高考数学(理数)一轮复习教案：7.5《直线、平面垂直的判定及性质》(含详解)

1、第五节直线、平面垂直的判定及性质垂直的判定与性质(1)掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理(2)掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理知识点一直线与平面垂直1直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(2)图形语言：如图1所示(3)符号语言：a，b，abP，la，lbl.2直线与平面垂直的性质定理自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行图形语言：如图2所示符号语言：a，bab.易误提醒斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线，而不是线段必记结论(1)直线与平面垂直的定义常常逆用，即a，bab.(2)若平行直线中一条垂直于平面，则另一

2、条也垂直于该平面(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直自测练习1设a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，则“la，且lb”是“l”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：由线面垂直的判定定理知，充分性不成立，由线面垂直的性质定理知，必要性成立，故选C.答案：C2已知直线a，b和平面，且ab，a，则b与的位置关系为()Ab BbCb或b Db与相交解析：由ab，a知b或b，但直线b不与相交答案：C知识点二平面与平面垂直1平面与平面垂直的判定(1)两个平面垂直的定义

3、如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直平面与垂直，记作.(2)两个平面垂直的判定定理自然语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言：如图1所示符号语言：AB ，AB.图12平面与平面垂直的性质自然语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直图形语言：如图2所示图2符号语言：，CD，AB，ABCDAB.易误提醒平面和平面垂直的判定定理的两个条件：l，l，缺一不可必记结论(1)两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，正方体中任意相邻的两个面都是互相垂直的；(2)由定理可知，要证明平面与平面垂线，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即

4、证明线面垂直；(3)面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一个平面的另一个平面的依据自测练习3若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A若m，则mB若m，n，mn，则C若m，m，则D若，则解析：利用相关定理逐个判断A中m与的位置关系不确定，故错误；B中，可能平行或相交，故错误；由面面垂直的判定定理可知C正确；D中，平行或相交，故错误，选C.答案：C4四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两垂直的共有_对解析：因为ADAB，ADPA且PAABA，可得AD平面PAB.同理可得BC平面PAB、AB平面PAD、CD平面PAD，由面面垂直

5、的判定定理可得，平面PAD平面PAB，平面PBC平面PAB，平面PCD平面PAD，平面PAB平面ABCD，平面PAD平面ABCD，共有5对答案：5考点一直线与平面垂直的判定与性质|1在空间中，l，m，n，a，b表示直线，表示平面，则下列命题正确的是()A若l，ml，则mB若lm，mn，则mnC若a，ab，则bD若l，la，则a解析：易知选项A不正确；选项B，从mn就可以看出结论是错误的；选项C中，若b，则C不正确；选项D是正确的答案：D2(丽水一模)在四面体ABCD中，下列条件不能得出ABCD的是()AABBC且ABBDBADBC且ACBDCACAD且BCBDDACBC且ADBD解析：A.AB

6、BD，ABBC，BDBCB，AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD.B.设A在平面BCD内的射影为O，则AO平面BCD，ADBC，ACBD，O为BCD的垂心，连接BO，则BOCD，又AOCD，AOBOO，CD平面ABO，AB平面ABO，ABCD.C.取CD中点G，连接BG，AG.ACAD且BCBD，CDBG，CDAG，BGAGG，CD平面ABG，AB平面ABG，ABCD，故选D.答案：D3(高考重庆卷)如图，三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABCeq f(,2)，点D，E在线段AC上，且ADDEEC2，PDPC4，点F在线段AB上，且EFBC.(1)证明：AB平面PFE；(2)若四棱

7、锥PDFBC的体积为7，求线段BC的长解：(1)证明：由DEEC，PDPC知，E为等腰PDC中DC边的中点，故PEAC.又平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PE平面PAC，所以PE平面ABC，从而PEAB.因ABCeq f(,2)，EFBC，故ABEF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE，EF都垂直，所以AB平面PFE.(2)设BCx，则在RtABC中，ABeq r(AC2BC2)eq r(36x2)，从而SABCeq f(1,2)ABBCeq f(1,2)xeq r(36x2).由EFBC知，eq f(AF,AB)eq f(AE,AC)eq f(2,3)，得AFEABC，故

8、eq f(SAFE,SABC)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)2eq f(4,9)，即SAFEeq f(4,9)SABC.由ADeq f(1,2)AE，得SAFDeq f(1,2)SAFEeq f(1,2)eq f(4,9)SABCeq f(2,9)SABCeq f(1,9)xeq r(36x2)，从而四边形DFBC的面积为SDFBCSABCSAFDeq f(1,2)xeq r(36x2)eq f(1,9)xeq r(36x2)eq f(7,18)xeq r(36x2).由(1)知，PE平面ABC，所以PE为四棱锥PDFBC的高在RtPEC中，PEeq r(PC2EC2)

9、eq r(4222)2eq r(3).VPDFBCeq f(1,3)SDFBCPEeq f(1,3)eq f(7,18)xeq r(36x2)2eq r(3)7，故得x436x22430，解得x29或x227，由于x0，可得x3或x3eq r(3).所以，BC3或BC3eq r(3).证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理(2)利用平行线垂直于平面的传递性(ab，ab)(3)利用面面平行的性质(a，a)(4)利用面面垂直的性质考点二平面与平面垂直的判定与性质|(高考全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若AB

10、C120，AEEC，三棱锥EACD的体积为eq f(r(6),3)，求该三棱锥的侧面积解(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCeq f(r(3),2)x，GBGDeq f(x,2).因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGeq f(r(3),2)x.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEeq f(r(2),2)x.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACDeq f(1,3)eq f(1,2)ACGDBEeq f

11、(r(6),24)x3eq f(r(6),3).故x2.从而可得AEECEDeq r(6).所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为eq r(5).故三棱锥EACD的侧面积为32eq r(5).证明面面垂直的主要方法利用判定定理在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边上的中线垂直于底边，勾股定理的逆定理等用定义证明只需判定两平面所成二面角为直二面角客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面(佛山一中期中考试)如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BCA90，APAC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC平面ADE

12、.(1)求证：DE平面PAC；(2)当二面角ADEP为直二面角时，求ABCED与PAED的体积比解：(1)证明：BC平面ADE，BC平面PBC，平面PBC平面ADEDE，BCED，PA底面ABC，BC底面ABC，PABC，又BCA90，ACBC，PA与AC是平面PAC内的两条相交直线，BC平面PAC，又BCED，DE平面PAC.(2)由(1)知，DE平面PAC，AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角ADEP的平面角，AEP90，即AEPC，APAC，E是PC的中点，ED是PBC的中位线，DEAC，又PCDEE，AE平面PCD，eq f(VABCED,VAPDE)eq

13、 f(f(1,3)S四边形BCEDAE,f(1,3)SPEDAE)eq f(S四边形BCED,SPED)3.考点三平行与垂直的综合问题|空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点，归纳起来常见的命题探究角度有：1以多面体为载体考查平行与垂直的证明2探索性问题中的平行与垂直问题3折叠问题中的平行垂直问题探究一平行与垂直关系的证明1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点求证：(1)直线BC1平面EFPQ；(2)直线AC1平面PQMN.证明：(1)连接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AD1BC

14、1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FPAD1.从而BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)连接AC，BD，则ACBD.由CC1平面ABCD，BD平面ABCD，可得CC1BD.又ACCC1C，所以BD平面ACC1.而AC1平面ACC1，所以BDAC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，则易知MNBD，从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMNN，所以直线AC1平面PQMN.探究二探索性问题中的平行与垂直问题2.如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，ACBC，ACBCCC12，M，N分别为AC，B1C1的中点(1)求线段MN的长；

15、(2)求证：MN平面ABB1A1；(3)线段CC1上是否存在点Q，使A1B平面MNQ？说明理由解：(1)连接CN.因为ABC A1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，所以ACCC1.因为ACBC，所以AC平面BCC1B1.因为MC1，CNeq r(CCoal(2,1)C1N2)eq r(5)，所以MNeq r(6).(2)证明：取AB中点D，连接DM，DB1.在ABC中，因为M为AC中点，所以DMBC，DMeq f(1,2)BC.在矩形B1BCC1中，因为N为B1C1中点，所以B1NBC，B1Neq f(1,2)BC.所以DMB1N，DMB1N.所以四边形MDB1N为平行四边形，所以MN

16、DB1.因为MN平面ABB1A1，DB1平面ABB1A1，所以MN平面ABB1A1.(3)线段CC1上存在点Q，且Q为CC1中点时，有A1B平面MNQ.证明如下：连接BC1.在正方形BB1C1C中易证QNBC1.又A1C1平面BB1C1C，所以A1C1QN，从而NQ平面A1BC1.所以A1BQN.同理可得A1BMQ，所以A1B平面MNQ.故线段CC1上存在点Q，使得A1B平面MNQ.探究三折叠问题中的平行与垂直关系3(高考四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，

17、并证明你的结论；(3)证明：直线DF平面BEG.解：(1)点F，G，H的位置如图所示(2)平面BEG平面ACH，证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BCFG，BCFG，又FGEH，FGEH，所以BCEH，BCEH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BECH.又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.(3)证明：连接FH.因为ABCDEFGH为正方体，所以DH平面EFGH.因为EG平面EFGH，所以DHEG.又EGFH，DHFHH，所以EG平面BFHD.又DF平面BFHD，所以DFEG.同理DFBG.又EGBGG，

18、所以DF平面BEG.平行与垂直的综合应用问题的处理策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含量的垂直关系7.平行与垂直综合问题的答题模板【典例】(12分)(高考山东卷)如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.思维点拨(1)法一：证明四边形DFCG为平行四边形，结合H为BC的中点可得HMBD，进而得BD平面F

19、GH；法二：利用四边形HBEF为平行四边形，证明平面ABED平面FGH，进而得BD平面FGH.(2)先证明CB平面ECH，进而得平面BCD平面EGH.规范解答(1)证明：法一：连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形，(3分)则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HMBD.又HM平面FGH，BD平面FGH，(4分)所以BD平面FGH.(5分)法二：在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BEHF.(2分)在ABC中

20、，G为AC的中点，H为BC的中点所以GHAB.(3分)又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.(4分)因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.(5分)(2)连接HE，GE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB，由ABBC，得GHBC.(7分)又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形(9分)所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.(11分)又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.(12分)模板形成 eq x(由图形特征分析平行条件)eq x(创设线面平行的条件)eq x(利用判定定理或面面平

21、行证明线面平行)eq x(分析条件中平行与垂直的关系)eq x(选定并证明线面垂直)eq x(利用面面垂直的判定证明面面垂直)A组考点能力演练1已知直线m，l，平面，且m，l，给出下列命题：若，则ml；若，则ml；若ml，则；若ml，则，其中正确的命题的个数是()A1B2C3 D4解析：中，且m，则m，因为l，所以ml，所以正确；中，且m，则m或m，又l，则m与l可能平行，可能异面，可能相交，所以不正确；中，ml，且m，l，则与可能平行，可能相交，所以不正确；中，ml，且m，则l，因为l，所以，所以正确，故选B.答案：B2设，为不同的平面，m、n、l为不同的直线，则m的一个充分条件为()A，l

22、，mlBm，C，mDn，n，m解析：对于A，l，ml，根据面面垂直的性质定理可知，缺少条件m，故不正确；对于B，m，而与可能平行，也可能相交，则m与不一定垂直，故不正确；对于C，m，而与可能平行，也可能相交，则m与不一定垂直，故不正确；对于D，n，n，则，又m，则m，故正确，故选D.答案：D3.如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE解析：因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理，DEAC，由于DEBE

23、E，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.故选C.答案：C4.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的是()A点H是A1BD的垂心BAH垂直于平面CB1D1CAH的延长线经过点C1D直线AH和BB1所成角为45解析：A中，A1BD为等边三角形，其四心合一，ABAA1AD，H到A1BD各顶点的距离相等，A正确；CD1BA1，CB1DA1，CD1CB1C，BA1DA1A1，平面CB1D1平面A1BD，AH平面CB1D1，B正确；连接AC1，则AC1B1D1，B1D1BD，AC1B

24、D，同理，AC1BA1，AC1平面A1BD，A、H、C1三点共线，C正确，故选D.答案：D5.如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部解析：BAC90，ABAC，又ACBC1，BC1ABB，AC平面ABC1，又AC平面ABC，平面ABC平面ABC1.平面ABC1平面ABCAB，点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.答案：A6四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥PABCD的任

25、意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有_对解析：由题意可得PABC，PACD，ABPD，BDPA，BDPC，ADPB，即互相垂直的异面直线共有6对答案：67如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC，BD，则ACBD，PA底面ABCD，PABD.又PAACA，BD平面PAC，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD.而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案：DMPC(或BMPC等)8已知ABC的三边长分别为AB5，BC4，AC3，M是A

26、B边上的点，P是平面ABC外一点给出下列四个命题：若PA平面ABC，则三棱锥PABC的四个面都是直角三角形；若PM平面ABC，且M是AB边的中点，则有PAPBPC；若PC5，PC平面ABC，则PCM面积的最小值为eq f(15,2)；若PC5，P在平面ABC上的射影是ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC的距离为eq r(23).其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)解：由题意知ACBC，对于，若PA平面ABC，则PABC，又PAACA，BC平面PAC，BCPC，因此该三棱锥PABC的四个面均为直角三角形，正确；对于，由已知得M为ABC的外心，所以MAMBMC.PM平面ABC，

27、则PMMA，PMMB，PMMC，由三角形全等可知PAPBPC，故正确；对于，要使PCM的面积最小，只需CM最短，在RtABC中，(CM)mineq f(12,5)，(SPCM)mineq f(1,2)eq f(12,5)56，故错误；对于，设P点在平面ABC内的射影为O，且O为ABC的内心，由平面几何知识得ABC的内切圆半径r1，且OCeq r(2)，在RtPOC中，POeq r(PC2OC2)eq r(23)，点P到平面ABC的距离为eq r(23)，故正确答案：9(扬州中学模拟)如图1，在边长为4的菱形ABCD中，DAB60，点E，F分别是边CD，CB的中点，ACEFO.沿EF将CEF翻折

28、到PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2的五棱锥PABFED，且PBeq r(10).(1)求证：BD平面POA；(2)求四棱锥PBFED的体积解：(1)证明：点E，F分别是边CD，CB的中点，BDEF.ABCD是菱形，BDAC，EFAC，翻折后EFAO，EFPO，AO平面POA，PO平面POA，AOPOO，EF平面POA，BD平面POA.(2)设AOBDH，连接BO，ABCD是菱形，ABAD，DAB60，ABD为等边三角形，BD4，BH2，HA2eq r(3)，HOPOeq r(3)，在RtBHO中，BOeq r(BH2HO2)eq r(7)，在PBO中，BO2PO210PB2，POBO，

29、POEF，EFBOO，EF平面BFED，BO平面BFED，PO平面BFED，又梯形BFED的面积为Seq f(1,2)(EFBD)HO3eq r(3)，四棱锥PBFED的体积Veq f(1,3)SPOeq f(1,3)3eq r(3)eq r(3)3.10.如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ABC45，DC1，AB2，PA平面ABCD，PA1.(1)求证：AB平面PCD；(2)求证：BC平面PAC；(3)若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积解：(1)证明：ABCD，CD平面PDC，AB平面PDC，AB平面PDC.(2)证明：在直角梯形ABCD中，过点C作CEA

30、B于点E，则四边形ADCE为矩形，AEDC1，又AB2，BE1，在RtBEC中，EBC45，CEBE1，CBeq r(2)，在RtACE中，ACeq r(AE2CE2)eq r(2)，AC2BC2AB2，BCAC.又PA平面ABCD，BC平面ABCD，BCPA，而PAACA，BC平面PAC.(3)M是PC的中点，M到平面ADC的距离是P到平面ADC的距离的一半VMACDeq f(1,3)SACDeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)PA)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)11)eq f(1,2)eq f(1,12).B组高考题型专练1(高考

31、安徽卷)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一个平面解析：A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确答案：D2(2014高考广东卷)如图(1)，四边

32、形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2.按图(2)折叠：折痕EFDC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥M CDE的体积解：(1)证明：PD平面ABCD，PD平面PCD，平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，MD平面ABCD，MDCD，MD平面PCD，CF平面PCD，CFMD，又CFMF，MD，MF平面MDF，MDMFM，CF平面MDF.(2)CF平面MDF，CFDF，又易知PCD60，CDF30，从而CFeq f(1,2)CDeq f(1,2)，EFDC，eq f(DE,DP)eq f(CF,CP)，即eq f(DE,r(3)eq f(f(1,2),2)，DEeq f(r(3),4)，PEeq f(3r(3),4)，SCDEeq f(1,2)CDDEeq f(r(3),8)，MDeq r(ME2DE2)eq r(PE2DE2)eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(3r(3),4)2blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),4)2)eq f(r(6),2)，VM CDEeq f(1,3)SCDEMDeq f(1,3)eq f(r(3),8)eq f(r(6),