排列组合、二项式定理与概率及统计

1、Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略排列与组合是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题都有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，并且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，科学周全的思考、分析问题二项式式定理是是进一步步学习概概率论和和数理统统计的基基础知识识，把握握二

2、项展展开式及及其通项项公式的的相互联联系和应应用是重重点概率则则是概率率论入门门，目前前的概率率知识只只是为进进一步学学习概率率和统计计打好基基础，做做好铺垫垫学习习中要注注意基本本概念的的理解，要要注意与与其他数数学知识识的联系系，要通通过一些些典型问问题的分分析，总总结运用用知识解解决问题题的思维维规律纵观近近几年高高考，排排列、组组合、二二项式定定理几乎乎每年必必考，考考题多以以选择题题、填空空题出现现，题小小而灵活活，涉及及知识点点都在两两三个左左右，综综合运用用排列组组合知识识，分类类计数和和分步计计数原理理；二项项式定理理及二项项式系数数的性质质计算或或论证一一些较简简单而有有趣的

3、小小题也在在高考题题中常见见，概率率及概率率统计的的内容，从从近几年年新课程程卷高考考来看，每每年都有有一道解解答题，占12分左右排列与与组合的的应用题题，是高高考常见见题型，其其中主要要考查有有附加条条件的应应用问题题.解决这这类问题题通常有有三种途途径:(11)以元素素为主，应应先满足足特殊元元素的要要求，再再考虑其其他元素素.(22)以位置置为主考考虑，即即先满足足特殊位位置的要要求，再再考虑其其他位置置.(33)先不考考虑附加加条件，计计算出排排列或组组合数，再再减去不不符合要要求的排排列数或或组合数.（4）某些些元素要要求必须须相邻时时，可以以先将这这些元素素看作一一个元素素，与其其

4、他元素素排列后后，再考考虑相邻邻元素的的内部排排列，这这种方法法称为“捆绑法”；（5）某些些元素不不相邻排排列时，可可以先排排其他元元素，再再将这些些不相邻邻元素插插入空挡挡，这种种方法称称为“插空法”；在求解解排列与与组合应应用问题题时，应应注意：(1)把具体体问题转转化或归归结为排排列或组组合问题题；(2)通过分分析确定定运用分分类计数数原理还还是分步步计数原原理；(3)分析题题目条件件，避免免“选取”时重复复和遗漏漏；(4)列出式式子计算算和作答答二、典例剖剖析题型一：排排列组合合应用题题解决此此类问题题的方法法是：直直接法，先先考虑特特殊元素素（或特特殊位置置），再再考虑其其他元素素（

5、或位位置）；间接法法，所有有排法中中减去不不合要求求的排法法数；对对于复杂杂的应用用题，要要合理设设计解题题步骤，一一般是先先分组，后后分步，要要求不重重不漏，符符合条件件例1、（008安徽理12）12名同学学合影，站站成了前前排4人后排8人现现摄影师师要从后后排8人中抽2人调整整到前排排，若其其他人的的相对顺顺序不变变，则不不同调整整方法的的种数是是（）ABCD解：从后排排8人中选2人共种选选法，这这2人插入入前排4人中且且保证前前排人的的顺序不不变，则则先从4人中的5个空挡挡插入一一人，有有5种插法法；余下下的一人人则要插插入前排排5人的空空挡，有有6种插法法，故为为；综上上知选C例2、（

6、008湖北理6）将5名志愿愿者分配配到3个不同同的奥运运场馆参参加接待待工作，每每个场馆馆至少分分配一名名志愿者者的方案案种数为为（）A540B300C180D1500解：将5分分成满足足题意的的3份有1，1，3与2，2，1两种，所所以共有有种方案案，故D正确例3、四棱棱锥的8条棱代代表8种不同同的化工工产品，有有公共点点的两条条棱代表表的化工工产品放放在同一一仓库是是危险的的，没有有公共顶顶点的两两条棱代代表的化化工产品品放在同同一仓库库是安全全的，现现打算用用编号为为、的4个仓库库存放这这8种化工工产品，那那么安全全存放的的不同方方法种数数为（）A96B48C24D0解：由题意意分析，如如

7、图，先先把标号号为1，2，3，4号化工工产品分分别放入入4个仓库内内共有种种放法；再把标标号为5，6，7，8号化工工产品对对应按要要求安全全存放：7放入，8放入，5放入，6放入；或者6放入，7放入，8放入，5放入；两种种放法综上所所述：共共有种放放法故故选B例4、在正正方体中中，过任任意两个个顶点的的直线中中成异面面直线的的有_对解法一：连成两两条异面面直线需需要4个点，因因此在正正方体8个顶点点中任取取4个点有有种取法法每4个点可可分共面面和不共共面两种种情况，共共面的不不符合条条件得去去掉.因为在6个表面面和6个体对对角面中中都有四四点共面面，故有有种但但不共面面的4点可构构成四面面体，而

8、而每个四四面体有有3对异面面直线，故故共有对对解法二：一个正正方体共共有12条棱、12条面对对角线、4条体对对角线，计28条，任任取两条条有种情情况，除除去其中中共面的的情况：（1）6个表面面，每个个面上有有6条线共共面，共共有条；（2）6个体对对角面，每每个面上上也有6条线共共面，共共有条；（3）从同同一顶点点出发有有3条面对对角线，任任意两条条线都共共面，共共有，故故共有异异面直线线=1774对题型二：求求展开式式中的系系数例5、（008广东理10）已知（是正整整数）的的展开式式中，的的系数小小于120，则_解：按二项项式定理理展开的的通项为为，我们们知道的的系数为为，即，也也即，而而是正

9、整整数，故故只能取1例6、若多多项式，则a9等于（）A9B10C9D10解：=例7、展开开式中第第6项与第7项的系系数的绝绝对值相相等，求求展开式式中系数数最大的的项和系系数绝对对值最大大的项解：，依题题意有，n=88则展开开式中二二项式系系数最大大的项为为设第rr1项系数数的绝对对值最大大，则有有则系数数绝对值值最大项项为例8、求证证：证：（法一一）倒序序相加：设又，由得：，即（法二二）：左左边各组组合数的的通项为为，（法三三）：题型三：求求复杂事事件的概概率例9、（008福建理5）某一一批花生生种子，如如果每1粒发芽芽的概率率为，那那么播下下4粒种子子恰有2粒发芽芽的概率率是（）ABCD解

10、：由例10、甲甲、乙两两个围棋棋队各5名队员员按事先先排好的的顺序进进行擂台台赛，双双方1号队员员先赛，负负者被淘淘汰，然然后负方方的队员员2号再与与对方的的获胜队队员再赛赛，负者者又被淘淘汰，一一直这样样进行下下去，直直到有一一方队员员全被淘淘汰时，另另一方获获胜，假假设每个个队员的的实力相相当，则则甲方有有4名队员员被淘汰汰，且最最后战胜胜乙方的的概率是是多少？解：根据比比赛规则则可知，一一共比赛赛了9场，并并且最后后一场是是甲方的的5号队员员战胜乙乙方的5号队员员，而甲甲方的前前4名队员员在前8场比赛赛中被淘淘汰，也也就是在在8次独立立重复试试验中该该事件恰恰好发生4次的概概率，可可得，

11、又又第9场甲方方的5号队员员战胜乙乙方的5号队员员的概率率为，所所以所求求的概率率为题型四：求求离散型型随机变变量的分分布列、期期望和方方差例11、某某先生居居住在城城镇的A处，准准备开车车到单位位B处上班. 若该地各各路段发发生堵车车事件都都是相互互独立的的，且在在同一路路段发生生堵车事事件最多多只有一一次，发发生堵车车事件的的概率如如图（例例如：ACD算作两两个路段段：路段段AC发生堵堵车事件件的概率率为，路路段CD发生堵堵车事件件的概率率为（1）请请你为其其选择一一条由A到B的路线线，使得得途中发发生堵车车事件的的概率最最小；（2）若若记路线线ACFB中遇到到堵车次次数为随随机变量量，求

12、的数数学期望望解：（1）记记路段MN发生堵堵车事件件为MN因为为各路段段发生堵堵车事件件都是独独立的，且且在同一一路段发发生堵车车事件最最多只有有一次，所所以路线线ACDB中遇到到堵车的的概率P1为=111P（AC）1P（CD）1P（DB）=1；同理：路线线ACFB中遇到到堵车的的概率P2为1P（小于于）路线AEEFB中遇到堵堵车的概概率P3为1P（小于于）显然要要使得由由A到B的路线线途中发发生堵车车事件的的概率最最小只只可能在在以上三三条路线线中选择择因此此选择路路线ACFB，可使使得途中中发生堵堵车事件件的概率率最小（2）路路线ACFB中遇到到堵车次次数可取取值为0，1，2，3答：路线A

13、ACFB中遇到到堵车次次数的数数学期望望为例12、如如图所示示，甲、乙乙两只小小蚂蚁分分别位于于一个单单位正方方体的点点和点，每每只小蚂蚂蚁都可可以从每每一个顶顶点处等等可能地地沿各条条棱向各各个方向向移动，但但不能按按原线路路返回比如，甲甲在处时时可以沿沿、三个方方向移动动，概率率都是；到达点点时，可可能沿、两个方方向移动动，概率率都是，已已知小蚂蚂蚁每秒秒钟移动动的距离离为1个单位位()若甲、乙乙两只小小蚂蚁都都移动1秒钟，则则它们所所走的路路线是异异面直线线的概率率是多少少？它们们之间的的距离为为的概率率是多少少？()若乙蚂蚂蚁不动动，甲蚂蚂蚁移动动3秒钟后后，甲、乙乙两只小小蚂蚁之之间

14、的距距离的期期望值是是多少？解：()甲蚂蚁蚁移动1秒可以以有三种种的走法法：即沿沿、三个方方向，当当沿方向向时，要要使所走走的路线线成异面面直线，乙乙蚂蚁只只能沿、C1C方向走走，概率率为，同同理当甲甲蚂蚁沿沿方向走走时，乙乙蚂蚁走走、C1C，概率率为，甲甲蚂蚁沿沿时，乙乙蚂蚁走走、，概率率为，因因此他们们所走路路线为异异面直线线的概率率为；甲蚂蚁蚁移动1秒可以以有三种种走法：即沿、三个方方向，当当甲沿方方向时，要要使他们们之间的的距离为为，则乙乙应走，此此时的概概率为，同同理，甲甲蚂蚁沿沿方向走走时、甲甲蚂蚁沿沿方向走走时，概概率都为为，所以以距离为为的概率率为()若乙蚂蚂蚁不动动，甲蚂蚂蚁

15、移动动3秒后，甲甲乙两个个蚂蚁之之间距离离的取值值有且只只有两个个：和，当时，甲甲是按以以下路线线中的一一个走的的：、，所以以其概率率为，当当时，甲甲是按以以下路线线中的一一个走的的：、所以其其概率为为，所以以三秒后后距离期期望值为为例13、（08湖北理17）袋中中有20个大小小相同的的球，其其中记上上0号的有10个，记记上n号的有n个（n=1，2，3，4）.现从袋袋中任取取一球表示所所取球的的标号（）求的分布布列，期期望和方方差；（）若=ab，E=1，D=11，试求a，b的值解：（1）的的分布列列为：01234所以（2）由由，得，即即，又，所所以当时时，由，得；当当时，由由，得，或，即即为所

16、求求题型五：统统计知识识例14、（08广东）某某校共有有学生20000名，各各年级男男、女生生人数如如下表已知在在全校学学生中随随机抽取取1名，抽抽到二年年级女生生的概率率是0.119现用用分层抽抽样的方方法在全全校抽取取64名学生生，则应应在三年年级抽取取的学生生人数为为（）一年级二年级三年级女生373男生377370A24B18C16D12解：依题意意我们知知道二年年级的女女生有380人，那那么三年年级的学学生的人人数应该该是500，即总总体中各各个年级级的人数数比例为为，故在在分层抽抽样中应应在三年年级抽取取的学生生人数为为答案：C例15、在在某校举举行的数数学竞赛赛中，全全体参赛赛学生

17、的的竞赛成成绩近似似服从正正态分布布已知知成绩在在90分以上上（含90分）的的学生有有12名（）试试问此次次参赛学学生总数数约为多多少人？（）若若该校计计划奖励励竞赛成成绩排在在前50名的学学生，试试问设奖奖的分数数线约为为多少分分？可共共查阅的的（部分分）标准准正态分分布表0123456781.92.02.10.884490.903320.919920.971130.977720.982210.886690.904490.920070.971190.977780.982260.88880.906660.922220.972260.978830.983300.890070.908820.923360.973320.978880. 988340.892250.909990.925510.973380.979930.983380.894440.911150.926650.974440.979980.984420.896620.913310.927780.975500.980030.984460.898800.914470.929920.975560.980080.985500.899970.916620.930060.976620.981120.