专题16《对角互补模型》

1、专题 16对角互补模型破策1等之90”如图，AOB90，OC 分，则DC E （1）；（2）2OC；（3） SOCE 2证 方法：图，过点 C 分别 ，垂足分别为 M 由角平分线的性质可得 ，MCN90所以NCE 从而NCE（ASA， 故 CDCE 易证四边形 MONC 为正形MDC所以 ODOEODON2 2 OCN所以 S正方形MON2OC2方二如图，过 作 ， OB 于点 易证EFC45，DCOECF 所以ECF（ASA所以 CD，ODFE可得 ODOEOF OC DC所以 SOC2 F【拓】如，当DCE 的一边与 AO 的延长线交于点 时则：CD1（1）；（2）OC；（3） SOCEO

2、CDOC2如图，证明同上MOD EODF 2等之120”如图，AOB2120， 平分，则：CDO（1）；（2）；（3）2证方一如图，过点 C 分别 ，垂足分别为 M，所以OCDOCE2 SONC 2易证NCE（ASA， 所以 CDCEODOEOCCMADO DO FB方二如图，以 CO 为边FCO60，交 OB 点 ， eq oac(,则)OCF 等边三角形 易证ECFASA）所以 CD，ODOEOC，2 eq oac(,S)OCD eq oac(,S)OCE eq oac(,S)OCFOC【拓展】如图，当 的一边与 BO 的延长线交于点 E 时则（1）；）；） eq oac(,S) eq o

3、ac(,S)如图，证明同上AAAOCDDCDCMEOBEO N E F 3、等之任角如图，AOB ，180 ，OC 分AOB则：（1）；）2 （3 eq oac(,S)ODC eq oac(,S)OECD E证明：方法一：如图，过点 C 分作 CMOA，垂足分别为 M，ADB N 易证NCEASA），2ON2OCcos 2 OC sin eq oac(,S)ODC eq oac(,S)OEC 方法二：如图，以 CO 为一边作2 DC F易证ECFASA），2cos，交 OB 于 sin eq oac(,S)ODC eq oac(,S)OEC eq oac(,S)OCF【拓展】如图，当 的一边与

4、 BO 的延长线交于点 E 时则（1）；）2 （3 eq oac(,S)ODC eq oac(,S)OEC3如图，证明同上DAA OCE O BCE O B4、似之90”如图，AOB90，COB ，则 CEtan 方法一：如图，过点 C 分作 OACNOB垂足分别为 M、N DMCO N易证NCENE CE CN MD ，即 CEtan方法二：如图，过点 C 作 ， OB 于点 F ADCE F易证ECFBFE CF OD CD CO，即 CECDtan方法三：如图，连接 AD B易证 D、 点共圆CDECOE ，故 CEtan【拓展】如图，当 的一边与 AO 的延长线交于点 D 时则 CEt

5、an4D如图，证明同上AAO EBO EDEBDD例讲例 1已 是 内接三角形ABAC在 所对弧 BC 上任取一点 D连 AD， ，（1）如图 1，BAC120，那么 CD 与 AD 间的数量关系是什么？（2）如图 2，BAC ，么 BD 与 AD 之间的数量关系是什么？DD C图1图2解：（1）D3ADBEOCA F如图 3，过点 A 分别向BDC 的两边作垂线，垂分别为 、 由题意可得ADBADC30易证AFC23AD2AD sin如图 4，作EADBAC，交 DB 的长线于点 DFO图 45PM PN AD PM PN AD 则EBA，以 AED作 AF 于点 ，则2所以 BD2DF2A

6、D sin 2例 如 1，将一个直角三角板的角顶点 P 放在正方形 的角线 上滑动，并使其 一条直角边始终经过点 ，一直角边与 相交于点 F求证：；如图 ，将中的正方形变为矩形，其余不变，且 AD，8，求 ： 的； 如图 ，在的条件下，当 P 滑到 的延长线上时AP： 的值是否发生变化？DDDF E图 1 B 图 图 E解如图 4，过点 P 分别作 ，足分别为 M，则 PM，MPN90，由已知条件可得APE，所以APMEPN，以APM 故 APM PD E N图 4如图 ，过点 P 分别 PM，足分别为 ，则 ，D 所以BDABC可得 ，以 AD BD CD CD 4易证EPN所以 PM PN

7、 DM E 图 5 的不变如，理由同MDF图 6 NE进训6 1 1 1如图，四边形 ABCD 被角 分等腰 和 RtCBD，中BAD 和 都是 直角，另一条对角线 的度 2，则四边形 的积为_ D第 题图答案：四边形 的面积为 2【提示证 A 四点共圆BCABDAABDACD全等型90的结论可得 AC22在ABC 中，A， 是 BC 边中点，EDF，DE 与 AB 边相于 点 ， 与 边或 AC 边的延线）相交于点 D 第 题 F D 第 1 题图 2F如图 ， 与 边交于点 ，求证BECF；如图 2，将图 1 中 绕 D 顺针旋转定的角度，使 DF 与 AC 边的延长线交于点 F，作 DN

8、 于 N，若 ，证：CF 3 （）答案：略【提示点 D 作 DG 交 于 DFC BEGF D C第 题答图 1AB过点 D DG 交 AB 于点 G，同可得 BE DC ，长 至 H，使2 3得 BH 2 2 BECF 7（）GHD 第 题答 2F3在菱形 ABCD 中两条对角线 AC，BD 交于点 O，MON，MON 绕 旋转，射线 OM BC 于 E射线 ON 交 CD 于 ，连结 EF如图 ，当ABC90时，OEF 的状_；如图 ，当ABC60时，请判断OEF 形状，并说明理由；如图 3，在的条件下，将 的点移动 的中点 O处，MON 绕点 O旋转，仍 满足BCD180射线 交线 于 ，射线 ON 交线 于 ，当 BC