2022年秋新教材高中数学第四章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第二课时等差数列的性质及其应用课件新人教A版选择性必修第二册

1、第二课时等差数列的性质及其应用题型一等差数列的性质及应用 学透用活若an是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足mnpq，则amanapaq.(1)特别地，当mn2k(m，n，kN*)时，aman2ak.(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项之和，即a1ana2an1akank1.(3)若an是公差为d的等差数列，则can(c为任一常数)是公差为d的等差数列；can(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；anank(k为常数，kN*)是公差为2d的等差数列(4)若an，bn分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列panqbn(p，q是常数)是公差为pd1qd2的

2、等差数列典例1(1)设an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37()A0 B37C100 D37(2)已知数列an是等差数列，且a1a5a9a13a17117，则a3a15_.解析(1)设cnanbn，由于an，bn都是等差数列，则cn也是等差数列，且c1a1b12575100，c2a2b2100，cn的公差dc2c10.c37100，即a37b37100.(2)在等差数列an中，若mnpq，则amanapaq，a1a17a5a13.由条件等式，得a9117.a3a152a92117234.答案(1)C(2)234本例(1)应用了等差数列的性质：若an，bn是

3、等差数列，则anbn也是等差数列本例(2)求解主要用到了等差数列的性质：若mnpq，则amanapaq.对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立例如，a15a7a8，但a6a9a7a8；a1a21a22，但a1a212a11.灵活运用等差数列的某些性质，可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的锻炼对点练清1已知an为等差数列，a4a7a1030，则a32a5的值为()A10 B10 C15 D15解析：法一：设等差数列an的公差为d，则30(a13d)(a16d)(a19d)3a118d，即a16d10.故a32a5(a12d)2(a14d)a16d1

4、0.法二：由等差数列的性质知30a4a7a103a7，则a710.故a32a5a3(a3a7)a710.答案：B2在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.解析：a3a7a4a62a5，(a3a7)(a4a6)a55a5450，解得a590.a2a82a5180.答案：180题型二灵活设元求解等差数列 学透用活典例2(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为8，求这四个数常见的设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：ad，ad，公差为2d；(2)三个数成等

5、差数列且知其和，常设这三个数为：ad，a，ad，公差为d；(3)四个数成等差数列且知其和，常设这四个数为：a3d，ad，ad，a3d，公差为2d.对点练清已知单调递增的等差数列an的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列an的通项公式题型三等差数列的实际应用 学透用活典例3某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解设从第1年起，第n年的利润为an，则a1200，anan120(n2，nN)，每年的利润an可构成一个等差

6、数列an，且公差d20，ana1(n1)d200(n1)(20)22020n.若an0，则该公司经销这种产品将亏损，由an22020n0，得n11，故从第12年起，该公司经销此产品将亏损解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息若一组数按次序“定量”增加或减少，则这组数成等差数列合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题对点练清某县2018年12月末人口总数为57万，若人口总数每月按相同数目增加，到2019年12月末人口总数为57.24万，则2019年10月末的人口总数为()A57.1万 B57.2万C57.22万 D57.

7、23万解析：由题意知，人口总数可以看成是一个以57为首项，d为公差的等差数列an，则a157，a1357.24，则由a13a112d，得57.245712d，解得d0.02，于是2019年10月末的人口总数是a11a110d570.257.2(万)，故选B.答案：B课堂思维激活一、综合性强调融会贯通1在两个等差数列2,5,8，197与2,7,12，197中，求它们的公共项从小到大依次排列构成的数列的通项公式及公共项的个数解：设两数列的公共项从小到大依次排列构成的数列为cp，则c12.两数列为等差数列，且易知它们的公差分别为3,5，数列cp仍为等差数列，且公差d15.cpc1(p1)d2(p1)

8、1515p13.令215p13197，知1p14.两数列共有14个公共项二、应用性强调学以致用2.如图所示，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD21 cm，这三个正方形的面积之和是179 cm2.(1)求AB，BC，CD的长；(2)以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？三、创新性强调创新意识和创新思维3对于给定的正整数k，若数列an满足：ankank1an1an1ank1ank2kan，对任意正整数n(nk)总成立，则称数列an是“P(k)数列”(1)证明：等差数列an是“P(3)数列”；(2)若数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：an是等差数列证明：(1)因为an是等差数列，设其公差为d，则ana1(n1)d，从而，当n4时，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1,2,3，所以an3an2an1an1an2an36an，因此等差数列an是“P(3)数列”(2)数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当n3时，an2an1an1an24an，当n4时，an3an2an1an1an2an36an.由知，an3an24an