保险精算练习题

1、保险精算练习题4假设1000元在半年后成为1200元，求i(2)，i,d(3)。解：1000(1i(2)1200；所以i(2)0.421i(1i(2)2；所以i0.442(1i(m)m1i(1d)1(1d(n)n；mn所以，(1d(3)3(1i)1；d(3)0.3433535当n1时，证明：dd(n)i(n)i。证明：dd(n)因为，1d(1d(n)n01d(n)2d(n)23d(n)31d(n)n)Cn1CnCn()Cn(n)所以获取，nnd(n)；d(n)d(n)m(1em)；em1Cn2()2Cn3()3Cn4()41mmmmm所以，d(n)m1(1)mi(n)1i(n)n1i，即，nl

2、n(1i(n)ln(1i)所以，i(n)n(en1)nnen1Cn2()2Cn3()3Cn4mmm()41mmi(n)n(1)1ni(n)i1i(n)n1i，1i(n)nCn01Cn1i(n)Cn2(i(n)21i(n)nnnni(n)i所以，6证明以低等式建立，并进行直观讲解：amnamvman；解：amn1vmn，am1vm，vmanvm1vnvmvmniiii所以，avma1vmvmvmnamnimnamnamvms；n1vmn1vmvmvmn解：a，vms，ammniini所以，avms1vmvmvmnammnniss(1i)man；mnm解：s(1i)m1(1i)m(1i)n1(1i

3、)mn(1i)m，(1i)msminii所以，sm(1i)man(1i)m1(1ii)mn(1i)msnmsmns(1i)man。m解：（同上题）略。7某人今年30岁，其计划每年初存300元，共存30年建立个人存款能从60岁退休开始每年年关获取固定金额，共能领取20年。假设存款利率在前十年为6%，后20年为12%，求每年能取的养老金额。解：ss(1i2)20s(1i1)101(1i2)20(1i2)101301020i1i2所以60岁时存款有300s3059759.5（元）由此知，Xa20s20，可得X=7774.12（元）8某单位在20年内每年存入银行5000元建立职工奖励基金。从存入最后一

4、笔款后的第2年起，每年提取固定金额奖励一名有突出贡献的职工，这种奖励形式将永远连续下去。假设存款的利率为8%，求每次能够提取的最大金额。解：XAX15000s20228809.82。所以X18304.79（元）i10假设每年第一年收付200元，今后每隔一年增加收付100元，增加到一次收付1000元时不在增加，并素来保持每年1000元的水平连续收付。假设年利率为12%，求这一年金的现值。a100a100(Ia)1000a19解：a8(1i)81100810001v94362.94100(1i)ii1依据生命表的基础填充下表：xlxdxpxqx010001000.90.11(900)(150)(5

5、/6)(1/6)2750(150)0.8(0.2)3(600)(300)(0.5)(0.5)4300(180)(0.4)0.65(120)(120)(0)(1)603.已知lx1000(1x)，计算：120l0，l120，d33，20p30，30q20；25岁的人最少再活20，最多活25年的概率；三个25岁的人均存活到80岁的概率。解：l01000(10)1000；l1201000(1120)0120120d33l33l3412510003120l507l20l500.320p30；30q20l20l309ax1vpxax1；证明：ax1vpxax1所以，ax1vpxax1ax:nax:nax

6、:n(1nEx)Nx1Nxn1DXnNx1Dx(Nxn1DXn)(1)(1nEx)；证明：DxDxDxNxNxnax:nDxnaxvnnpxaxn；证明：Nxn1Nxn1nNaxnExvnpxnDxDxDnExxn1vnaxnnpxxnax:nmax:mvmmpxaxmn；:证明：aNx1Nxnm1x:nmDxax:mNx1Nxm1DxvmmpxamExNxm1Nxmn1Nxm1Nxmn1xm:nDxDxmavmNx1Nxm1Nxm1Nxmn1Nx1Nxmn1ax:mmpxaxm:nDxDxDxx:nmpx1ax(1i)ax1证明：px1axpx1Nxpx1Nxpx1Nx(1i)ax1Dx1E

7、x1Dx1vpx1Dx13某人在50岁时以50000元的趸缴净保费购买了每个月给付k元的生计年金。假设购买后次月开始给付，求k值。12ka50(12)12k(a50121)12k(12.2668311)50000解：21224k338.624给付50岁的人每个月200元，第一次从60岁开始，共付10年的生计年金变换函数表达式。解：24001010a50(12)240010E50a60:10(12)240010E50(a6013a70)247以变换函数表达下面变动年金的现值。对（x）第一年关给付1000元，今后每年比上年增加给付500元，当年给付金额达到5000元时，又以每年1000元的幅度递减

8、，直到1000元后保持不变，直到被保险人死亡为止。解：500v500(Ia)x:81000v9(Da)x9:41000v14ax148假设对所有x，有px(1r)px，证明以利率i和px为基础计算的平生年金现值与以iir和px为基础计算的终1r身年金现值相等。解：以i,px为计算基础axtExvttpx(1)tpxpx1pxtt1t11i(1)t(1r)tpxpx1pxt1i以iir、px计算1raxtExvttpx(1)tpxpx1pxtt1t11i(1r)tpxpx1pxt1i1假设lx1000(1x),i0.10，求50岁的人投保100000元平生寿险的精算现值。115解：dxlxlxt

9、11000(t1)100000A501000001115vt1(1t)115l50t02某保单规定，若被保险人在投保后20年内死亡，则在第20年关给付1单位保险金，若被保险人在投保20年今后死亡，则在死亡年年关给付1单位保险金。写出对（x）的保单精算现值的表达式。解：1920t1A(vqx)qx)t0tt20(vt2019vt0(tqx)20Ax3某人在30岁时投保了10000元延期25年的如期寿险，求这一保单的精算现值。mnMxmMxmn解：mAx:nvt1tqxtmDx10000A2510000M55M75所以，30:20D25100001069.6405403.7249298.80222

10、86.354证明：AxvqxvpxAx1，并说明其意义。证明：AxMx,Ax1Mx1,Cxvx1dxDxDx1MxCxMx1,Dxvxlx,Dx1vx1lx1,vpxDxDx1AxCxMx1vpx(CxMx1)vpxCxvpxMx1DxDx1Dx1Dx1vlx1.vx1dxdxlxvpxAx1vpxAx1vqxvpxAx1vx1lxv1lx即（X）寿险精算现值等于在第一年内死亡赔付vqx，在一年后死亡赔付的精算现值vpxAx1之和。5证明：dAxAx(x)x，并说明其意义。dx证明：AxMxxDyydyDxDxdxDyydyDxxDxxDyydyDxdAxDxdxdx(Dx)2DxAxvxln

11、vlxvxlxAx(lnvlx)AxxvxlxxlxxDxAx(x)x6假设死亡概率qxn变成为qxnk（为常数），其他年龄的死亡率不变，试证明A将增加xkvn1npx(1Axn1)。解：Ax1vt1dxtvt1tqxlxt0t0n1vt1vn1npxvt1kvn1npxvt1AxtqxAx(qxnk)tqxtqxt0tn1tn1Axvn1npxkkvn1npxvt1tqxtn1Axvn1npxk(1vt1tqx)tn1Axvn1npxk(1Axn1)增加值：vn1npx(qxnk)7假设ax15.5，Ax0.25，求利率i的值。(1i)Ax1iax解：0.25(1i)115.5ii1218.假设某人从30岁开始投保平生寿险，若在投保第一年死亡，则给付1000元，今后每多活一年后死亡，给付额增加3000元，达到16000元时，又以每多活一年给付额减少4000元递减，当