常用的一些矢量运算公式

1、常用的一些矢量运算公式1.三重标量积 b c如a，b和c a c c ,c ,c3 i,j,ka a ,a ,a ,b b,b ,b123123 及12ijkcc c1 2 3 ab c aa a c ic jc k aa a1 2 3bb b1231 2 3bb b1 2 31 2 3 ab c bc a ca b2.三重矢量积 b c如a，b和c aa(bc) a(cb)(cb)a abc)(ab)c ac b a bc b ac ba c） ( 是a在 adra () ddrdr是 。 (d dr dr ()(vv v drdr v应用三重矢量积公式（） ab ab a b b)a(ab

2、ba)ab)00 ab a b ab ab)(bb a)b)a00 1(b ab ab b a)ab)ba)ab)2 vv 01a bv()v v v2 v)24.算子 的应用;b令 a(a a a a a) ) ) ()00( a a a a a ) ) ) ()00 a)a) a2(a;b)(a ;b )(a ;b)b(a)(a)b000aia ja kaxyz i j kxayzaaa ayxzx y zijk x y za a axyz222( ) 2x y z222aaaxyzxyz , , )(e ,e ,e )R3 123 12Rhd e h d e hd e11 122 233

3、 3h,h ,h R dxidx jdxk 123 ， 所 以 ，所以h h h 1(r, ,z) R dre rd e dze 123。 在 柱 坐 标中 ， 因rzh h 1,h r(r,)R e re132。在球坐标中，因rh 1,h r,h rsin123。a e a e a e a1 12 23 3 e e e 3121h h 1h 22331 () () (h h a)h h a2 3 1h haa a 3 1 22 3 1hh h1 2 3133heh e he1 1 2 2 3 3 1 hh h 1 2 312hah a h a31 1 2 2 3 3e he he )12hh

4、13hh 11 331 221 ()h h2 3e )1hh h1 2 311 hh h h2 3h h3 1()()() 21 2h h hh h h 1 2 3111222333n(n ,n ,n )a 为123 hhahhaa e na (nn)(nn)2hh123h h131112131 2213 131hhhhaae na (nn)(nn)33h h223h h21223212 3323 112hhhh aa2h he na (nn)(nn)21h h3133331323 1132 323笛卡尔张量1.求和约定.克罗尼克尔符号.轮转符号x (i 1,2,3)i (i 1,2,3)以

5、11(x ,x ,x )d xxxx令123 123i123idxdxx和xjiji0,i j1,i j ij x , , 3, x xi i ix 12 ijj )I 001 0,当 , , i j k 当i, j,k1,2,3当i, j,k为非1,2,3 1231,1231312132321213 ijk如ii i1 2 3ab aa a a b1 2 3bbbj i1 2 3或(ab) a biijkj iii i1 2 3 v ( )ijkviikxx x x123jvv v1 2 3或vv) ( )kxiijkj2.笛卡尔张量定义p ,p ,p3 912 3 ,3 ,3012 i p

6、 i p i p112233p i p i p i p1123 p i p i p i p2123p i p i p i p3123p p p 9 p p p p p p ii p ,i, j 1,2,3i j ijp p p 1,p 0(i j)如111213ijp pijjip pij 与p pijjijip p p p p p c p p pc ;bab为 区 别 两 个 矢 量 的 点 乘 ， 可 将 两 个 矢 量 的 并 失写 成。 令aia i a i a ,bib i b ib1 1223 31 12 23 3 ，则并失亦有 9 个分量，写成矩阵形式为abab ab 1 1 1

7、 2 1 3 a;b a ba b a ba;b ;a与2 1 2 2 2 3 a ba b a b3 1 3 2 3 3baba ba 1 1 1 2 1 3;a b ab a b a;a;b2 1 2 2 2 3b ab a b a3 1 3 2 3 3 a a a123x x x111a a agrada ;a 123x x x222a a a123x x x333aaada dx dx dx111xxx1123123aaaa(r)a(x ,x ,x )da 2dx 2dx dx2xxx123 2123123aaada dx dx dx333xxx3123123 a a a123x x

8、x111daa a a / 123x x x故dr222a a a123x x x333dada/drdr因 可 将表 示 为 张 量与 矢 量的 点 乘 ，dadrdadr drgrada dr(;a)da dr(;a)(dr);a (dr)a(r)d drgrad dra;c(a;b);c a;(;c) ;( ); ( ; )a b a b a b (;b)c;(bc)bc)a如 利 用 标 量 律 后 ， 可 知 两 个 并 失 点 乘 后 仍 未 一 并 失(;b)(;d);(bc);d (bc)(;d)a;(bc)a;ba;c4.张量的梯度，散度和格林定理AA A (x ,x ,x

9、) AAxijx设A123 , ij对 kijjiij kk gradA , ,k 1,2,3x x xx A 123k AA A3A ij,kki, j 1,2,3,k 1,2,3 AAA AAA AAAAdivAA ,xxx xxx xxxk123123123 , , )h,h ,hD的123 123ij公式为 1 ln 1 lnhAijh h h2hhh h233divAA A A A A12 3k1 2 3kkhh h hkhh h hkkkk1k1i1 2 311 2 32h vh v( ) ( )2 1D 21hh hh112221h v( ) ( )3 2hvD 32h hh h2h v1h323332h v 11 vv hv hD ( )( ), D 113312312 hh hh 1hh 1 2h h 3vhv h 11 vv v