中等数学2006-西部奥林匹克

1、 HYPERLINK / HYPERLINK / 2005中国西部数学奥林匹第一已知a200矿005可表示成以3、哈为变元的二元多项式求这个多项式的系数之和（朱华伟供题如图l，过圆外一点P作圆的两条切线PA、PB,AB为切B为切点，再过P作圆的一条割分别交圆于C、D图垂直过点A作AF垂直于D,F为垂足求证：BD平分线段AF.（边红平供题在等腰Rt,6 ABC中，CA=CB=l,P是.ABC边界上任意一点求PAPBPC的最大仇（李伟固 供题设正实数a、b、c满足（李胜宏供题8设n个新生中，任意3个人中有2人互相认识，任意4个人中有210(a3+（李胜宏供题8设n个新生中，任意3个人中有2人互相认

2、识，任意4个人中有2点，过切点B作PA的平行线分别交直AC、AD于E、F求证：BE= （冷岗松供题设S= II.2,-,2005!若S中任意n质数，试求n的最小值 （唐立华供题）已知实数XiX2,，x. (n 2)li、x,I I, Ix1I (i = 1,2,.,识试求n的最大（唐立华供题参考答解法1：在ak矿的展开式中，令啦 1，其所求系数之和为Sk =aK 矿(a+ ft)(ak-1 +/f-有(a十ff)+a/J(a-i+矿一2)，心s,_1- sk-2有= 求证：存在正整数k，使从而，sks. _2 - 同理s,._i = - sk-所以，s,3) - sk-2 = - sk-II飞

3、X;-I=i =k+ 第二如图OO1、002交A、B两点过（冷岗供题于是，数列Isk！是以6为周期的周期数列故S沁I=1 =I.解法2：在a+矿的展开式中，令a+J=I,啦1，其所求系数之和为s.: k+ ff则a、p是方程x2-x = 0的根由此解得亢、亢亢os了isin了1=cos了isin化的直线DC交 00l于点D且切002于点C,CA切00l于点A,OO1的弦AE与直线故a+=(cos千i sin千）k+(cos千一i sin千=(cos令穴i sin勺cos令亢一i sin午 HYPERLINK / 2006 HYPERLINK / 2006年第43= 2c3取k=2005，得S,

4、Ap Ap乙店C乙乙图图，面a15吁5习72 矛盾(2)若IE A，不妨设a16 = I, a1, a2,，a15均为“pi 2. a2吁;a,j, 矛盾数，即n =IA I= 16时结论成立综上，所求n的最小值为4冷g(O)=- 又乙ABF乙PAB乙ADB，所以心i BF 彻而，另一方面，又因，面两豆尸丙而PA=PB，则 面尸千是千是故由式CD、即知BE= 首先有n习事实上，取集合A。11,2,52,41气432则A。 S,IA。I= 15,A。中任意两数互质，但其中无质数，这表明n l6.其次证明：对任意A S,n= IAI = 16,A中任利用反证法A= Ia1, a2,a16I,a1

5、ai 分两种情况讨论(I)若l茫A，则a, a2, a16均为合数又因为(aa)= I(I:;i j:,;16)，所以，a,与a)的质因P2p? 才，a2p；习=一江，（lK幻n-iig(n)=则lg(l)- g(OI =21x1I 2. lg(k+ 1)-g(k)I=21xh1I立，kI,2,，n2, lg(n)- g(n- I)I =21x.所以，对任何O k n- I，均II) - g(k)I立假设结论不真，则由条件对任何0!;:k n，均有 I g(k) I 这时，若存在O i n一），有g(i) 则不妨设g(i)O,g(i+ 此时，由式知g(i) I, g(i + I) 2; 与式矛

6、盾于是，g(O),g(l),g(n)同号，AF交BD千点联结AB、BC、BH、 BE、CE、由对称性边CE也是图的切线，H为AE的中点 HYPERLINK / HYPERLINK / 中等数又乙BEC乙BDE乙 BHC=乙 乙AGB=f乙由E上C，得乙AHB=f乙因此，GHIiDE.而H为AE的中点，故G为AF的中点6.(1)如图5，当PEAC时，-!,-PB -!,-4PC:s;等号成立7因为江a3= l - 3lI(a +故原不等IOl - 3IT(a + b) - 9l- 51J (a + b) ah)泛451T(a+b)( a2+ah)扭3( a2ah);:2=2（=2(江、a2 +

7、a2,;:, 而a2b2;:2ah,b2c2,;:,2bc,c2故2:沪ah，即a2,;:, 从而，原不等式成立所求n的最大值为其中等号不成立（因为两个等号不可能同时成立即4PAPBPC 即4A图图(2)如图6，当PEAB时，设AP=xEO，丘则f(x)PA2P矿x2(/2-寸(l +兀2-令tX(fi.X)tE o，+,/(X)=g(t)= t2(I - 注意到g(t) =2t-3t2 = t(2-3t)，所以当n=8时，如图所示的例子满足要求，其中A, A2,，A8表示个学生，A,与A丿的连线表示A，与A丿认识下设n个学生满题设要求，证明n8图(l)若某人A至少认识6个人，记为B,B2, B6，由拉姆赛定理，这6个人中或存在3个人互不相识，与已知任意3个人中有2个人互相认识矛盾；或存在3个人互相认识，这时，A与这3个人共4个人两两互相认识，与已知矛盾(2)若某人A至多认识n-5个人，则剩下至少 4个人均与A