北京专用2022年版高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第四节基本不等式及其应用课件

1、第四节基本不等式及其应用学习要求:1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.必备知识整合1.基本不等式(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时等号成立.(3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a2+b22ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(2)ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(3)(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(4)+2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时

2、,x+y有最小值,是2.(简记:积定和最小)(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值,是.(简记:和定积最大)知识拓展利用基本不等式求最值的两个常用结论(1)已知实数a,b,x,y0,若ax+by=1,则有+=(ax+by)=a+b+a+b+2=(+)2.(2)已知实数a,b,x,y0,若+=1,则有x+y=(x+y)=a+b+a+b+2 =(+)2.【微点提醒】1.应用基本不等式求最值要注意:“一正,二定,三相等”,忽略某个条件,就会出错.2.在利用基本不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.1.判断正误(正

3、确的打“”,错误的打“”).(1)两个不等式a2+b22ab与成立的条件是相同的.()(2)函数f(x)=sin x+的最小值为4.()(3)x0且y0是+2的充要条件.()2.(新教材人A必修第一册P48T1改编)已知x2,则x+的最小值是()A.2B.4C.2D.6D3.(新教材人A必修第一册P45例1改编)若xx0,且+m恒成立,求m的最小值.解析易错原因: 忽略使用基本不等式的前提条件.由题意知,当4yx0时,m恒成立.=+=2(当且仅当x=2y时等号成立),m2,故m的最小值为2.关键能力突破考点一利用基本不等式证明典例1(2019课标全国,23,10分)已知a,b,c为正数,且满足

4、abc=1.证明:(1)+a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.证明(1)因为a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,abc=1,所以有a2+b2+c2ab+bc+ca=+,当且仅当a=b=c时,等号成立.所以+a2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,所以有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)33=3(a+b)(b+c)(a+c)3222=24,当且仅当a=b=c时,等号成立.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.名师点评利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不等式的形式.若符合基本不等式的条件,则直接利

5、用基本不等式或最值定理证明.若不符合基本不等式的条件,则对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之达到使用基本不等式的条件.已知a0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+(a+b)=2+,当且仅当a=b时,等号成立,所以(a+b)38,因此a+b2.考点二利用基本不等式求最值角度1利用配凑法求最值典例2已知0 x0,b0,+=1,所以a+b

6、=(a+b)=10+10+2=16(当且仅当a=4,b=12时取等号).由题意,得16-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,即x2-4x-2-m对任意实数x恒成立,因为x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值为-6,所以-6-m,即m6.故选D.角度3利用消元法求最值典例4已知x0,y0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为6.解析解法一(换元消元法):由已知得x+3y=9-xy.因为x0,y0,所以x+3y2,所以3xy,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号.3xy可化为(x+3y)2+12(x+3y)-1080.令x+3y=t,则t0且t2+12t-108

7、0,解得t6,即x+3y6.解法二(代入消元法):由x+3y+xy=9,得x=,所以x+3y=+3y=3(1+y)+-62-6=12-6=6,当且仅当x=3,y=1时取等号.所以x+3y的最小值为6.名师点评1.利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值,主要思路有两种:对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.条件变形,进行“1”的代换求目标函数的最值.(2)有些题目虽然不具备直接应用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、分离常数、平方等方法使之能运用基本不等式.常用的方法还有拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法.另外

8、,对于函数f(x)=ax+(a0,b0)的定义域内不含实数的类型的最值问题,要学会使用函数的单调性求解.2.求形如函数y=在某个区间内的值域是解析几何解答题中的常见题型,其一般的解题思路为:首先在分子中分离出a1x2+b1x+c,简化分子将函数化为y=+,再换元,令t=mx+n,将x=-代入化简得y=+,进一步得到y=+,然后借助基本不等式或函数y=ax+的图象与性质求解.1.已知函数y=x-4+(x-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b等于()A.-3B.2C.3 D.8C解析y=x-4+=x+1+-5,因为x-1,所以x+10,0,所以由基本不等式,得y=x+1+-52-5=1,当且

9、仅当x+1=,即x=2时取等号,所以a=2,b=1,则a+b=3.故选C.2.若两个正实数x,y满足+=1,并且x+2ym2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-,-2)4,+)B.(-,-42,+)C.(-2,4) D.(-4,2)D解析x+2y=(x+2y)=2+28,当且仅当=,即x=4,y=2时等号成立.因为x+2ym2+2m恒成立,所以m2+2m8,即m2+2m-80,解得-4m0,b0,c0,若点P(a,b)在直线x+y+c=2上,则+的最小值为2+2.解析P(a,b)在直线x+y+c=2上,a+b+c=2,a+b=2-c0,+=+=+-1,设则m+n=2,m0,n0,+=

10、+=3+ + 3+2 =3+2,当且仅当m2=2n2,即c=2-2时,等号成立,+-13+2-1=2+2,即+的最小值为2+2.考点三基本不等式的实际应用典例5(1) 某人准备在一块占地面积为1 800 m2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1 m的小路(如图所示),大棚总占地面积为S m2,其中ab=12,则S的最大值为1 568.(2)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(单位:万元)与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,

11、仓库应建在离车站5千米处.解析(1)由题意可得xy=1 800,b=2a,x3,y3,则y=a+b+3=3a+3,所以S=(x-2)a+(x-3)b=(3x-8)a=(3x-8)=1 808-3x-y=1 808-3x-=1 808-1 808-2=1 808-240=1 568,当且仅当3x=,即x=40,y=45时等号成立,所以当x=40,y=45时,S取得最大值1 568.(2)由已知可得y1=,y2=0.8x,其中x(单位:千米)为仓库与车站的距离,则费用之和y=y1+y2=+0.8x2=8,当且仅当 0.8x=,即x=5时取等号.所以仓库应建在离车站5千米处.名师点评对实际问题,在审

12、题和建模时一定不可忽略变量的范围,一般地,每个表示实际意义的代数式必须为正,由此可得变量的范围,然后利用基本不等式求最值.某工厂近期要生产一批化工试剂,经市场调查得知,生产这批试剂的成本分为以下三个部分:生产 1单位试剂需要原料费50元;支付所有职工的工资总额由 7 500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成;后续保养的费用是每单位元(试剂的总产量为x单位,50 x200).设 P(x)是生产每单位试剂的成本,求 P(x)的最小值.解析由题意知原料总费用为50 x元,职工的工资总额为(7 500+20 x)元,后续保养总费用为x元,则P(x)=x+40(50 x200).x+2=180

13、,当且仅当x=,即x=90时取等号,P(x)220,即生产每单位试剂的成本最低为220元.学科素养提升数学运算转化与化归在基本不等式中的应用1.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为()A.B.2C.2D.4C解析+=,a0,b0,=+2=2,ab2(当且仅当b=2a时取等号),ab的最小值为2,故选C.2.设a0,b0,a+b=5,则+的最大值为3.解析由2aba2+b2两边同时加上a2+b2,得(a+b)22(a2+b2),两边同时开方得a+b(a0,b0且当且仅当a=b时取“=”),从而有+=3,当且仅当a+1=b+3,即a=,b=时,“=”成立.+的最大值为3.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用于一些不等式的证明,还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解.1.已