多面体外接球

1、6求多面体的外接球半径一般需确定球心的位置；长方体正方体的对角线是其外接球的直径；将多面体“补成长方体正方体是研究多面体外接球的常用的方法。举例1三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC, AB丄BC,假设PA=AC=f2，则该三棱锥的外接 球的体积是.3解析：思路一：“找球心”到三棱锥 四个顶点距离相等等的点3注意到PC是Rt/PAC和Rt /PBC的公共的斜边，记它的中点为0,1则0A=0B=0P=0C= - PC=1，即该三棱锥厶的外接球球心为0,半径为1,故它的体积为:方法二：“补体”，将三棱锥补成长方体，如下图；它的对角线PC是其外接球的直径。举例2正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球

2、面上，假设该正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为-46，则 这个球的外表积为。解析：正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1 上,记为 0, P0=A0=R, P0=4, 00=R-4, 或 00 =4-R此时 0 在P0的延长线上在Rt /A010中，R2=8+(R-4)2得R=3,球的外表积S=36兀 稳固1如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6 cm2、4 cm2和3 cm2，那么它的外接球的体积是稳固2 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一 个大圆上，则该正三棱锥的体积是：07高考陕西理6A瘓 (B)也(C)也 (D)也43412迁移点

3、P在直径为2的球面上，过P两两垂直的3条弦，假设其中一条弦长是另一条的2倍，则这3条弦长之和的最大值是。8球的内接正多面体和外切正多面体的中心均为球心。球的内接长方体的体对角线是球的直径，球的外切正方体的边长是球的直径，与边长为a的正方体各条棱都相切的球的直径 为Q a；边长为3的正四面体的内切球的半径为害a正四面体高的4，外接球的半径6。4 TOC o 1-5 h z 举例已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O,经过该棱锥A-BCD三侧棱中点的截面 为d，则O到平面d的距离为。解析：记棱锥A-BCD的高为AO1，O在AO1上且OOAO AO1与面d交于M,贝V111 41111V6MO1=

4、 AO1，故 MO= OO1= AO1 =1 211 41 121,.小 abc1.稳固1P在面ABC上的射影为O,则OA=OB=OC=OP=R, S = absm C = aabc 24 R1abcV = S R =10，故选 B；稳固 2；2、稳固450 3、稳固 11： 2；P - ABC 3 AABC12L2929稳固2B； 4、稳固2 ； 5、稳固3： 16； 6、稳固1兀，稳固2C，6迁移设三条弦长分别为x,2x,y则：x2+(2x)2+y2=4,用椭圆的参数方程求3x+y的最大值为 2帀5； 7、稳固B； 8、稳固C四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考

5、的知识点，对于学生来说这是一个 难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心 在什么位置，半径是多少而无法解题。本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c，则体对角线长为Il =、；a 2 + b 2 + c 2，几何体的外接球直径2R为体对角线长/即l =、；a 2 + b 2 + c 2【例题】：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为1, ,6,3,假设该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的外表积。解：因为：长方体外接球的直径为

6、长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE的长即：4R2 AB2 + AC2 + AD24 R 2 12 + 32 + 62 16 所以 R 2球的外表积为S 4兀R 2 16兀二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球 O的球面上，AB丄BC且PA 7,PB 5，PC -，AC 10,求球O 的体积。解: AB 丄 BC 且 PA 7，PB 5，PC 51，AC 10,因为 72 +、；512 102所以知 AC 2 PA2 + PC 2所以PA丄PC 所以可得图形为:在RtAABC

7、中斜边为ac在RtPAC中斜边为AC取斜边的中点O,在 RtAABC 中 OA OB OC在 RZAC 中 op - OB - OC所以在几何体中OP OB OC OA，即O为该四面体的外接球的球心R 1 AC 52所以该外接球的体积为V = 4兀R3 = 500殳33【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥A -【例题】：已知在三棱锥A -BCD中，AD丄面ABC , ABAC = 120。,Cy设球心坐标为O( x, y, z)则AO = BO二CO = DO ,由空间两点间距离公式知x 2 +

8、 y 2 + z 2 = (x 一 2)2 + y 2 + z 2x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + (z 一 2)2x2 + y2 + z2 (x 1)2 + (y 3)2 + z2解得 x 1 y z 13所以半径为R = 12 +()2 +12 33【结论】空间两点间距离公式：PQ-J(x1 - x2)2 + (y1-y2)2 + (z1-z2)2四、四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a时，它的外接球半径为卫a。45. （2012.唐山模拟）一个几何体的三视图如下图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何

9、体的外接球的外表积为（）8nAm16nB 3C. 4卩 解析D. 2：3n根据三视图复原几何体为一个如下图的三棱锥D -ABC，其中平面ADC丄平面ABC , ADC为等边三角形.取AC的中点为E,连B接DE、BE ,则有DE丄AC ,所以DE丄平面ABC ,所以DE丄EB.由图中数据知 AE = EC = EB=1 , DE二导,AD二訂AE2 + DE2 = 2 = DC = DB , AB = BC=；2 , ACO，则它落在高线DE上，连接OA，则 有AO2=AE2 + OE2 = 1 + OE2 , AO = BO = DE - OE二导-OE ,所以AO二三，故球O的半径为三，故所求几何体的外接球的學兀，故选B.外表积學兀，故选B.外表积S =2012 广州模拟一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底9面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8底面周长为 3，则这个球的体积为答案：4答案：4n39解析：正六棱柱的侧棱长h = i 3 =，6嗥球心在六棱柱的最长体对角线上球的直径、正棱柱的侧棱、底