2022-2023学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法学案新人教B版必修第一册

1、PAGE 13PAGE 1.1集合集合及其表示方法课程标准(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合(3)在具体情境中，了解空集的含义新知初探自主学习突出基础性教材要点知识点一集合的概念在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素知识点二元素与集合的表示及关系1元素与集合的符号表示表示元素：通常用英文小写字母_表示2元素与集合的关系关系语言描述记法示例a属于集合Aa是集合A中的元素_若

2、A表示由“世界四大洋”组成的集合，则太平洋A，长江Aa不属于集合Aa不是集合A中的元素_状元随笔对元素和集合之间关系的两点说明1符号“”“”刻画的是元素与集合之间的关系对于一个元素a与一个集合A而言，只有“aA”与“aA ”这两种结果2和具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R0是错误的3集合中元素的特征特征含义确定性集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的它是判断一组对象是否构成集合的标准互异性给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现无序性集合中的元素无先后顺序之分4.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合称为

3、空集，记作.5集合的分类：集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集6几种常见的数集及其记法：所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作N；在自然数集N中，去掉元素0之后的集合，称为正整数集，记作N*或N；所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；所有实数组成的集合称为实数集，记作R.知识点三集合的表示1列举法：把集合中的元素_出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并用大括号“”括起来表示集合的方法叫做_2描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有

4、性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为x|p(x)这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法状元随笔1列举法表示集合时的5个关注点(1)元素与元素之间必须用“，”隔开(2)集合中的元素必须是明确的(3)集合中的元素不能重复(4)集合中的元素是无序的(5)集合中的元素可以是任何事物2描述法表示集合时的3个关注点(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；(3)不能出现未被说明的字母知识点四区间及其表示1区间的几何表示定义名称

5、符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|axb半开半闭区间(a，b2.实数集R的区间表示：实数集R可以用区间表示为_，“”读作“无穷大”；“”读作“负无穷大”；“”读作“正无穷大”3无穷大的几何表示定义符号数轴表示x|xaa，)x|xa(a，)x|xb(，bx|xb(，b)状元随笔关于无穷大的2点说明(1)“”是一个符号，而不是一个数(2)以“”或“”为端点时，区间这一端必须是小括号基础自测1下列能构成集合的是()A中央电视台著名节目主持人B我市跑得快的汽车C上海市所有的中学生D香港的高楼2集合xN*|x32的另一种表示法是()A0，1，2

6、，3，4B1，2，3，4C0，1，2，3，4，5D1，2，3，4，53若1a，a1，a2，则a的值是()A0B1C1D0或1或14用区间表示下列集合：(1)x|1(2)x|x1或2x3_课堂探究素养提升强化创新性题型1集合的概念经典例题例1下列对象能构成集合的是()援助武汉抗击新型冠状病毒肺炎疫情的优秀医护人员；构成集合的元素具有确定性所有的钝角三角形；2019年诺贝尔经济学奖得主；大于等于0的整数；我校所有聪明的学生ABCD方法归纳判断一组对象组成集合的依据判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素跟踪训练1下列各项中，不可

7、以组成集合的是()A所有的正数B等于2的数C接近于0的数D不等于0的偶数题型2元素与集合的关系经典例题例2(1)下列关系中，正确的有()12R；2Q；|3|N；|3|QA1个B2个C3个D4个 (2)满足“aA且4aA，aN且4aN”，有且只有2个元素的集合A的个数是()A0B1C2D3a分类处理：a0，a1，a2；a3，a4.还讨论吗？方法归纳判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可此时应首先明确集合是由哪些元素构成的(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的

8、特征即可此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件跟踪训练2(1)下列说法正确的是()A.0NB2QCRD4ZN自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集(2)集合A中的元素x满足63xN，xN，则集合A题型3集合的表示列举法教材P7例题1例3用列举法表示下列集合：找准元素，列举法是把集合中所有元素一一列举出来(1)方程x(x1)0的所有解组成的集合A；(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合(3)2022年冬奥会的主办城市组成的集合.(4)函数y2x1的图象与坐标轴交点组成的集合方法归纳1用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集合的元素(2)把元

9、素一一列举出来，且相同元素只能列举一次(3)用“”括起来2在用列举法表示集合时的关注点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么(2)元素不重复，元素无顺序如集合1，2，3，4与2，1，4，3表示同一集合跟踪训练3用列举法表示下列集合：(1)方程组2x3y=14，3x+2y=8(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(3)方程x22x10的实数根组成的集合题型4集合的表示描述法数学抽象、逻辑推理例4(1)用描述法表示平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B.状元随笔描述法注意元素的共同特征(2)已知集合Mx|x3n，nZ，Nx|x3n1，nZ，Px|x3n1，

10、nZ，且aM，bN，cP，若dabc，则()AdMBdNCdPDdM且dN(3)若集合Ax|mx22xm0，mR中有且只有一个元素，则m的取值集合是_方法归纳1描述法表示集合的两个步骤2用描述法表示集合应注意的四点(1)写清楚该集合代表元素的符号例如，集合xR|x1可以写成x|x1，而不能写成x1(2)所有描述的内容都要写在大括号内例如，xZ|x2k，kZ，这种表达方式就不符合要求，需将kZ也写进大括号内，即xZ|x2k，kZ(3)不能出现未被说明的字母(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写例如，方程x22x10的实数解集可表示为xR|x22x10，也可写成x|

11、x22x103解答集合表示方法综合题的策略(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键教材反思列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素跟踪训练4用

12、适当的方法表示下列集合：(1)所有被5整除的数；(2)如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合(3)不等式组3x21，2x1(4)二次函数yx22x10的图象上所有的点组成的集合题型5用区间表示集合数学运算、直观想象例5用区间表示下列集合：(1)3x40的所有解组成的集合A_；(2)2x60的所有解组成的集合B_方法归纳方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理(1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质(2)解题时应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用跟踪训练5用区间表示下列不等式，并在数轴上表示这些区间(1)2x5；(2)3x4；(3)2x3；(6)x4.易错点忽略集合中

13、元素的互异性出错例含有三个元素的集合a，ba，1，也可表示为集合a2，ab，0，求a【错解】a，ba，1a2，aa+解得a=1，b=0或【正解】a，ba，1a2，aa+解得a=1，b=0或由集合中元素的互异性，得a1.a1，b0.【易错警示】错误原因纠错心得错解忽略了集合中元素的互异性，当a1时，在一个集合中出现了两个相同的元素含有参数的集合问题，涉及的内容多为元素与集合的关系、集合相等，解题时需要根据集合中元素的互异性对参数的取值进行分类讨论11集合11.1集合及其表示方法新知初探自主学习教材要点知识点二1a，b，c，A，B，C，2aAaA知识点三1一一列举列举法知识点四2(，)基础自测1解

14、析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合答案：C2解析：x32，xN*，x5，xN*，x1，2，3，4.故选B.答案：B3解析：由已知条件1a，a1，a2知有三种情况，若a1，则a12，a21.则aa21，与集合元素的互异性相矛盾，故a1.若a11，即a0，则a20.与集合元素的互异性相矛盾，故a0.若a21，即a1，当a1时，符合题意综上知a1.答案：C4解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则x|12x5(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“”，则x|x1或20，且故0 x3.又xN，故x0，1，2.当x0时，6302N，当x1时，6313当x2时，63

15、26N故集合A中的元素为0，1，2.答案：(1)D(2)0，1，2例3【解析】(1)因为0和1是方程x(x1)0的解，而且这个方程只有两个解，所以A0，1(2)由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m，共6个元素，因此可以用列举法表示为W，e，l，c，o，m(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可以用列举法表示为北京，张家口(4)函数y2x1的图象与x轴的交点为12，0，与y轴的交点为(0，1)，因此可以用列举法表示为跟踪训练3解析：(1)解方程组2x3y=14，3x+2y=8，得x=4，y=2，故解集可用描述法表示为(2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4

16、个，分别为3，5，7，11.可用列举法表示为3，5，7，11(3)方程x22x10的实数根为1，因此可用列举法表示为1，也可用描述法表示为xR|x22x10例4【解析】(1)因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此B(x，y)|x0，y0(2)由题意，设a3k，kZ，b3y1，yZ，c3m1，mZ，则d3k(3y1)3m13(kym)2.令tkym，则tZ，则d3t23t313(t1)1，tZ，则dN，故选B.【解析】(3)当m0时，方程mx22xm0为2x0，解得x0，A0；当m0时，若集合A只有一个元素，则一元二次方程mx22xm0有两个相等实根，所以判别式224m20，解得m1；综上，当m0或m1时，集合A只有一个元素所以m的值组成的集合是1，0，1【答案】(1)见解析(2)B(3)1，0，1跟踪训练4解析：(1)x|x5n，nZ(2)(x，y)|1x3(