最新量纲分析和相似原理专业知识讲座

1、第五章 量纲分析和相似原理51 量纲分析52 相似理论53 相似准则54 模型实验 主要内容五学习重点：理解量纲分析的意义及应用；掌握量纲分析方法掌握量纲和谐原理、相似概念及主要相 似准则的意义和应用；了解模型实验。51 量纲分析（1）量纲 是表征各种物理量性质和类别，是指物理量所属的种类。（质的表征）（2）单位 是人为规定的量度标准，量度各种物理量数值大小的标准量。（量的表征）一、量纲的概念1、量纲与单位物理量q量纲（属性）dimq单位（量度标准）1.单位：表征各物理量的大小。 如长度单位m、cm、mm；时间单位小时、分、秒等。质量单位千克、克等2.量纲：表征各物理量单位的种类。 如m、cm

2、、mm等同属于长度类，用L表示； 小时、分、秒等同属于时间类，用T表示； 公斤、克等同属于质量类，用M表示。2、量纲的分类：（1）基本量纲（独立量纲）不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。（2）导出量纲（非独立量纲）可由基本量纲导出的量纲。 如： 速度量纲： L T 1 ； 流量量纲： L3 T 1 。如：时间量纲： T长度量纲： L质量量纲： M温度量纲： 对于不可压缩流体运动，则选取M、L、T三个基本量纲，其他物理量量纲均为导出量纲。速度 dimv=LT-1； 加速度 dima=LT-2力 dimF=MLT-2； 动力粘度 dim=ML-1T-1综合以上各量纲式，可得任一物理量q的量纲di

3、mq都可用3个基本量纲的指数乘积形式表示。 alpha 角度；系数 beta 磁通系数；角度；系数 gamma 电导系数（小写） delta 变动；密度；屈光度 ,e epsilon 对数之基数 zeta 系数；方位角；阻抗；相对粘度；原子序数 eta 磁滞系数；效率（小写） , theta 温度；相位角 pi 圆周直径=3.1416 , rho 电阻系数（小写） ,s sigma 总和（大写），表面密度；跨导（小写） phi 磁通；角 psi 角速；介质电通量（静电力线）；角 omega 欧姆（大写）；角速（小写）；角补充资料 米欧 纽 克西 欧米克隆 派 柔 西格玛 陶 玉普西隆 弗爱 凯

4、 普赛 奥米伽A 阿尔法B 贝塔 伽玛 德尔塔 伊普西隆 泽塔 伊塔 西塔 约塔 卡帕 兰姆达补充资料3、导出量纲公式：dimq=M a L b Tc 1 当 a = 0， b 0， c = 0 时：为几何学量纲。2 当 a = 0， b 0， c 0 时：为运动学量纲。3 当 a 0， b 0， c 0 时：为动力学量纲。4、无量纲量（纯数、无因次量）：（1）定义：当量纲公式中各量纲指数均为零，即a=b=c=0时,则dimq=1 ，这个物理量即无量纲量。 可以由两个具有相同量纲的物理量相比得到； 也可以由几个有量纲物理量乘积组合，使组合量的量纲指数为零得到。（2）特点：2其大小与所选单位无关

5、，不受运动规模的限制。3 除能进行简单的代数运算外，也可进行对数、指数、三角函数等超越函数运算。1 客观性。 用L0M0T0表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量，如相似准则数： 量纲和谐原理是指在一个反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲必须是一致的，它是被无数事实所证明的一个客观原理。 连续性方程 伯努利方程 动量方程 二、量纲和谐原理 （3）一个正确的物理方程其量纲必须和谐一致。（2）一个物理量只有一个量纲，不同的量纲不可相加减；（1）量纲与物理量的特性有关，与物理量的大小无关； 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲必须是一致的，即只有方程两边量

6、纲相同，方程才能成立。量纲和谐原理是量纲分析的基础。2、量纲的主要特性：1、定义3、量纲分析的具体应用：（1）量纲分析法即应用量纲的和谐原理，来推求各物理量 之间的函数关系的方法。 （2）应用：1 检查所建立的物理方程是否正确；2 可用于同一量纲的单位换算； 3 确定各物理量之间的合理形式；4 设计系统实验及分析实验结果。1、瑞利法：2、定理（布金汉定理）三、量纲分析法1、瑞利法：（1）特点：可直接利用量纲一致原则进行量纲分析；（2）适用范围： 方程中物理量较少（一般45个），各量纲间的关系较易确定。（3）基本原理和步骤： 对于某一物理过程，通过观察、实验、分析， 从而找出影响该物理量的主要因

7、素： y, x1 , x2 , x3 ,xn写成指数形式：y = f (x1 , x2 , x3 ,xn ) 表示。可用函数式：量纲表示式：据量纲和谐原理有:L:1a12a2nan+a =T:1b12b2nbn+b =M:1c12c2ncn+c =123n.，解出：1 其指数关系式：（4）举例：已知影响水泵输入功率的物理量有：水的 重度 ， 流量Q，扬程 H 。求水泵输入功率N 的表达式。M L2T -3 = M L-2T -21 L3T -12 L32 量纲表达式：3 据量纲的和谐原理有：M：1 =+ 0 + 0 1L：212 = 2+ 3+3T：213 = 2+ 03=12=11=1M L

8、2T -3 = M L-2T -21 L3T -12 L3故得： N = k Q H例7-1 已知作用在做匀速圆周运动物体上的离心力 ，与物体的质量 、速度 和圆周半径 有关，试用瑞利法推导离心力公式。解 根据已知条件，离心力可以写成以下指数形式根据量纲和谐性，有 2、定理（布金汉定理）是改进了的量纲分析法，可用于物理量相对 较多的情况。（1）基本原理：设某一物理过程包含 n个物理量： f (x1，x2，xn) =0，其中有 m 个为基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由n个物理量构成的 (n- m)个 无量纲项来描述。F（1，1，n-m）= 0 即：无量纲量数组的组成方式

9、：在n个变量中取m个量纲不同的量作为基本变量，并把基本变量与其它变量中的一个组成数组，共组成（n-m）个无量纲数组，例取x1,x2,x3 为基本变量，则数组为：.这三个基本量分别表征流体物性、几何特性和运动特征 （2）m 个相互独立量纲的物理量选择： 一般可选 3个（m=3），通常分别选几何学物理量、运动学物量、动力学物理量各一个。此法一般可满足量纲相互独立。必须相互独立 表征流体物性：密度 、粘度 等 表征几何特性: 管径 、管长 等 表征运动特性：速度 、重力加速度 等 （3）确定无量纲量的方法：1 从 n 个物理量中选出 m 个相互独立的基本量；2 由 m 个基本量纲冪的乘积作为分母，未

10、列入基 本量纲的其它各物理量分别作为分子，设分子 分母量纲相同，即可求得无量纲量。如 m=3，则有：4 举例：1= x4 /(x11 x21 x31)2= x5 /(x12 x22 x32 )n-3= xn /(x1（n-3） x2（n-3） x3（n-3）)3 按量纲和谐原理求得各指数，即可得出的具体表达式。例2：管中紊流，单位管长沿程水头损失hf/L，取决于下列因素：流速 ,管径D，重力g，粘度，管壁粗糙度和密度，试用定理分析确定方程的一般形式。 解： （1）找出有关物理量 （2）选基本量 。在有关量中取v，D，为基本变量，基本量数m=3（3）组成项，决定各项基本指数。的个数N()=n-m

11、=7-3=4，显然hf/L是一个，因hf和L量纲都是长度。 1=/(a1Db1c1)= ML-1T-1/( LT-1a1Lb1ML-3c1)则 L:-a1-b1+3c1-1=0 T:a1-1=0 M:-c1+1 =0 由此a1=1，b1=1，c1=1。类似有： 2= /(a2Db2c2) 3=g/(a3Db3c3） 可得： a2=0， b2=1， c2=0 a3=2， b3=-1， c3=0 （4）整理方程式： 即 解得： 常用沿程损失公式形式为： 称沿程阻力系数，具体由实验决定。 例3：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差p与下列变量有关：管径d,l,管壁粗糙度，试求p的表达式。 解：（

12、1）找出有关物理量 F（d,l,p）=0 （2）选基本量，组成项。基本量d, n=7, m=3, 数n-m=4个 （3）决定各项基本量指数 对1： 对2： 同理得 ： （4）整理方程式 设 则 （2）量纲和谐原理是判别经验公式是否完善的基础。19 世纪，量纲分析原理未发现之前，水力学中积累了 不少纯经验公式，每一个经验公式都有一定的实验 根据， 都可用于一定条件下流动现象的描述，这些 公式孰是孰非，无所适从。量纲分析方法可以从量 纲理论作出判别和权衡，使其中的一些公式从纯经 验的范围内解脱出来。关于量纲分析方法的几点讨论：（1）量纲分析法的理论基础是量纲和谐原理。（3）应用量纲分析方法得到的物

13、理方程式，是否符合客观 规律和所选入的物理量是否正确有关。而量纲分析方 法本身对有关物理量的选取却不能提供任何指导和启 示，可能由于遗漏某一个决定性的物理量，造成方程 中出现累赘的量纲量。这种局限性是方法本身决定的。 弥补它，需要已有的理论分析方法和实验成果，要依 靠研究者的经验和对流动现象的观察认识能力。（4）量纲分析为组织实施实验研究，以及整理实验数据提 供了科学的方法，可以说量纲分析方法是沟通流体力 学理论和实验之间的桥梁。思考题 1.量纲分析有何作用？ 答：可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。

14、2.经验公式是否满足量纲和谐原理？ 答：一般不满足。通常根据一系列的试验资料统计而得，不考虑量纲之间的和谐。 3.瑞利法和布金汉定理各适用于何种情况？ 答：瑞利法适用于比较简单的问题，相关变量未知数45个， 定理是具有普遍性的方法。 相似原理实物模型相似原理实验设备： 水池、水槽、风洞。相似理论：模型流场再现实物流场的准则指导模型实验。 实验结果推广到原型以及应用到相似的流动中。 52 相似理论 一、相似的概念1、模型实验：从模型上得到的现象可用来推断原型上可能发生的情况。模型：指与原型（工程实物）有同样的运动规律， 各运动参数存在固定比例关系的缩小物。原型： 天然水流和实际建筑物称为原型。

15、2、相似理论： 研究原型与模型之间联系的理论，即为相似理论。是模型实验的理论基础。3、流动相似 是几何相似概念的扩展。即要求在原、 模型的流动现象对应点上，同类的物理量（几何学物理量、运动学物理量、动力学物理量）具有固定的比例关系。即流动相似扩展为下面的“相似条件”。二、相似条件满足力学相似，即几何相似、运动相似、 动力相似、初始条件和边界条件相似。一、几何相似模型和实际流场的几何形状相似，即对应的线段成比例，对应的夹角相等。 长度比尺 面积比尺 体积比尺 以角标p表示原型（prototype ）,m表示模型（model）二、运动相似两个流场对应点上的速度（或加速度）的方向相同，大小成比例，即

16、 速度比尺 加速度比尺 时间比尺 重力加速度比尺 三、动力相似两个流动各对应点上受到的各种同名力方向相同、大小成比例 ，即粘性力重力压力弹性力表面张力惯性力力的比尺 密度比尺 粘度比尺 四、初始条件和边界条件相似1.初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似的充分条件，正如初始条件和边界条件是微分方程的定解条件一样。2.对于非恒定流，初始条件是必须的，而对于恒定流，初始条件则失去了意义。3.边界条件是指两个流动相应边界性质相同，比如，自由表面上的压强等于大气压强，固体边界上的法线速度为零等。几何相似是运动相似和动力相似的前提；动力相似是决定流动相似的主要因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现

17、。7-3 相似准则1.相似准则：两个流动要实现动力相似，作用在相应质点上的各种作用力的比尺要满足的约束关系。一、牛顿相似准则 2.牛顿相似准则惯性力比尺 力的比尺 牛顿数 牛顿相似准则是两个流动动力相似的充分与必要条件 二、动力相似准则 1.雷诺准则（粘性力准则）粘性力比尺 雷诺数 雷诺准则：粘性力起主要作用。2.佛汝德准则（重力准则）重力比尺 佛汝德数 佛如德准则：重力起主要作用。3.欧拉准则（压力准则）压力比尺 欧拉数 欧拉准则：动压力起主要作用。4.其它准则韦伯准则（表面张力准则） 柯西准则（弹性力准则） 马赫准则（弹性力准则） 韦伯数 柯西数 马赫数 水击、水流诱发振动超音速气流小规模流动，表面张力显著例7-5一潜艇长为L78m，水面航速为13kn,现用1：50的模型在水池中做实验测它的兴波阻力，试确定水池拖车的拖曳速度。 解：实验应按佛汝德准则进行。已知船模长度：实艇水面航速为：故实