线性代数课件：2-2 矩阵的运算

1、第二章 矩 阵 2.1 矩阵的定义 2.2 矩阵的运算 2.3 可逆矩阵 2.4 分块矩阵及其运算 2.5 初等矩阵与矩阵的初等变换 2.6 矩阵的秩 2.7 线性方程组的Gauss消元法2.2 矩阵的运算 二、数与矩阵相乘一、矩阵的加法七、小结三、矩阵的乘法四、方阵的幂与方阵多项式五、方阵的转置六、方阵的行列式1. 定义 设有两个 m n 矩阵 A aij 和 B bij, 那末矩阵 A 与 B 的和记作 A B, 一、矩阵的加法注 (1) 只有两个矩阵同型时, 才能进行加法运算; (2) 矩阵加法不同于行列式加法.规定为 例如 2. 矩阵加法的运算规律 称为矩阵 A 的负矩阵; 1. 定义

2、 二、数与矩阵相乘 数 与矩阵 A 的乘积 (简称为数乘) 记作 A 或 A , 规定为数与矩阵乘积同数与行列式的乘积是不一样的.2. 数乘矩阵的运算规律 矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算. 设 A, B 为 mn 矩阵, , 为数, 则 例2.4已知其中求 C. 上式右边(i, j)元素 cij 等于左边的第一个行列式的第 i 行与第二个行列式的的第 j 列对应元素乘积之和. 先回顾两个 n 阶行列式的乘积公式 其中 1. 定义 三、矩阵乘法定义2.2 设 A aijmp , B bijpn 为两个矩阵, 记为 C AB . 称 mn 矩阵 C cijmn 为 A 与 B 的乘积, 注

3、只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数 时, 两个矩阵才能相乘.类似地, 可以给出两个矩阵的乘积的定义. 令例如, 没有意义. 例2.5 求 AB, 其中2. 矩阵乘法的运算规律(1) 设 A aijmp, B bijpq, C cijqn, 则 (2) 设 A aijmp, B bijpn, C cijpn, D dijns, 则 (3) 设 A aijmn , Em, En 分别为m, n 阶单位矩阵, 则 注 矩阵乘法不满足交换律, 即 AB BA. (1) AB 有意义时, BA 未必有意义;(2) 即使 AB, BA 皆有意义, 两者未必同型, 从而也 未必相等;(3) 即使 A

4、B, BA 皆有意义, 且两者同型, 也未必有 AB BA . 如果矩阵 A 与矩阵 B 满足 AB BA 则称矩阵 A 与B 是可交换的 则故 AB BA . 本例还说明: (1) 从 AB 0 一般不能推出 A 0 或 B 0 ; (2) 从 A( X Y ) 0 一般不能推出 X Y .例如, 设A1 A注 只有方阵 它的幂才有意义 2、矩阵的幂的运算规律 设 k, l 为非负整数, 则(1) Akl Ak Al ;(2) (Ak)l Akl . 设 A 是 n 阶方阵 定义 A 的幂为A2 A1A1 ,Ak1 AkA1.A0 E四、方阵的幂与方阵多项式 1、定义 注 当 A 与 B 可

5、交换时 有 (AB)k AkBk (A B)2 A2 2AB B2 (A B)(A B) A2 B2但也有例外, 如设则有由矩阵乘法不满足交换律, 一般地 (AB)k AkBk . 设 为一元多项式, 其中 a0, a1, , an 为多项式的系数. 设 A 为方阵, 则称 为方阵 A 的多项式. (3) 设 f (x), g(x), h(x) 为一元多项式, A 是方阵. 如果 f (x) g(x) h(x), 则 f (A) g(A) h(A). 例2.6 设求例2.7 计算 把 mn 矩阵 A 的行换成同序数的列所得到的 nm 矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵, 记作 AT.例如设则 1.

6、定义五、转置矩阵 2、转置矩阵的运算性质设 A 为 n 阶实方阵, 如果则称 A为实对称 矩阵, 简称为对称矩阵.注 对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等. 设 A 为 n 阶实方阵, 如果则称 A为反实 对称矩阵, 简称为反对称矩阵. 注 反对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应为相反数, 特别地, 主对角线上的元素为零. 例2.8 设 A, B为同阶方阵, 则是对称矩阵.E 为 n 阶单位矩阵, 证明H是对称 矩阵, 且 例2.9 设列矩阵 满足由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式, 称为方阵 A 的 行列式, 记为 A 或 det A .例如则六、方阵的行列式 设 A, B 为n 阶方阵, k 为数, 则有如下性质: (1) AT A ; (2) kA kn A ; (3) AB A B, 从而有 AB BA . 矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵方阵的行列式方阵的幂与方阵多项式七、小结 (1) 只有两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法运算; 矩阵的加法运算与行列式的加法运