线性代数课件：1-3 行列式的性质

1、第一章 行列式 1.1 二、三阶行列式 1.2 n 阶行列式的定义 1.3 行列式的性质 1.4 行列式的计算 1.5 Cramer法则1.3 行列式的性质 二、 行列式按行列展开法则一、 行列式的性质三、小结一、行列式的性质 记性质1.1 行列式与它的转置行列式相等.行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式. 记注 行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.transpose性质1.2 互换行列式的两行(列), 行列式变号. 推论 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式为零.性质1.3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 k , 等于用数

2、 k 乘此行列式.行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面推论1 如果行列式中某一行(列)元素全为零, 则此行列式为零推论2 如果行列式的某两行(列)的元素对应成比例, 则此行列式为零.性质1.4 若行列式的某列(行)的元素都是两数之和:则 D 等于下列两个行列式之和: 性质1.5 将行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变计算行列式时, 使用下面的记号. 表示交换第 i 行与第 j 行; 表示第 i 行乘以数 k; 表示第 j 行乘以非零数 k 加到第 i 行. 类似地, 表示交换第 i 列与第 j 列; 表示第 i 列乘以

3、数 k; 表示第 j 列乘以非零数 k 加到第 i 列. rowcolumn例1.6 计算行列式计算行列式常用方法：利用运算 ri krj 把行列式化为上三角形行列式, 从而算得行列式的值解任何行列式总可以利用运算 ri krj 把行列式化为上三角形行列式或下三角行列式任何行列式总可以利用运算 ci kcj 把行列式化为上三角形行列式或下三角行列式例1.7 已知 abcd =1, 证明说明三阶行列式展开法则 二、行列式按行列展开法则 在 det aij 中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后, 留下来的 n 1 阶行列式叫做 aij 的余子式, 记作 Mij .Aij (1)

4、i j Mij 叫做 aij 的代数余子式.每个元素都对应着一个余子式和一个代数余子式定义1.2 在 n 阶行列式 D 中, 任取 k 行 i1, i2 , , ik 与k 列 j1, j2 , , jk , k n, 将这些行与列交叉处的元素按原来相对位置构成的 k 阶行列式, 称为 D 的一个 k 阶子式, 记为 N . 划去这些行和列后所剩下的元素依原次序构成的一个 n k 阶子式, 称为 N 的余子式, 记为 M .称为 N 的代数余子式.例如, 二阶子式 M 的代数余子式考虑 det aij 的元素 a1k 的余子式和代数余子式.1, 2, , k 1, k 1, , n 的 n 1

5、 排列考虑 det aij 的元素 a1k 的余子式和代数余子式.上面两式对一切 k 1, 2, , n 都成立.通过整理 det aij 的 n! 项得到性质1.6 行列式等于它的任一行(列)的元素与其代数余子式乘积的和, 即行列式按行(列)展开法则行列式按第一行展开法则推论 行列式 det aij 的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和为 0, 即为了方便起见, 引入 Kronecker 符号则推论可以写成 例1.8 计算行列式降阶法例1.9 设求例1.10 设证明定理1.2 (Laplace) 在 n 阶行列式 D 中, 任取 k 行(列), 由这 k 行(列)所组成的一切 k 阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D. 例如, 取定 1, 3, 4 行后, D 可以表示为 个乘积的和. 例1.11 设证明 D D1D2 .三、小结1.