线性代数课件：5-2 二次型

1、第五章 二次曲面与二次型 5.2 二次型 5.3 正定二次型 5.1 二次曲面5.2 二次型 一、二次型及其矩阵表示 三、规范型与惟一性 二、二次型的标准型 四、用正交变换化二次型为标准型 五、小结 关于变量 x1, x2, , xn 的 n 元(实)二次型是一个如下形式的实系数的二次 n 元多项式: 一、二次型及其矩阵表示 则二次型有对称形式 令 上式的系数刚好组成一个实对称矩阵 记 x (x1, x2, , xn)T,则二次型的矩阵表达式为这里, A 是由 f (x1, x2, , xn) 唯一确定的实对称矩阵, 称为二次型 f (x1, x2, , xn) 的矩阵; 矩阵 A, 可唯一确

2、定一个二次型 f , 反之, 一个实对称 因此, 二次型与实对称矩阵之间存在一一对应关系. 称 f 为 A 的二次型. 作线性变换 令则线性变换的矩阵表示形式为 x Cy, 当系数矩阵 C 可逆时, 称这个线性变换是非退化的, 或可逆的. 记将非退化线性变换 x Cy 代入二次型 f xTAx, 得 这是新二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系. 非退化线性变换使得新、旧二次型的矩阵是合同的. 定义5.1 设 A, B 为 n 阶方阵, 若有 n 阶可逆矩阵 C , 使得 B CTAC, 则称 A, B 是合同的, 记作 A B. 方阵之间的合同关系满足反身性、 对称性和传递性. 对单位矩阵作

3、一次初等变换得到的矩阵为初等矩阵,而相应的初等行变换与初等列变换所对应的初等矩阵是互为转置的.因而对一个 n 阶方阵 A 作一次初等列变换的同时作一次相应初等行变换, 得到的矩阵 B 是与 A 合同的.称这样的变换为方阵的合同变换. 二、 二次型的标准形 二次型的中心问题是如何用非退化线性变换把二次型化为标准形.称为二次型的标准形. 只含平方项的二次型 定理5.1 任意一个二次型都可以经过非退化线性变换化为标准形. 二次型的标准形对应的矩阵是对角矩阵, 反之亦然.例5.1 用配方法化二次型为标准形. 定理5.1可用矩阵语言叙述为定理5.2 对任何一个 n 阶实对称矩阵 A, 一定存在可逆矩阵

4、C, 使 CTAC 为对角矩阵.例5.2 用合同变换化实对称矩阵 为对角矩阵. 可把例1中的二次型化为 比较例5.1的结果知, 二次型的标准形是不惟一的. 例5.2的 A 实际上是例5.1中二次型的矩阵, 因此若令 用可逆线性变换化实二次型 f (x1, x2, , xn) 为标准形, 适当排列变量顺序, 可以设标准形为 再作可逆变换 其中显然, r 是矩阵 A 的秩. 三、规范形与唯一性 称上式为实二次型 f (x1, x2, , xn) 的规范形. 定理5.3 (惯性定理) 任何一个实二次型均可经过可逆线性变换化为规范形, 且规范形是唯一的. 把标准形化为如下形式定义5.2 在实二次型 f

5、 (x1, x2, , xn) 的规范形中, 正平方项的个数 p 称为正惯性指数; 负平方项的个数 r p 称为负惯性指数, 而它们的差 p (r p) 2p r 称为符号差. 实对称矩阵的秩称为其对应的二次型的秩. 因此, 二次型的秩、正惯性指数、负惯性指数和符号 差都是二次型在非退化线性变换下的不变量.四、用正交变换化二次型为标准形实对称矩阵存在正交矩阵使其相似对角化, 因此定理5.4 对任何一个实二次型 f (x1, x2, , xn), 一定有正交变换 x Q y, 使得 如果不考虑变量顺序, 实二次型在正交变换下的标准形是唯一的, 各平方项的系数恰为A的全部特征值. A 的正(负)特

6、征值的个数恰为 A 的正(负)惯性指数.(2) 求出 A 的所有不同特征值 1, 2, , s . (3) 求出对应的线性无关的特征向量向量组(5) 作正交变换 x Cy, 得 f 的标准形用正交变换化实二次型为标准形的具体步骤(1) 将实二次型表示成矩阵形式 f xTAx, 求出 A. (4) 将特征向量 标准正交化, 得标准正交 例5.3 求下列实二次型在正交变换下的标准形:例5.4 求一个正交变换 x Py, 把实二次型化为标准形. 五、小结 1. n 元实二次型与 n 阶实对称矩阵之间是一一对应的. 2. 非退化线性变换使得新、旧二次型的矩阵是合同的, 合同是等价关系.3. 任意一个二次型都可以经过合同变换化为标准形; 有三种方法化