、c、d中任意两条可能都不平行Cab或cdDa、b、c、d中至多有一对直线互相平行解析：假设a与b不平行，则存在平面，使得a且b，由ac，bc，知c，同理d，所以cd.假设ab，则c与d可能平行，也可能不平行结合各选项知选C.答案：C3对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得()Aa，b Ba，bCa，b Da，b解析：不相交的直线a，b的位置有两种：平行或异面当a，b异面时，不存在平面满足A、C；又只有当ab时，D才可能成立答案：B4空间中有三条线段AB、BC和CD，且ABCBCD，则直线AB与CD的位置关系是()AABCDB AB与CD异面CAB与CD相交DABCD或AB与CD异面或AB与CD相交解：假设三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；假设不共面，则直线AB与CD是异面直线，应选D.答案：D5a，b，c是