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文档简介

1、6.4 几个初等函数构成的映射 一、幂函数 二、指数函数 三、综合举例 一、幂函数 ( 整数 ) 则有 令 1. 映射特点 即 幂函数 扩大顶点在原点的角形域( 或扇形域 )。 特点 类似地，根式函数 作为幂函数的逆映射，其映射 特点是缩小顶点在原点的角形域( 或扇形域 )。 2. 保形性 单值性 解析性 一、幂函数 ( 整数 ) (1) 在 平面上处处可导，且 (2) 当 时， 在 平面上不是双方单值的， 对于 幂函数 在 平面上除原点外是第一类保角映射。 结论 在角形域 上，如果 ，则幂函数 是 共形映射。比如： 取 则 解 令 则 如图，所求的象区域 G 为： 解 P157 例6.14

2、二、指数函数 (z)yxwvu(w)回顾 有 由 z 的实部得到 w 的模；由 z 的虚部得到 w 的辐角。即 xzyy令 1. 映射特点 指数函数 将水平带形域变为角形域。 特点 二、指数函数 特别有 单值性？ (?)2. 保形性 单值性 解析性 在 平面上处处可导，且 在 平面上不是双方单值的， 指数函数 在 平面上是第一类保角映射。 结论 在水平带形域 上，如果 则指数函数 是共形映射。 二、指数函数 取 比如： 则 如图，所求的象区域 G 为： 解 令 则 解 P158 例6.15 三、综合举例 (1) 预处理 工具 几种简单的分式映射、幂函数、指数函数等。 目标 使区域的边界至多由两

3、段圆弧(或直线段)构成。 (2) 将区域映射为角形域( 或者带形域 ) 另一个(交)点 映射为 0 。 z2 主要步骤 (一般) 方法 将区域边界的一个交点 映射为 z1 工具 或者 (4) 将上半平面映射为单位圆域 工具 ( 对于角形域 ) ( 对于带形域 ) 工具 ( 无附加条件 ) ( 由附加条件确定 ) (3) 将角形域( 或者带形域 )映射为上半平面 三、综合举例 主要步骤 (一般) aiOxy(z)uOv(w)w=ez1C1C2a(z)O-ii 角形域 0argwaaa=p/2O( )上半平面(z)O1(z)单位圆内部|z|1w=zn带形上半平面单位圆内部半带形扇形半圆两圆弧所围区域角形区域角形区域注 从上半单位圆域到上半平面的映射为 (错 ) ！ ！ ？ 解 P161 例6.18 解 解 将 故 得 有 再要求将 解 共形映射将 D 映射成单位圆域。 例 设区域 D 由两个圆弧围成(如图所示)， 其中 求一 P160 例6.17 将 故 得 有 再要求将 解 P159 例6.16 解 解 P162 例6.19 (利用前例的结果) 例 映射将 D 映射成上半平面。 设区域 求一共形 * 解 P162 例6.20 解 例 * 设区域 D 如图所

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