平面力系的合成与平衡

1、平面力系的合成与平衡第1页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 在实际工程中，有些结构的某一尺寸比其它两个方向的尺寸小的多或大得多。忽略次要因素后，我们可把这种结构看成为平面结构。如图所示的挡土墙，考虑到它沿长度方向受力情况大致相同，通常取1M长度的墙身作为研究对象，它所受到的重力G、土压力P和地基反力R也都可简化到1M长墙身的对称面上，组成平面力系。第2页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 还有些结构虽然明显不是受平面力系作用，但如果本身（包括支座）及其所承受的荷载有一个共同的对称面，那么，作用在结构上的力系就可以简化为在对称面内的平面力系，例如图所

2、示沿直线行驶的汽车，车受到的重力G、空气阻力F以及地面对左右轮的约束反力的合力RA、RB，都可简化到汽车的对称面内，组成平面一般力系。总之，在工程中，许多结构的力学问题，可以简化为平面力系的问题来处理。本章将讨论平面力系的简化和平衡问题。第3页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三3.1 平面汇交力系的合成与平衡平面汇交力系的概念和实例 第4页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 在平面力系中，如果平面汇交力系；平面平行力系；平面一般力系。 第5页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三、平面汇交力系是力系中最简单的一种，在工程中有很多实例

3、。例如，起重机起吊重物时，作用于吊钩C的三根绳索的拉力 都在同一平面内，且汇交于一点，就组成了平面汇交力系。又如三角支架当不计杆的自重时，作用于铰B上的三个力FN1、FN2、 也组成平面汇交力系。 3.1 平面汇交力系的合成与平衡平面汇交力系的概念和实例 第6页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 又如图所示的屋架，它通常被看作为由一些在其两端用光滑圆柱铰互相连接的直杆组成，而且由于各杆的自重比屋架所承受的各个荷载小很多而可忽略不计，因此每根直杆都在作用于其两端的两个力的作用下处于平衡。第7页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 当以各个铰结点(或称节点

4、)为研究对象时，与结点相连接的各杆作用于该节点上的力也组成一个平面汇交力系。例如，图b)就是结点C的受力图，它构成了一个平面汇交力系。 研究平面汇交力系，一方面可以解决一些简单的工程实际问题，另一方面也为研究更复杂的力系打下基础。第8页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三平面汇交力系的合成问题可以采用几何法和解析法进行研究。其中，平面汇交力系的几何法具行直观、简捷的优点，但其精确度较差，在力学中用得较多的还是解析法。这种方法是以力在坐标轴上的投影的计算为基础。第9页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三数解法 我们在第一章已讨论了力在坐标轴上的投影规则和方

5、法。现在我们来讨论平面汇交力系各力投影与汇交力系合力投影之间的关系。 设有一平面汇交力系F1、F2作用在物体的A点，如图。根据平行四边形法则可求得该力系的合力 。 而 第10页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 设有一平面汇交力系F1、F2、F3作用在物体的 点，如图。根据平行四边形法则可求得该力系的合力 。第11页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三因此可得 这一关系可推广到任意平面汇交力的情形，即由此可见，合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。（3-4）第12页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，

6、星期三注意：式中各分量的正负号选取。从图中的几何关系可知，合力R的大小和方向可由下式确定： （3-5） 式中 为合力R与x轴所夹的锐角， 角在哪个象限由 和 的正负号来确定。第13页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三例3-3 已知作用在刚体上并交于o点的三力均在 平面内，且 ， ， ， ， 。用数解法求此平面汇交力系的合力 。解：第14页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三第15页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三解： 取直角坐标系如图所示。因已知合力R沿y轴向下，故Rx=0，Ry= -R。由式(2-2)知，得例1 如图所示，已知

7、F1=20kN，F2=40kN，如果三个力F1、F2、F3的合力R沿铅垂向下，试求力F3和R的大小。第16页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三又由 第17页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三【例2】固定于墙内的环形螺钉上，作用有3个力 ，各力的方向如图所示，各力的大小分别为 ， 。试求螺钉作用在墙上的力。解：要求螺钉作用在墙上的力可先求作用在螺钉上三力合力。第18页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三根据力的平衡可知，墙给螺钉的作用力应与 大小相等方向相反。再根据牛顿第三定律可知，螺钉作用在墙上的力 ，方向与 相同。第19页，共8

8、1页，2022年，5月20日，21点28分，星期三3.1.3 平面汇交力系平衡条件从上面可知，平面汇交力系合成的结果是一个合力。显然要物体在平面汇交力系的作用下保持平衡，则该力系的合力应等于零；反之，如果该力系的合力等于零，则物体在该力系的作用下，必然处于平衡。所以，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：平面汇交力系的合力等于零。 而根据式（3-5)的第一式可知上式与恒为正数，要使R=0，必须且只须所以平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和都等于零。式(3-6)称为平面汇交力系的平衡方程。应用这两个独立的平衡方程可以求解两个未知量。 （3-6

9、）第20页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三例3-4 一桁架的结点由四根角钢铆接在连接板上。已知作用在杆件A和C上的力为 ， ，以及作用在杆件B和D上的力 ， 作用的方向，该力系汇交于o点。求在平衡状态下力 ， 的值。解：以汇交点为坐标原点，建立图示坐标系。第21页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三第22页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三节点：例3-3 图示一起重构架 的 点装置一个定滑轮。绞车的钢绳通过滑轮而起吊重物 ，已知 。支架三处的连接均为铰接，不计滑轮、钢绳、构架的自重及滑轮 轴的摩擦。求起重架 、 杆所受的力 。解

10、：第23页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 为负值，说明 实际方向与图中所设方向相反。第24页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三例3 一结构受水平P作用如图a)所示。不计各杆自重，求三根杆AB、BC、CA所受的力。 解 ： 杆AB、BC、CA两端铰接，中间不受力，故三根杆都是二力杆。先取铰链C为研究对象，假定杆CA、BC都受拉，画出铰C的受力图如图 b)所示。设直角坐标系如图，列平衡方程 第25页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 (a) 由式(a)、(b)解得FBC的结果为负值，表示其指向与假设的相反，杆BC应是受压。再取铰

11、链B为研究对象，假定杆BC、AB受拉，画出铰B的受力图如图2-11c)所示。杆BC是二力杆，故它对两端铰链的作用力，应当是大小相等，方向相反，用FBC表示。 (b)第26页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 设直角坐标系如图，列平衡方程 原假设杆BC受拉，得正号表示杆AB受拉。 (c)将其代入式(c)，于是得第27页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三通过以上各例的分析，可知用解析法求解平面汇交力系平衡问题的步骤一般如下:1选取研究对象。2画受力图 约束反力指向未定者应先假设。3选坐标轴 最好使某一坐标轴与一个未知力垂直，以便简化计算。4列平衡方程求解

12、未知量 列方程时注意各力的投影的正负号。当求出的未知力为负数时，就表示该力的实际指向与假设的指向相反。 第28页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三解：选球为研究对象。画出受力图。 为主动力， 为约束力。三力汇交于 点。以球心 为坐标原点，建立图示坐标系。根据平衡条件建立平衡方程。 【例4】重 的球放在与水平成 角的光滑斜面上，并用与斜面平行的绳 系住。试求绳 受到的拉力及球对斜面的压力。第29页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三根据作用与反作用定律，绳子所受拉力为 ；球对斜面的压力为 ，其方向与图中相反。 也可以取沿斜面向上、垂直斜面向上为 轴，则第

13、30页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三3.2力线的平移 设有一个力F作用在某刚体的A点，如图所示。若在刚体的B点加上两个共线、反向、等值的力F和F，且作用线与力F平行大小与力F的大小相等，并不影响力F对刚体单独作用时产生的运动效果。进一步分析可以看出，力F与F构成一个力偶，其力偶矩为而作用在点B的力F，其大小和方向与原力F相同，即相当于把原来的力F从点A平移到点B。第31页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三于是，得到力的平移定理：作用于物体上的力F，可以平移到同一物体上的任一点B，同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力F对于新作用点B的矩。 第32页，

14、共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三3.3平面一般力系的合成3.3.1 简化方法和结果 设在物体上作用有平面一般力系F1、F2、Fn。为了将这力系简化，在其作用面内取任意一点，根据力的平移定理，将力系中各力都平移到O点，就得到两个基本力系F1 、F2、Fn和M1、M2、Mn。第33页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 平面汇交力系可合成为作用在O点的一个力，附加的平面力偶系可合成为一个力偶。任选的O 点，称为简化中心。 平面一般力系向平面内任一点简化，可以简化为作用于简化中心的一个力和一个力偶。第34页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星

15、期三3.3.2 主矢和主矩 平面一般力系简化为作用于简化中心的一个力和一个力偶。这个力RO称为原力系的主矢，这个力偶的力偶矩MO，称为原力系对简化中心的主矩。 求主矢RO的大小和方向，可应用数解法。通过点取直角坐标系xoy。 第35页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三主矢RO在x轴和y轴上的投影为得主矢RO的大小和方向为第36页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 为主矢RO与x轴所夹的锐角，RO指向由Fx和Fy的正负号确定。 由平面力偶系的合成知，主矩为 第37页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三讨论： 1、 主矢等于原力系各力

16、的矢量和，它与简化中心的选择无关。一般情况下主矢不是原力系的合力。 2、主矩等于原力系各力对简化中心的力矩的代数和，与简化中心的选择有关。这是因为取不同的点为简化中心，各力的力臂将会改变，则各力对简化中心的矩也会改变，从而导致主矩的改变。所以对于主矩，必须标明力系对于哪一点的主矩。 3、主矢描述原力系对物体的平移作用，主矩描述原力系对物体绕简化中心的转动作用，二者的作用总和代表原力系对物体的作用。因此，单独的主矢R或主矩M并不与原力系等效，而主矢R与主矩M二者的共同作用才与原力系等效。 第38页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 4、几种特殊情况 ， 。原力系向 简化后为

17、一个力 ， 是原力系的合力 。 ， 。原力系向 简化后为一力偶 ，则原力系无合力只有合力偶矩 。 ， 。原力系是平衡力系。第39页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三3.4平面一般力系的平衡的方程和应用 平面一般力系向任一点A简化后，如果得到的主矢量 和主矩MA。如果该平面一般力系使物体保持平衡，则必然有 =0，MA=0。反之，如果 =0，MA=0，则说明原力系就是平衡力系。 因此，平面一般力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢以及力系对任一点的主矩均为零，即 =0，MA=0 由于 故平面一般力系的平衡条件为 （3-9） 第40页，共81页，2022年，5月20日，21点2

18、8分，星期三 即，平面一般力系平衡的必要和充分条件也可叙述为：力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零；力系中各力对于任一点的力矩的代数和等于零。 式（3-9）叫做平面一般力系的平衡方程，称为一矩式方程组，其中前两个叫做投影方程，后一个叫做力矩方程。可以把投影方程的含意理解为物体在力系作用下沿坐标轴x和y方向不可能移动；将力矩方程的含意理解为物体在力系作用下绕任一矩心均不能转动。当满足平衡方程时，物体既不能移动，也不能转动，这就保证了物体处于平衡状态。当物体处于平衡状态时，可应用这三个平衡方程求解三个未知量。 式(3-9)是平面一般力系平衡方程的基本形式。除了这种形式外，还可将平衡方程表

19、示为二矩式和三矩式。二矩式 ： （3-10）第41页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 该平衡方程的限制条件是：x轴不能与A、B两点的连线垂直。三矩形式 ： （3-11） 该平衡方程的限制条件是：A、B、C三点不在同一直线上。 平面一般力系的平衡方程虽有三种形式，但不论采用哪种形式，都能够写出、且只能写出三个独立的平衡方程。所以，对于平面一般力系来说，应用平衡方程，只能求解三个未知量。 在实际解题时，所选的平衡方程形式应尽可能使计算简便，力求在一个方程中只包含一个未知量，避免求解联立方程。第42页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 【例5】一刚架受荷

20、载作用及支承情况如图(a)所示。已知P=5 kN，M=2 kNm，刚架自重不计，试求A、B处的支座反力。解 ：取刚架为研究对象，其受力图如图所示。(a) (b)第43页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 作用在刚架上力P和力偶M，支座反力RA和FBx 、 FBy 组成一个平面一般力系。 取坐标系如图所示，则第44页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 作用在刚架上有一个力偶荷载。由于力偶在任一轴上的投影均为零，因此，力偶在投影方程中不出现；由于力偶对平面内任一点之矩等于力偶矩，而与矩心位置无关，因此，在力矩方程中可直接将力偶矩列入。 由 得 第45页，

21、共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三【例6】 一梁 受有集度为q的均布荷载，并在B端作用一集中力P，如图，设梁长为l，试求固定端A的约束反力。 解 ： 固定端支座A处，有FAx和FAy两个未知力和一个约束反力偶MA。此时梁AB在已知荷载q、P和未知的约束反力作用下平衡。列平衡方程时，均布荷载q可用其合力 表示，方向与均布荷载方向相同，作用在AB段的中点。选取坐标系如图所示。第46页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 建筑工程中的雨篷、阳台等，它们一端牢固地嵌入墙内，另一端无约束，这类结构叫做悬臂结构。在力学计算时，它们都作为悬臂梁来考虑。第47页，共81

22、页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 【例7】 如图 (a)，梁AC在C处受集中力P作用，设P=30 kN，试求A、B支座的约束反力。解 ： 以外伸梁为研究对象，画其受力图，并选取坐标轴，如图 (b)所示。 作用在外伸梁上的有已知力P，未知的支座反力FAx、FAy和RB，运用三个独立的平衡方程可求解三个未知力。 (a) (b)第48页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三由 由 由 第49页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 力系既然平衡，则力系中各力在任一轴上的投影的代数和必然等于零，因此可再列出其它的平衡方程，用以校核计算的正确与否。校核

23、： 说明求得的FYA和RB之值是正确的。 第50页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 【例8】起重机在 图 (a)所示的位置时平衡。已知吊杆AB长10 m，吊杆重G=10 kN，重心在吊杆AB的中点，起吊物重Q=30 kN，=45，=30，试计算钢丝绳所受的拉力和铰链A所受的反力。(a) (b) 第51页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三解 ： 取吊杆AB为研究对象。吊杆的受力图及选取的坐标轴如图所示。以上各力组成了一个平面一般力系。用平面一般力系的平衡方程可以求解三个未知力，由第52页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三第53页

24、，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 计算结果中不带负号，说明各约束 反力的假设指向与实际指向一致。校核： 说明求得的反力大小FAx和FAy以及T是正确的。 第54页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三例3-6 一个三角形管道支架固定在砖柱上，支架由两根型钢与结点板构成。结点 均采用焊接，在分析支架受力情况时，可简化为铰接计算，已知每一管道为 ，支架间距为 。试求支架 两处的约束反力。支架重忽略不计。解：由题知每一支架承担 长管道重力，故第55页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三1.用一矩式方程组求解第56页，共81页，2022年，

25、5月20日，21点28分，星期三2.用二矩式方程组求解第57页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三校核：3.用三矩式方程求解第58页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三校核： 经校核说明计算正确。第59页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三例3-7 一简支梁受力如图所示。已知 ， ，不计梁自重，求 两支座反力。解：第60页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三校核： 经校核说明计算正确。第61页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 在工程中，常常遇到由多个物体通过一定的约束联系在一起的系统，这种系

26、统称为物体系统。例如图所示的连续梁，就是由梁AB和粱BC通过铰B连接，并支承在A、C支座而组成的一个物体系统。当物体系统平衡时，组成系统的每一物体及系统整体都处于平衡状态。第62页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 下面举例说明求解物体系统平衡问题的方法。 【例9】组合梁受荷载如图4-16(a)所示。已知q=5kNm，P=30kN，梁自重不计，求支座A、B、D的反力。解： 组合梁由两段AC、CD在C处用铰链连接并支承于三个支座上而构成； 若取整个梁为研究对象，画其受力图如图所示。由受力图可知，有RA、RB和RD三个未知量，而独立的平衡方程只有两个，不能求解。因而需要将梁从

27、铰C处拆开，分别考虑CD段第63页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三 (a) (b) (c) (d)图4-16和AC段的平衡，画出它们的受力图如图所示。在梁CD段上，只有两个未知量，应用平衡方程可求得RD,RD求出后，再考虑整体平衡，RA、RB也可求出。 第64页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三综上分析，求法如下：(1) 取梁CD段为研究对象(2) 取整个组合梁为研究对象第65页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三校核：对整个连续梁， 计算正确。 本题还可先取梁CD段为研究对象，求解RC和RD；再取梁AC段为研究对象，求解RA和

28、RB。但这一种解法不如上述解法简单。 第66页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三取梁CD段为研究对象由对称性可知(2)取梁AC段为研究对象第67页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三例3-8 已知 ，求图示三铰刚架 处的支座反力。解：以整体为研究对象。第68页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三以 部分为研究对象。第69页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三校核：取整体为研究对象。 说明计算正确。第70页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三4.5平面平行力系的合成与平衡 在平面力系中如各力的作

29、用线互相平行，这样的力系就是平面平行力系。平面平行力系的合成 设有相互平行的n个力 作用在物体的同一平面内。他们的合力作用线必平行于各力作用线，合力的大小：合力作用线的位置： 在平面内任选一参考点o，利用合力矩定理第71页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三例3-10 图示为一最大起重力 的塔吊。其自重 ，作用线距离塔身中心线 为 。塔身最下面四个轮子可在轨道上行走。为使在起吊过程中不倾倒，必须放置配重 ，配重作用线位置如图所示。第72页，共81页，2022年，5月20日，21点28分，星期三试问 为多少时，该塔吊不会发生倾倒？解：塔吊受平面力系作用，为使塔吊不倾倒， 三力的合力作用线范围必须在 之间。其大小若合力作用线位置