2022年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用1第1课时变化率问题导数的概念课件人教A版选择性必修第二册

1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.了解物理学和几何学中两类变化率问题,领会其中由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.2.理解函数平均变化率的含义,会求函数在某一点附近的平均变化率.3.理解导数(瞬时变化率)的概念,会用导数的定义求函数在某点处的导数.4.通过对平均变化率及导数的定义的理解与运用,提高运算求解、直观想象与抽象概括的素养.自主预习 新知导学一、平均速度与瞬时速度【问题思考】2.填空:(1)平均速度(2)瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.3.做一做:如果质点A沿直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间

2、的关系为s(t)=3t2,那么质点A在t0=3时的瞬时速度为()A.6B.18C.54D.81解析:s(t)=3t2,t0=3,s(t0+t)-s(t0)=3(3+t)2-332=18t+3(t)2.答案:B 二、函数y=f(x)从x0到x0+x的平均变化率【问题思考】1.假设下图是一座山的剖面图,并建立如图所示的平面直角坐标系.设A是出发点,H是山的顶点,爬山路线用函数y=f(x)表示.自变量x表示某游客的水平位置,函数值y=f(x)表示此时游客所在的高度,则点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2).(1)该游客从点A爬到点B,自变量x和函数值y的变化量分别是多少?提示:自变量

3、x的变化量为x2-x1,记作x;函数值的变化量为y2-y1,记作y.(2)由y的变化量的大小能否判断山路的陡峭程度?提示:不能.山路的陡峭程度也与自变量x的变化量有关.(3)怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度?2.填空:对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+x,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+x).这时,x的变化量为 x ,y的变化量为 y=f(x0+x)-f(x0) .(2)实质:函数值的变化量与自变量变化量的比值;(3)作用:刻画函数值在区间x0,x0+x上变化的快慢.3.填空:函数平均变化率的几何意义:4.想一想:平均变化率可以是零吗?举例说明.提示:可以为零,如

4、常数函数f(x)=a(a为常数).5.做一做:如图,函数y=f(x)在区间x1,x2,x2,x3,x3,x4上,平均变化率最大的一个区间是.解析:由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间x1,x2,x2,x3,x3,x4上的平均变化率分别为 ,结合图象可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是x3,x4.答案:x3,x4三、函数f(x)在x=x0处的导数【问题思考】1.(1)函数在某点处的导数是一个变量还是一个定值?提示:是一个定值,是函数在该点的函数值的变化量与自变量的变化量比值的极限,不是变量.(2)函数y=f(x)的导数处处为0,是否说明函数y=f(x)为常数函数?提示:

5、是.3.做一做:已知f(x)=x2-3x,则f(0)=()A.x-3B.(x)2-3x C.-3D.0故选C.答案:C【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“”,错误的画“”.(2)若物体以10 m/s的速度匀速前进,则在t=10 s时的瞬时速度也是10 m/s. ( )(3)函数在x0处的导数f(x0)与x0和x都有关.( )(4)f(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.( )合作探究 释疑解惑探究一瞬时速度【例1】 以初速度v0(v00)垂直上抛的物体,t s时的高度为s(t)=v0t- gt2,求物体在t0时刻的瞬时速度.若把例题中的“v0”改为“v0

6、=20”,求物体在t=3 s时的瞬时速度.故物体在t=3 s时的瞬时速度为20-3g.反思感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤:第一步,求时间变化量t和位置变化量s=s(t0+t)-s(t0);第二步,求平均速度;第三步,求瞬时速度,当t无限趋近于0时, 无限趋近于常数v,即为瞬时速度.求:(1)物体在3t5这段时间内的平均速度;(2)物体的初速度v0;(3)物体在t=1时的瞬时速度.【变式训练1】 若一物体运动的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系是s=解:(1)因为物体在3t5这段时间内的时间变化量为t=5-3=2,物体在3t5这段时间内的位移变化量为s=352+2-(332

7、+2)=3(52-32)=48,(2)求物体的初速度v0,即求物体在t=0时的瞬时速度.因为物体在t=0附近的平均速度为即物体的初速度v0为-18 m/s. (3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率.因为物体在t=1附近的平均速度为探究二平均变化率【例2】 分别求函数f(x)=x2在x=1,2,3附近的平均变化率,取x都为 ,判断函数在哪一点附近的平均变化率最大.解:f(x)在x=1附近的平均变化率为 反思感悟 求函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率的三个步骤:(1)求自变量的变化量:x=x2-x1;(2)求函数值的变化量:y=f(x2)-f(x1);(3)作商求函数的

8、平均变化率:探究三函数在某点处的导数【例3】 已知函数y=f(x)=x2+3.求:(1)f(x)在x=1处的导数;(2)f(x)在x=a处的导数.反思感悟 利用导数的定义求导数的三个步骤:(1)求函数的变化量y=f(x0+x)-f(x0);简记为:一差,二比,三趋近. 【变式训练3】 求函数y=f(x)=3x2+ax+b在x=1处的导数.解:y=f(1+x)-f(1)=3(1+x)2+a(1+x)+b-(3+a+b)=3(x)2+(6+a)x,f(1)=6+a. 【易错辨析】 对导数的概念理解不清而致错以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:平均变化率 中的

9、y是在自变量x的变化量为x时的变化量,它们是相对应的,若不一致,则会导致出错,如本例中自变量的变化量是(x0+2x)-x0=2x.答案:C防范措施 1.整体意识,即注意分子与分母的整体形式,注意整体调配.2.注意培养数据分析和数学运算素养.A.-2B.2C.-4D.4 答案:D 随堂练习1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,x=0.1时,y的值为()A.0.42B.0.41C.0.43D.0.44解析:y=f(2.1)-f(2)=0.41.故选B.答案:B2.函数f(x)=x2-1从x0到x0+x的平均变化率为()A.2x0-1B.2x0+xC.2x0 x+(x)2D.(x)2-x+1答案:B 3