2022年秋新教材高中数学课时跟踪检测二十一棱柱棱锥棱台的表面积和体积新人教A版必修第二册

1、PAGE PAGE 6棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积层级(一)“四基”落实练1正方体的表面积为96，则正方体的体积为 ()A48eq r(6)B64C16 D96解析：选B 设正方体的边长为a，则6a296，a4，V正方体a364.故选B.2已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为 ()A6 B12C24 D48解析：选D正四棱锥的斜高heq r(5232)4，S侧4eq f(1,2)6448.故选D.3.如图，ABCABC是体积为1的棱柱，则四棱锥CAABB的体积 是 ()A.eq f(1,3) B.eq f(1,2)C.eq f(2,3) D.eq f(3,4)解析：选C

2、VCABCeq f(1,3)VABCABCeq f(1,3)，VCAABB1eq f(1,3)eq f(2,3).故选C.4.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距 离为1 m，则这个六棱柱的体积为 ()A.eq f(r(3),4) m3 B.eq f(3,4) m3C.eq f(r(3),2) m3 D.eq f(1,4) m3解析：选B设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah1，eq r(3)a1，解得aeq f(r(3),3)，heq f(r(3),2).所以六棱柱的体积Veq f(r(3),4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(

3、3),3)26eq f(r(3),2)eq f(3,4)(m3)故选B.5(2020全国卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ()A.eq f(r(5)1,4) B.eq f(r(5)1,2)C.eq f(r(5)1,4) D.eq f(r(5)1,2)解析：C设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m.依题意得h2eq f(1,2)2am，即h2am，易知h2a2m2，由得meq f(1r(5),2)a，所以eq f(m,2a)eq f

4、(f(1r(5),2)a,2a)eq f(1r(5),4).故选C.6如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1ACD的体积是_解析：三棱锥D1ADC的体积Veq f(1,3)SADCD1Deq f(1,3)eq f(1,2)ADDCD1Deq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,6).答案：eq f(1,6)7长方体过一个顶点的三条棱的棱长的比是123，体对角线长为2eq r(14)，则这个长方体的体积是_解析：依题意，设三条棱的长分别为x,2x,3x，则eq r(x22x23x2)2eq r(14)，解得x2，即三条棱长分别为2,4,6，于是体积V24648.

5、答案：488.如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC 两两互相垂直，又PA2，PB3，PC4，求三棱锥PABC的体积V.解：三棱锥的体积Veq f(1,3)Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，PAC作为底面求解故VPABCeq f(1,3)SPACPBeq f(1,3)eq f(1,2)2434.层级(二)能力提升练1.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1AEF的体积为2，则四棱柱ABCDA1B1C1D

6、1的体积为 ()A12 B8C20 D18解析：选A设点F到平面ABB1A1的距离为h，由题意得VA1AEFVFA1AEeq f(1,3)SA1AEheq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)AA1AB)heq f(1,6)(AA1AB)heq f(1,6)S四边形ABB1A1heq f(1,6)VABCDA1B1C1D1，所以VABCDA1B1C1D16VA1AEF6212.所以四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为12.2若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为eq f(r(33),6)a，则此正三棱台的侧面积为 ()Aa2 B.eq f(1,2)a

7、2C.eq f(9,2)a2 D.eq f(3,2)a2解析：选C 如图，O1，O分别为上、下底面的中心，D，D1分别是 AC，A1C1的中点，过D1作D1EOD于点E.在直角梯形ODD1O1中，ODeq f(1,3)eq f(r(3),2)2aeq f(r(3),3)a，O1D1eq f(1,3)eq f(r(3),2)aeq f(r(3),6)a，DEODO1D1eq f(r(3),6)a.在RtDED1中，D1Eeq f(r(33),6)a，则D1D eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),6)a)2blc(rc)(avs4alco1(f(r(33),6)a)2)eq

8、 r(f(3,36)a2f(33,36)a2)a.S侧3eq f(1,2)(a2a)aeq f(9,2)a2.3一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图中水面的高度为 ()A.eq f(3,2) B.eq f(7,4)C2 D.eq f(9,4)解析：选D因为E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，所以棱柱EFCBE1F1C1B1的体积VS梯形EFCB3eq f(3,4)SABC3eq f(9,4)SABC.设如图中水面的高度为h，则SABCheq f(9,4)SA

9、BC，解得heq f(9,4).故选D.4.如图，已知正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO3，求此正三棱锥的表面积解：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h，过点O作OEAB，与AB交于点E，连接SE，则SEAB，SEh.S侧2S底，3eq f(1,2)ah2eq f(r(3),4)a2.aeq r(3)h.SOOE，SO2OE2SE2.32eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),6)r(3)h)2h2.h2eq r(3)，aeq r(3)h6.S底eq f(r(3),4)a2eq f(r(3),4)629eq r(3)，S侧2S底18eq r(3).S表

10、S侧S底18eq r(3)9eq r(3)27eq r(3).5若E，F是三棱柱ABCA1B1C1的侧棱BB1和CC1上的点，且B1ECF，三棱柱的体积为m，求四棱锥ABEFC的体积解：如图所示，连接AB1，AC1.B1ECF，梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积又四棱锥ABEFC的高与四棱锥AB1EFC1的高相等，VABEFCVAB1EFC1eq f(1,2)VABB1C1C.又VAA1B1C1eq f(1,3)SA1B1C1h，VABCA1B1C1SA1B1C1hm，VAA1B1C1eq f(m,3)，VABB1C1CVABCA1B1C1VAA1B1C1eq f(2,3)m，VAB

11、EFCeq f(1,2)eq f(2,3)meq f(m,3)，即四棱锥ABEFC的体积是eq f(m,3).层级(三)素养培优练1.一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1 000元，则气体费用最少为 ()A4 500元 B4 000元C2 800元 D2 380元解析：选B由题意可知， 文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少

12、间隔0.3米，所以由正方形与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.920.31.5 m.文物高1.8米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，所以正四棱柱的高为1.80.22 m.则正四棱柱的体积V1.5224.5 m3.因为文物体积为0.5 m3，所以罩内空气的体积为4.50.54 m3.因为气体每立方米1 000元，所以共需费用至少为41 0004 000元2.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO和较小的棱锥PO.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积解：(1)由题意知S小棱锥侧S大棱锥侧14，则S大棱锥侧S小棱锥侧S棱台侧413.(2)